ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 461, № 4, с. 387-389
МАТЕМАТИКА
УДК 519.217
НИЖНЯЯ ОЦЕНКА ЭНТРОПИИ АВТОМОРФИЗМА И ПРИЗНАКИ МАКСИМАЛЬНОСТИ ЭНТРОПИИ ДЛЯ ИНВАРИАНТНОЙ МЕРЫ СПЕЦИАЛЬНОГО ПОТОКА НАД СДВИГОМ МАРКОВА
© 2015 г. Б. М. Гуревич
Представлено академиком РАН Я.Г. Синаем 04.09.2014 г.
Поступило 21.10.2014 г.
DOI: 10.7868/S0869565215100059
1. Введение. В этой работе содержатся два результата, относящиеся к энтропийной теории динамических систем. Первый — это нижняя оценка энтропии Колмогорова—Синая автоморфизма Тизмеримого пространства (X, отвечающей Т-инвариантной вероятностной мере на X, через энтропии того же Т, отвечающие последовательности Т-инвариантных вероятностных мер
в определенном смысле сходящейся к ц. Второй результат, полученный с применением первого, дает условия на инвариантную меру специального потока над сдвигом Маркова, гарантирующие максимальность энтропии потока относительно этой меры, т.е. совпадение ее с топологической энтропией.
Топологические (символические) марковские сдвиги, как с конечным алфавитом, так и со счетным, а также надстройки с дискретным и непрерывным временем над ними — специальные автоморфизмы (каскады) и специальные потоки — давно уже служат важным инструментом исследования многих вопросов теории гладких динамических систем (см., например, [1—6]). Нас будет интересовать нижняя оценка энтропии потока указанного типа, отвечающей заданной инвариантной мере. Поскольку в соответствии с формулой Абрамова энтропия такого потока определяется энтропией соответствующего автоморфизма в базе специального представления и средним временем возвращения в базу, достаточно уметь оценивать энтропию этого автоморфизма. Здесь иногда может помочь формулируемая ниже общая теорема 1.
2. Оценка энтропии в общем случае. Мы будем пользоваться стандартными по-
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича Российской Академии наук, Москва E-mail: bmgbmg2@gmail.com
нятиями и обозначениями энтропийной теории (см. [7, 8]). В частности, будет обозначать
энтропию счетного измеримого разбиения вероятностного пространства (X, М, v) (измеримость здесь означает, что все элементы C е принадлежат М), h^(T) — энтропию автоморфизма T того же пространства, h^(T, £,) — энтропию T по отношению к
Тео р е ма 1. Пусть T — автоморфизм измеримого пространства (X, М) и {vn, n е Z+} — последовательность T-инвариантных вероятностных мер на (X, М). Предположим, что существуют счетное измеримое разбиение пространства (X, М) и последовательности чисел rn е N, sn > 0, для которых
lim rn = да, lim sn = 0, "" " (1)
lim T) > h > 0;
n ^ да
служит образующей для (T, vn) при всех n > 0 и, кроме того,
н,о Ф < да;
|V0 (A) - Vn (A^ ^En Vn (A)
Гп
для всех A е \/ T 1 n > 0.
(2)
(3)
Тогда h^ (T) > h.
Замечание 1. Если бы X было компактным метрическим пространством, а T — гомеоморфизмом, разделяющим траектории (expansive), то достаточным условием справедливости неравенства h (T) > h была бы слабая сходимость мер к Теорема 1 требует от несколько большего, зато применима в ситуации, когда вообще отсутствуют какие-либо ограничения топологического характера на X и T. Мы, однако, будем применять эту теорему, отказавшись лишь от компактности пространства X.
0
388
ГУРЕВИЧ
3. Специальные потоки над сдвигами Маркова. Пусть G = (V, E) — ориентированный граф c множеством вершин V и множеством ребер Е. Топологическим сдвигом Маркова с множеством состояний (алфавитом) V называется сдвиг T в пространстве X(G) := {х е V2: (xi, xi +!) е Е, г е бесконечных путей (в нашем случае двусторонних) графа G. В частном случае, когда G — полный граф, говорят о сдвиге Бернулли. Будем предполагать V счетным, а G — связным. Обозначим через W(G) множество конечных путей (или слов) в G, т.е. таких последовательностей w := ..., V/), V е V, что V + х) е Tпри 1 < г < < к — 1. Назовем k =: |w| длиной w. Если w := := (VI, ..., Vk), W := (VI, ..., Vк) е W(G) и V= V!, то и wW := (v1, ..., vk, V, ..., vk') е W(G). Назовем слово w простым, если (v1, ..., V) = (vk _ l+1, ..., vk) только при l = k.
