Письма в ЖЭТФ, том 101, вып. 3, с. 218-223
© 2015 г. 10 февраля
Низкотемпературные свойства модели Хаббарда
Р. О. Зайцев
Московский фпзпко- технический институт, 141700 Долгопрудный, Россия
Поступила в реда кцию 21 октября 2014 г. После переработки 11 дека бря 2014 г.
Получены самосогласованные уравнения для определения энергетического спектра в модели Хаббарда, соответствующие однопетлевому приближению при произвольном соотношении между энергией Хаббарда II и величиной интеграла перескока В случае точно наполовину заполненной зоны определены условия перехода диэлектрик-металл, а также условия перехода из парадиэлектрического в антиферрометаллическое состояние (ВСП).
БО!: 10.7868/80370274X15030133
В классических работах Хаббарда было показано, что исчезновение диэлектрической щели может происходить только за счет рассеяния на флуктуаци-ях электронной и спиновой плотности [1,2]. Однако величина соответствующих флуктуаций, вычисленная из физических соображений, отвечает флукту-ациям невзаимодействующих локализованных электронов. Таким образом, результаты Хаббарда относятся к высокотемпературному пределу. Что же касается обратного, низкотемпературного предела, то из-за наличия энергетической щели в этой области флуктуации существенно подавлены. При этом переход в металлическое состояние происходит за счет эффектов кинематического взаимодействия [3], приводящих к уменьшению и дальнейшему исчезновению энергетической щели. Данное явление и будет исследовано в рамках однопетлевого приближения.
Удается также получить условия возникновения антиферромагнетизма для альтернантных двухпод-решеточных систем. Для достижения этой цели также используется однопетлевое приближение.
Выразим гамильтониан Хаббарда Н = Но + Я через А"-операторы:
Н
о —
й*= £ й
г2,—<т I ~0~СГЛ
Г1,Г2,<Т
(1)
Здесь и ниже V - энергия Хаббарда, (л - химический потенциал.
При заданной проекции спина а имеется два независимых перехода: из пустого в одночастичное состо-
-1'e-ma.il: Zaitsev_rogdai@mail.ru
яние с проекцией а и из одночастичного с проекцией —а в двухчастичное.
Соответственно введем два концевых множителя, каждый из которых равен сумме чисел заполнения конечного и начального состояний
/Г = по + п^ Я = «п + «Г7,
(2)
между которыми имеется соотношение ^ + = 1.
Уравнения однопетлевого приближения записываются через компоненты обратной матрицы:
С^р)
Щ — /Г^р — £и — /Г с^р - Що
(3)
Как видно из рис. 1, недиагональные собственно-энергетические функции однопетлевого приближе-
0,с7
0,ст
0,су
0,2
0,ст а,2 су,2
Рис. 1. Однопетлевые собственно-энергетические части
ния выражаются через диагональные с помощью следующих соотношений:
■'12
-сг£
11-
(4)
Используя эти соотношения, а также определение диагональных матричных элементов:
Е1 = гш + /л + егЯ, = гш + /л + аН - £/, (5)
находим две хаббардовские ветви:
Я'1 4-1 1 I— тт
^ = (6а)
Здесь
(Б" - ¿р)2 + и2-2и [ВТ + *р (Я - Я)], (66)
а вместо диагональных собственно-энергетических частей введены два следующих обозначения:
8о
Е? - £¡2.
(7)
Таким образом, наша задача состоит в том, чтобы установить связь между средними числами заполнения, температурой и химическим потенциалом, а также записать два уравнения для определения собственно-энергетических частей
Можно заметить, что три искомых соотношения выражаются через две независимые комбинации од-ночастичной функции Грина:
С^,р) = [С-(р)]м+а(С-(р)]2Д, С-(^,р)=а[С-(р)]112 + [С-(р)]212.
(8)
Так, с помощью определения среднего числа частиц с заданной проекцией а находим
па = (а+а^) = пп + < = /2-<7 =
= Т]Г + СЦа;,р)е-й/21 • (9)
Аналогично же удается записать уравнения для определения собственно-энергетических частей:
= -Т][>
(10)
Для того чтобы произвести суммирование по комплексным частотам 1ш = г (2п + 1)ттТ, подставим в правую часть уравнений (9) и (10) явное выражение для одночастичной функции Грина, произведем
разложение на простые множители, а затем просуммируем по комплексным частотам.
В качестве промежуточного результата получим
= ]Г В*(р)пР(ф, (И)
ш А=±
где пр(е) - распределение Ферми, а коэффициенты р) определяются следующим образом:
В
(А, <7)
(Р)
1 О. •
1 + А) ——-
(12)
С помощью этих двух коэффициентов удается записать уравнение состояния (9), а также уравнения (10) для функций в17 и В17:
Па = /¡Г =
Е
В
(Х,а)
(Р)/г + ЧЛ,<т)(р)я] ^(4^)},
й"7 =
В{+х'-а\р) - в{_х'-а\1
(13)
ме^)},
в°
рЛ
Р)
в{_х'-а\р)
Пр
(14)
(4А,_<Т))}.
(15)
Уравнения (15) и (16) обобщают уравнения Хаббарда, соответствующие нульпетлевому приближению (уравнение (13), записанное при Б = В = 0). Учет однопетлевых поправок (14) и (15) приводит к существенным изменениям как в энергетическом спектре, так и в магнитных свойствах, возникающих при включении внешнего магнитного поля ;.
