РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 1, с. 14-22
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 538.566.2;621.372.8
НИЗКОЧАСТОТНЫЕ РЕЗОНАНСЫ КИРАЛЬНОИ СФЕРЫ, ЗАПОЛНЕННОЙ МЕТАМАТЕРИАЛОМ © 2015 г. А. П. Анютин, И. П. Коршунов, А. Д. Шатров
Фрязинский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Российская Федерация, 141190, Фрязино Московской обл., пл. Введенского, 1 Е-таИ: anioutine@mail.ru; korip@ms.ire.rssi.ru Поступила в редакцию 28.02.2014 г.
Рассмотрена задача возбуждения радиальными магнитным и электрическим диполями метаматери-ального шара с анизотропной проводимостью поверхности вдоль винтовых линий. Исследованы особенности квазистатических резонансов киральной сферы, обусловленные наличием метамате-риала. Показано, что в зависимости от значений материальных и геометрических параметров структуры резонансные поля могут быть как линейно-, так и кругополяризованными. Обнаружены вырожденные собственные колебания, поля которых имеют различные угловые зависимости в ближней и дальней зонах. На основе строгих методов рассчитаны частотные характеристики структуры, а также картины ближних и дальних полей на резонансных частотах. Предложено приближенное аналитическое описание квазистатических резонансов.
БОТ: 10.7868/80033849415010015
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
МЕТОД РЕШЕНИЯ
Исследуется осесимметричная задача возбуждения шара из метаматериала магнитным и электрическим диполями, ориентированными вдоль оси г и помещенными на этой оси в точке г = г0, расположенной вне шара (рис. 1). Используется гауссовская система единиц, зависимость полей от времени выбрана в виде ехр(гШ).
Пространственные распределения диэлектрической и магнитной проницаемостей в сферической системе координат (г, 9, ф) определяются следующим образом:
е(г) =
е, г < а, 1, г > а,
Кг) =
р, г < а, 1, г > а,
(1)
где а — радиус шара. Будем считать, что поверхность шара г = а имеет анизотропную электрическую проводимость вдоль спиральных линий с постоянным углом подъема у. На поверхности г = а выполнены двухсторонние граничные условия
ЕД = Ед
Е<+ = Е<-,
Е„ cos у = Е0 sin у,
(Н+ - Н-) ^ у = (Н0+ - Н0) sin у.
(2) (3)
Здесь знаки "+" и "—" относятся к внешней г > а и внутренней г < а сторонам сферы соответственно. Для определенности спиральные линии (в данном случае это локсодромы) считаем правыми (0 < у < к/2). Граничные условия (2), (3) описы-
вают проволочные спирали, если расстояние между осями соседних проводников много меньше длины волны, а величина зазоров лежит в определенном интервале [1].
—1 п г
Г0 * г
/ 1
!
■т ^е / N.. \ Б, Ц = 1 ц ♦..-•1 1 \
{/" Б, Ц / ч \ Ч' \ 1 \ 1 1 *4 »
А у
\ Xх Ф ^-^Л
х
* ......... У
Рис. 1. Геометрия задачи.
Задача дифракции плоской волны на кираль-ной сфере, заполненной обычным магнитоди-электриком (б > 0, ц > 0), рассмотрена в работах [2, 3]. Впервые было показано [2], что если у <§ 1, то в малой по сравнению с длиной волны X сфере (о. <§ X) возможны резонансные явления. Возбуждение сферы радиальным электрическим диполем рассмотрено в [4]. Цель данной работы — исследование специфики низкочастотных резонан-сов, возбуждаемых радиальными магнитным и электрическим диполями в шаре из метаматериа-ла (б < 0, ц < 0).
