ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 3, 2015
УДК 519.718
© 2015 г. Павлов И.В.
НИЖНЯЯ ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ УСКОРЕННЫХ
ИСПЫТАНИЙ
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, г. Москва
ipavlov@bmstu.ru
Рассматривается задача оценки показателей надежности по результатам ускоренных испытаний в условиях переменной монотонно возрастающей нагрузки. Получен ряд нижних оценок функции надежности для параметрических и непараметрических моделей в предположении, что в условиях постоянных нагрузок распределение времени безотказной работы системы является "стареющим" (с монотонно возрастающей функцией интенсивности отказов).
Оценка показателей надежности технических систем по результатам ускоренных испытаний является актуальной задачей теории надежности. В [1] был получен ряд оценок функции надежности и других характеристик по результатам ускоренных испытаний с монотонно возрастающей нагрузкой для относительно простых однопара-метрических моделей с одним неизвестным параметром (коэффициентом ускорения). Модели с одним неизвестным параметром можно использовать в качестве первого приближения для оценки основных характеристик. При этом они являются в значительной степени упрощенными, поскольку фактически предполагают одинаковую форму распределения времени безотказной работы при различных значениях нагрузки, хотя форма распределения может меняться при изменении действующей на систему нагрузки. Далее рассматриваются более общие многопараметрические и непараметрические модели, позволяющие учитывать более сложные зависимости. Кроме того, везде предполагается, что распределение времени безотказной работы системы является "стареющим" (или сокращенно ВФИ-распределением в терминологии [2, 3]) с монотонно возрастающей функцией интенсивности отказов. Класс стареющих или ВФИ-распределений является довольно общим и включает в себя целый ряд часто используемых параметрических семейств распределений, таких как экспоненциальное, Вейбулла (с параметром формы а > 1), нормальное, распределение Эрланга, гамма-распределение и др. В то же время предположение о возрастании функции интенсивности отказов системы отвечает естественным физическим представлениям и довольно часто используется в задачах надежности (например, [2—4] и др.).
Общая параметрическая модель с несколькими неизвестными параметрами. Пусть — переменная нагрузка, действующая на систему в момент времени t > 0. Обозначим через Р(^ ^ — функцию надежности системы при постоянной нагрузке = u > 0. Обозначим также через Х^, ^ — функцию интенсивности отказов и
Л(^ ^ = —1пP(t, ^ = |Х(I, и)— функцию ресурса в условиях постоянной нагрузки
0
= u > 0. Будем предполагать, что интенсивность отказов Х^, ^ монотонно возрас-
тает (не убывает) по времени ,, что является довольно естественным физическим условием для большинства технических систем. Будем предполагать также, что функция нагрузки и(,) — кусочно-непрерывна по , > 0, и(,) > 0 при , > 0, и функция интенсивности отказов Х(,, и) непрерывна по , > 0, и > 0 и Х(?, и) > 0 при , > 0, и > 0.
Пусть функция ресурса Л(?, и) и функция интенсивности отказов Х(?, и) системы (в условиях постоянных нагрузок и(?) = и) имеют вид
Л(г, и) = Л[г, 9(и)], Х(г, и) = Х[г, 9(и)]. (1)
где 9(и) = [91(и), 92(и), ..., 9и(и)] — векторный и-мерный параметр, компоненты которого зависят от нагрузки и > 0. В частном случае при и = 1 данная модель (1) содержит однопараметрические модели с коэффициентом ускорения [1], а также [4—8] и др.
В [1] и [8] были получены следующие уравнения для определения функции надежности характеристик в условиях переменной нагрузки и(?)
г(г) = Х[£(г, иг), иг], (2)
где г(,) — функция интенсивности отказов; Я, = Я(,) — функция ресурса в условиях переменной нагрузки и, = и(?); g(Я, и) — функция, обратная к функции Л(?, и) по первому аргументу ? при фиксированном значении и, определяемая из уравнения
Л(£, и) = Я. (3)
Из (2) следует дифференциальное уравнение
Я' = Х[£(Я, и), иг] (4)
для функции ресурса Я, = Я(,), после чего функция надежности в условиях переменной нагрузки и, = и(,) определяется как Р(,) = ехр[—Я(,)].
Пусть проводятся ускоренные испытания системы в условиях переменной монотонно возрастающей нагрузки и(,). Будем предполагать, что функция нагрузки и(,) непрерывна и строго монотонно возрастает по , > 0. Пусть Я(,) и г(,) — статистические оценки функции ресурса и функции интенсивности отказов, построенные по результатам ускоренных испытаний при монотонно возрастающей нагрузке и(,). Рассмотрим задачу оценки основных характеристик — функции интенсивности отказов Х(,, и), функции ресурса Л(,, и) и функции надежности Р(,, и) в условиях постоянных нагрузок (в том числе для малых и средних нагрузок в нормальных режимах) по результатам ускоренных испытаний в условиях возрастающей нагрузки и(,). Уравнение (2) для параметрической модели (1) можно записать в следующем виде:
Х[ст,9( иг)] = г (г), (5)
где каждый текущий момент времени , > 0, величина ст, = g (Я,, и,) в соответствии с (3) определяется из уравнения
Л[стг, 9(иг)] = Я(г), (6)
где ©(и,) = [9:(и,), 92(и,), ..., 9„(и,)].
Из уравнений (5), (6) после замены переменных и = и( ) получаем систему уравнений
Х(ст, 9) = г(ги), Л(ст, 9) = Я(ги), (7)
где 9 = 9(и) = [9:(и), 92(и), ..., 9и(и)] — векторный параметр, компоненты которого зависят от нагрузки (вообще говоря, неизвестным образом); ст > 0 — дополнительный неизвестный (мешающий) параметр; ,и = ,(и) — функция обратная к функции нагрузки и( ).