Пустьf: X(G) ^ К — функция, обладающая тремя свойствами:
1)f(x), x = (х, г е /), зависит лишь от x0, x1, ... (это предположение удобно, но от него можно отказаться);
2) тГ /(х) > 0;
х е Х(О)
3) £ var„ (f) < да,
n = 1
где уаг„(Я := 8ир{^х) - Дх')|: х1 = х' при 0 < г < п}. По Т и f каноническим образом строится специальный поток ? е К} (см. [7]), который мы будем обозначать (Т, /). Этот поток действует в пространстве Х(О), состоящем из таких пар (х, и), что х е X(б), 0 < и <Дх). Пусть (Т) — множество Т-ин-вариантных вероятностных мер ц на X(G), для которых ц(/) < да (здесь и ниже мы пишем ц(/) вместо
,, то же относится к другим функциям и ме-
I fd^,
X(G)
рам). Каждая такая мера каноническим образом порождает {¿^-инвариантную вероятностную меру | на X(G) и это соответствие является взаимно однозначным. Напомним, что энтропией потока называется энтропия автоморфизма (сейчас речь идет об энтропиях Колмогорова—Синая, отвечающих одной и той же инвариантной мере). Назовем величину
htop(T,f) := sup h (T,f)
f T)
топологической энтропией потока (T, f), а меру для которой h^ (T, f) = Atop(T, f — максимальной
мерой. Заметим, что в соответствии с данным определением максимальная мера — это инвариантная мера не потока (T, f), а автоморфизма T.
Известно, что в рассматриваемой ситуации максимальная мера единственна [5, 9], но не обязательно существует [10].
Будем рассматривать меры ц е $/T), удовлетворяющие следующим условиям:
а) ц(С) > 0 для всех непустых цилиндрических множеств С с X(G);
б) автоморфизм T пространства (X(G), М, ц) эргодичен;
в) HД2,) < да, где — разбиение пространства X(G) на одномерные цилиндры Cv := {x е X(G):
x0 = v}, v е V;
г) найдутся константа s > 0, функция к: Z+ ^ [R+ и как угодно длинное простое слово w е W(G) такие, что lim к (r) = 0 и для всех w' е W(G), удовле-
r ^ да
творяющих условиям ww'w е W(G), w' ф w (т.е. слово w' не является частью слова w), и ц-почти всех x е Cww-w справедливо неравенство
Cw )
w) Cw)
- e
<к(| w) e
-sx(x, Cw)
(4)
где т(х, С„) — первый момент возвращения точки (х, 0) в множество С„ х {0} под действием потока (Т, /).
Тео р е ма 2. Если (Т, f) — специальный поток, построенный по сдвигу Маркова Т со счетным алфавитом и функции f, описанным выше, а мера ц е е $(Т) удовлетворяет условиям а)—г), то ц — максимальная мера для (Т, /).
Замечание 2. Эта теорема близка к теореме 2.2 из [5]. В частности, ее заключение совпадает с заключением последней. Однако условия этих теорем различны: вместо равенства ж = к (Т, f)
мы теперь требуем, чтобы выполнялось неравенство Н^(^) < да. Второе требование представляется гораздо менее ограничительным и чисто техническим; вполне возможно, что от него и вообще можно отказаться. Что касается первого требования, то оно выводится из остальных предположений теоремы 2.
4. Набросок доказательства теоремы 2. Существенным элементом доказательства является следующая
Л емма 1. В условиях теоремы 2 справедливо равенство ж = й1ор(Т, /).
Эта лемма доказана в [5], хотя отдельно там и не сформулирована (см. конец доказательства теоремы 2.2 в [5]). Поскольку условия теоремы 2 и теоремы 2.2 в [5] различны, необходимо отметить, что при доказательстве леммы используются лишь общие для этих двух теорем условия.
Сформулируем еще одно важное утверждение, которое вместе с леммой 1 и теоремой 1 позволяет завершить доказательство.
эи
НИЖНЯЯ ОЦЕНКА ЭНТРОПИИ
389
Лемма 2. Для всякого достаточно малого б > 0 найдутся простое слово м> и вероятностная мера V на Х(О) такие, что |ц(/) - v(/)| < 6, |ц(Сж) - v(Сж )| < < 6V( Сж) для всех ж е Ж(О) с | ж | < |ж| и
К (Т)
v(f)
- КЛ T,f)
< s.
Метод доказательства леммы состоит в том, чтобы заменить исходное специальное представление потока новым, база которого образована цилиндром где ш — достаточно длинное простое слово (при этом из С„ приходится выбросить некоторое малосущественное подмножество). Вследствие простоты слова w автоморфизм в базе нового представления оказывается сдвигом Бернулли, а благодаря условию г) мера, в которую переходит ц — близкой к бернуллиевской мере. Возвращаясь к исходному представлению, мы получаем меру V со свойствами, перечисленными в лемме 2.
Работа частично поддержана грантами РФФИ 13—01—12410 и 14—01—00379.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шильников Л.П. // Мат. сб. 1967. Т. 74. № 3. С. 378397.
2. ДинабургЕ.И. // УМН. 1968. Т. 23. В. 4. С. 249-250.
3. Синай Я.Г. // Функцион. анализ и его прил. 1968. Т. 2. № 1. С. 64-89.
4. Синай Я.Г. // УМН. 1972. Т. 27. В. 4. С. 21-64.
5. Буфетов А.И., Гуревич Б.М. // Мат. сб. 2011. Т. 202. № 7. С. 935-970.
6. Sarig O. // J. Amer. Math. Soc. 2013. Т. 26. № 2. P. 341-426.
7. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодиче-ская теория. М.: Наука, 1980. 382 с.
8. Рохлин В.А. // УМН. 1967. Т. 22. В. 5. С. 3-56.
9. Buzzi G., Sarig O. // Ergod. Theory and Dyn. Syst. 2003. V. 2.№. 5. P. 1383-1400.
10. Гуревич Б.М, Савченко С.В. // УМН. 1998. Т. 53. В. 2. С. 3-106.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.