Первичное поле диполей может быть выражено через единственные отличные от нуля г — ком-
П- m ^ e
и электрического П
векторов Герца [5]:
nm а
m = A1
exp(-ikR) R '
П; = A
exp(-ikR) R '
где
R - ■Jr2 + r02 - 2rr0 cos (
(4)
(5)
(6)
д
I — = 0 I в рассматриваемой задаче будем описы-
)
вать при помощи магнитного U1(r, 0) и электрического U2(r, 0) потенциалов Герца [6]. В целях сокращения записи используем векторные символы для обозначения двухкомпонентных величин, содержащих индексы "1" и "2":
A = {А,A2}, П = {ВД}. (7)
Потенциалы Герца удовлетворяют уравнению
1
^ + k 2s(r)|i(r)U dr
+ sin 0dU
sin 050V 50
= 0. (8)
H _
^ + k 2s(r)|(r) dr
Ui, Er _
H<? _
H0 = 1 dU,
r drd0 -iks(r) dU2
^ + k 26(r)|i(r) dr
1 д 2U2
50
E0 = , r drd0
E _ ik|(r)dU1
ф _ r 50
U2,
(9)
Следует отметить, что величины и1/г и и2/г известны как потенциалы Дебая [7].
Первичному полю (4)—(6) соответствуют потенциалы Герца U1 и U2I, определяемые по формуле [4]
о A
U0 =
ikr0
X (2m +1):
0 m =
m=1
X Pm(cOS 0)
\jm(kr)hím)(kr0), r < r0, i./m(kr0)hm2)(kr), r > r0,
(10)
k = 2п/Х — волновое число в свободном пространстве. Величины А1 и А2 пропорциональны
дипольным моментам источников. Векторы П m и
Пe позволяют определить электромагнитное поле в свободном пространстве [5]:
где Pm(cos 0) — полиномы Лежандра, jm(kr) и
h(m\kr) — функции Риккати—Бесселя и Риккати— Ганкеля [8].
При использовании потенциалов Герца аналитическое решение сформулированной задачи дифракции может быть получено стандартным методом разделения переменных [4]. Приведем окончательные выражения для волновых полей. Введем
двумерные векторы Lm) ,M(m), N(m) и скаляр W(m) : L(m) = jhm2)'(ka) sin у, ih(m\ka) cos y}, (11)
MM(m) = (hm2)'(ka)sinу, - ih(m\ka)cosy}, (12)
H = rotrot П m + ik rot Пe,
E = rotrot Пe - ik rot П m. Осесимметричные электромагнитные поля
N(m) jm (kna)sin V, ijm(kna)cos y¡>, (13)
W(m) =ehim)(ka)jm(kna) x nhm(ka)j'm (kna) - hm'(ka)jm(kna)
LS
где
x cos у + nhm}'(ka)j'm(kna) x
nh(m)(ka)j'm(kna) - him))(ka)jm(kna) LH
= -у/бЦ.
(14)
sin у,
(15)
Компоненты электромагнитного поля могут быть выражены через потенциалы Герца:
Штрих в формулах (11)—(14) означает дифференцирование функций по аргументу.
Полю внутри сферы соответствуют потенциалы Герца
^ да
U = А X^ + 1)12) (о)((П)]т (п^) Pm (СС80) , ikrо
m=1
(16)
где
B (m) =
r < a,
i (A ,M(m))
W
(m)
N(m).
(17)
yj
n
Через (А,М <(т>) в (17) обозначено скалярное про-
изведение
(А ,М(т))
= А1М1(т) + А2м2т).
(18)
Поле вне сферы (г > а) состоит из двух слагаемых: падающего V0 и рассеянного V8 полей. Рассеянному полю соответствует потенциал Герца
V =
-Ъ Е(2т
/кг 1
0 т=1
+1)лт2)(кг,) х
(с(т) + Б(т))н(т2:\кг)Рт(^0), г > а,
Электрическое поле, рассеянное шаром, в дальней зоне имеет вид
/^еХР^, К
х ехр(-/кг)
/■Ж1 ■ (24) г г
Компоненты векторной диаграммы рассеяния могут быть определены по формулам
/е(0) =1X/т-1(2т + 1)^т2)(кг0> (с
(т) Т\(т) 2 + Б2
'0 т =
0), (25)
(19) /ф(0)==1 X/т-1(2т + 1)^(Ьо) (С 1(т) + БГ ) (cos 0).
'0 т =
т=1
где
С(т) А!