В отличие от моделей с одним неизвестным параметром [1] эта система уравнений не позволяет еще однозначно определить функции 91(м), 92(и), ..., 9и(и), зная построенные по результатам ускоренных испытаний функции ^(0, г(?). Тем не менее на основе этих уравнений можно строить соответствующие нижние оценки для функции надежности Р(?, и) и других основных характеристик, таких как средний и гамма-процентный (гарантированный) ресурс системы по результатам ускоренных испытаний при монотонно возрастающей нагрузке и(?).
Степенная модель с двумя неизвестными параметрами. Пусть функция ресурса Л(?, и) и функция интенсивности отказов Ц?, и) системы (в условиях постоянных нагрузок и(?) = и) имеют вид
Цг, и) = 9! + 292г, Л(г, и) = 9^ + 92г2, (8)
где параметры 91 = 91(и) > 0, 92 = 92(и) > 0 зависят от нагрузки и (вообще говоря, неизвестным образом). В частном случае при 92(и) = 0 модель (8) содержит однопараметри-ческую "экспоненциальную модель", рассмотренную в [1] (в этом случае параметр 91 = 9:(и) имеет смысл "коэффициента ускорения" в зависимости от нагрузки). Функция интенсивности отказов Ц?, и) в этой модели монотонно возрастает (не убывает) по времени ?. Задача сводится к оценке неизвестных функций 9:(и), 92(и) по результатам ускоренных испытаний в условиях монотонно возрастающей нагрузки и(?). Система уравнений (7) для данной модели имеет вид
91 + 292^ = г( ги), 91СТ + 92а2 = Я (ги), (9)
где а > 0 — дополнительный мешающий параметр.
Число неизвестных (9Ь 92, а) здесь больше, чем число уравнений, поэтому в данной модели система уравнений (9) еще не позволяет однозначно определить обе функции 91 = 91(и), 92 = 92(и). Тем не менее на основе этих уравнений можно построить нижнюю оценку функции надежности следующего вида:
Р(г, и)> ехр [-Л(г, и)], (10)
где Л (?, и) — верхняя оценка для функции ресурса Л(?, и), определяемая как — 2
Л(г, и) = тахЛ(г, и) = тах(91г + 92г ), (11)
где максимум берется по всем параметрам 9: > 0, 92 > 0, а > 0, удовлетворяющим уравнениям (9). Отсюда получаем
Л(г, и) = тахН(г, и, а), (12)
где
Н(г, и, а) = [2Я(ги) - аг(ги)](г/а) + [аг(ги) - Я(ги)](г/а)2, (13)
а максимум берется по всем значениям параметра а из отрезка Д?„)/г(?н) < а < 2^(?н)/г(?„).
Из (13) следует Нст (?, и, а) = и, а)/а3, где функция и, а) = 2^(?„)?2 — — г(?и)а?2 — 2^(?н)а? монотонно убывает по а. Отсюда получаем, что при ? < 2^(?н)/л(?н) максимум в (12) достигается на левой границе указанного отрезка при а = ^(?„)/г(?н) и
равен Л (?, и) = г(?и)?.
При ? > 2^(?н)/л(?н) максимум в (11), (12), учитывая монотонное убывание функции и, а) по а, достигается в единственной точке а' = а'(?, и), определяемой из уравнения и, а') = 0, откуда а' = 2^(?н)?/[2^(?„) + г(?и)?] и соответствующее значение максимума равно Л (?, и) = Л(?и) + г2(?н)?2/4^(?„).
Таким образом, нижняя оценка функции надежности в (10) для данной модели имеет вид
Р(г, и) > ехр [ —г (ги) г ], если г <т(и), (14)
Р (г, и) > ехр
Я(г) г2 ( г и ) г2' и 4 Я (ги)
если г >т(и), (15)
где т(и) = 2Я(,и)/г(,и).
На начальном интервале времени 0 < , < т(и) она совпадает с экспоненциальной оценкой функции надежности ехр[—г(?„)?], полученной в [1] для однопараметрической "экспоненциальной модели". В этом смысле нижняя оценка функции надежности по результатам ускоренных испытаний в (14), (15) аналогична известным "экспоненциальным" оценкам надежности [2—4, 9, 10] для стареющих распределений (для случая обычных испытаний в нормальном режиме). Заметим, что, исходя из неравенств (14), (15) для функции надежности, можно получить и соответствующие нижние оценки для таких основных показателей, как средний и гамма-процентный (гарантированный) ресурс.
Модель с распределением Вейбулла с двумя неизвестными параметрами. Рассмотрим случай, когда
Л(г, и) = в(и)га(и), Х(г, и) = а(и)в(и)га(и)-1, (16)
т.е. в условиях постоянных нагрузок и(,) = и время безотказной работы имеет распределение Вейбулла, где оба параметра в = в(и), а = а(и) зависят (вообще говоря, неизвестным образом) от нагрузки и. В частном случае при а(и) = 1 данная модель содержит рассмотренную в [1] однопараметрическую "экспоненциальную модель" (в этом случае параметр в = в(и) имеет смысл "коэффициента ускорения" в зависимости от нагрузки и). Далее будем предполагать, что параметр а(и) > 1. Тем самым функция интенсивности отказов Х(,, и) в модели (16) так же, как и в предыдущей, возрастает по времени ,.
Задача в этом случае сводится к оценке функций а = а(и), в = в(и) по результатам ускоренных испытаний при монотонно возрастающей нагрузк
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.