]т(ка)
к^Хка) 2 А^'Ска) (А, М{т)) яу'т (пкаУт(пга)
■А,
Л» (ка)
Б (т) =
кí2)>(ka)кí2)(ka)W(т)
(20)
(21)
Заметим, что слагаемое в (19), которое содержит
вектор С(т), представляет собой поле, возникающее при рассеянии на изотропно проводящем шаре. Обратим внимание на формальное сходство формул (11)—(21) с выражениями, полученными в работе [9] при исследовании задачи возбуждения анизотропно проводящего цилиндра нитями электрического и магнитного токов. Соответствующие формулы совпадают с точностью
до замены функций ]т(кг), ^(кг), Pm(cos 0) на
функции Бесселя /т(кг), Ганкеля Нт2)(кг) и тригонометрические функции cos(mф).
Из соотношений (9) и (19) получим следующие формулы для азимутальных компонент электромагнитного поля, рассеянного шаром:
Еф = 4- X (2т + 1)кт2)(кг0):
г0 г
т=1
( + БГ^(кг^^0), г > а,
(22)
Н Ф = "Т X (2т + ^(к^):
г0 г
;=1
X ( + б22)))(кгр(™0),
где P21(cos 0) — присоединенный полином Ле-жандра [8],
Рт(^ 0) = 0).
а 0
(23)
2. КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАНСЫ
Будем рассматривать только электрически малые объекты, параметры которых удовлетворяют условиям
ка < 1, пка < 1. (26)
Выражения для потенциалов Герца (16) и (19)
содержат резонансные знаменатели W {т)(ка), определяемые формулой (14). Исследуем зависимость этих знаменателей от частоты. Выражение (14) является комплексной функцией параметра ка, и оно не обращается в нуль при вещественных значениях ка. При выполнении условий (26) вещественная часть выражения (14) значительно превышает мнимую часть. Вещественная часть знаменателей обращается в нуль в точках, которые и являются резонансными частотами. Таким образом, уравнение для резонансных частот имеет вид
ReW {т)(ка) = 0.
(27)
На резонансной частоте в разложениях (16), (19) доминирует единственная меридиональная гармоника Pm(cos 0).
Для упрощения уравнения (27) воспользуемся известными асимптотическими разложениями функций Риккати—Бесселя и Риккати—Ганкеля при малых значениях аргумента [8]:
т+1
Ут(х) =
к(т](х)=
2
(2т +1)!! /(2т -1)!!
1 --
х
2(2т + 3)
2
1 + -
2(2 т -1)
■ +...
Предположим, что выполнено условие т +1
т + -
И
< 1,
(28)
(29)
(30)
которое обеспечивает существование низкочастотных колебаний магнитного типа в шаре из метаматериала при отсутствии проволочной спи-
да
1/^и1(а, п)| 108 ^
107
10'
105
6
0.1990 0.1995
0.2000 ка
0.2005 0.2010
Рис. 2. АЧХ киральной сферы, заполненной метама-териалом, при е = -1.3; ц =-1.3345454 ка = 0.2; Г) = 1.2а; кривая 1 — А1 = 1, А2 = 0; кривая 2 — А1 = 0, А2 = 1.
рали [10]. Из уравнения (27) при помощи формул (28)—(30) получим следующее выражение для резонансных частот:
(ка) =
, т + 1 | • 2 т +--I бш у
И )
(31)
1
+---|П2 у + ((- + —
2т + 3! \т т + 1
соб у
1/к2|^ф(9)|
1/к\их(а, 9)| 3 х 105
90
2 х 105 1 х 105 0
1 х 105
2 х 105
3 х 105
120
60
150
- 180
210
330
9,град
270
\2т -1
Напомним, что это выражение справедливо только при выполнении условия ка < 1. Формула (31) применима и к шару из обычного материала (б > 0, ц > 0). Однако в этом случае для получения предполагаемого результата ка < 1 необходимо выполнение неравенства
у ^ 1. (32)
При этом первым слагаемым в знаменателе формулы (31) можно пренебречь, и выражение (31) переходит в формулу для резонансных частот, полученную в [4].
В данной работе не требуем выполнения неравенства (32) как условия, необходимого для существования низкочастотных резонансов. Для мета-материалов правая часть соотношения (31) может быть малой за счет выполнения условия (30). В этом случае формула (31) может быть применена к структурам с произвольными углами подъема линий проводимости. В частности, при у = я/ 2 выражение (31) совпадает с формулой для резонансных частот квазиста
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.