Если предположить, что нижняя подзона Хаббарда заполнена точно наполовину, то /х = и/2, а интегрирование по импульсам р происходит по всей зоне Бриллуэна. Предполагая, что плотность состояний
р(е) = —¿р) есть четная функция энергии б,
р
обнаруживаем, что й"7 = 0, /1 = /2 = 1/2.
Спектр возбуждений выражается через одно-петлевую собственно-энергетическую часть В:
В
Е
р
¿2 +Д2
Ы£р)-пР(£)]
Самосогласованные уравнения (13)—(15) не могут быть получены в рамках динамического среднего поля (ОМРТ) [4, 5]. Дело в том, что уравнения БМРТ основаны на использовании классических антикоммутационных ферми-жидкостных перестановочных соотношений. По этой причине вклад, соот-ветствущий электронной петле, которая изображена на рис. 1, вообще не учитывается.
220
Р. О. Зайцев
Ро(е)
(16)
+ д^
где величина Д есть диэлектрическая щель, которая определяется из условия самосогласования:
ii-^-i-1 ■ А2 Л2_ U2_2UR.
(17а)
Здесь и ниже используется одночастичная затравочная плотность состояний:
1
ро(е) = $>(е-*р), £ = ^-л/^+Д* (17Ь) р
Таким образом, однопетлевое приближение приводит к существенному уменьшению корреляционной щели, которая исчезает при условии Д = и/2. Подставляя эту величину в левую и правую части уравнения (16), получаем критическое значение энергии Хаб-барда, ниже которой система является металлом:
Uc = 2J2\+p\ = 2 j 1Фо(е)&-
(18)
Результаты вычислений температурной зависимости Д для модели плоской зоны представлены на рис 2. В области предельно низкой температу-
Рис. 2. Величина диэлектрической щели ДД в зависимости от безразмерной энергии Хаббарда \]¡1 (ро = = <9(1 - б2)/2, п = 1): 1 - Т = 0, 2 - Т = 0.01, 3 -Т = 0.04, 4 - Т = 0.06
ры Т < Тс, имеет место неоднозначная зависимость А(11), которая исчезает при Т > 0.04 (эти результаты были получены численным методом ренорм-группы [6,7]).
В пределе Т = 0 удается получить аналитическое выражение и (А) для полуэллиптической плотности
состояний: ро(е) = (4/7г)а/1 — е2- При Т = 0 уравнение (16) переписывается следующим образом:
Д = Д(Д) = — у/1 + Д2 х
37Г
(1 + 2Д2)Е
- 2Д К
(19а)
Здесь и ниже К (ж) и Е(ж) - полные эллиптические интегралы I и II рода.
Для квадратной решетки
8
^е) = ^К(у1-т) = (Н+2)тг2
К
2-kl 2+kl
(19b)
так что возникает необходимость численного интегрирования:
2
Д = Д(Д) = —
_ 2-Н
тг2 J (2+|e|)Ve2+A2i42+kl
о
=К
de.
(19с)
Таким образом, нам удается определить явную зависимость энергии Хаббарда и от величины диэлектрической щели Д (см. рис.3):
и = |Д(Д)| + V7 Й2(Д) + Д2. (20)
Здесь Д = ^/ГТ^^ШД - величина диэлектрической щели, а все энергетические величины обезразмерены на полуширину
Рис.3. Величина диэлектрической щели A/t в зависимости от безразмерной энергии Хаббарда U/t (Т = 0, п = 1). Кривая 1 соответствует полуэллиптической плотности состояний, 2 - квадратной решетке
Как следует из рис. 3, с понижением энергии Хаббарда U происходит уменьшение энергетической щели. Наконец она обращается в нуль, что отвечает переходу диэлектрик-металл. Соответствующая
точка перехода, вычисленная в статье Хаббарда [2] {{и/Ь)с = л/3/2 « 0.866) для затравочной полуэллиптической плотности состояний, слабо отличается от полученной из уравнения (20), (и/Ь)с = 8/(Зтг) « 0.848.
Рассмотрим далее возможность возникновения волны спиновой плотности (ВСП) в случае двухпод-решеточной кристаллической системы.
Для того чтобы определить условия появления ВСП, вычислим спиновую магнитную восприимчивость. При условии, когда слабое магнитное поле зависит от координат, удобно перейти к импульсному представлению: Зкг = 6кчехр(щг). Мы предположим, что поправки к электронной плотности 5п, к концевым множителям ¿/1,2 ([8,9]), а также к собственно-энергетическим частям ¿£1,2 ([10]) зависят от координат через единственную компоненту Фурье:
<К = <5/1% = -¿я,Г = <Кехр(гЧг) = = ¿/Г(ч)ехр(«чг) = -¿Жч)ехр(«чг);
= (Ч)ехр(гЧг), г = ехр(1Чг).
(21)
Уравнение для восприимчивости Хц находим с помощью вариации уравнения для функции Грина ч), выраженной через вариацию магнитного поля Ьч, концевого множителя /ч = ¿Яг = —¿Яг и однопетлевых собственно-энергетических частей
= + ^2,я и Дч = — ^21Ч:
к = <тЕ [с%(р) - с;_ш(р)] +
и>,р
¿е- = -Т^р -гс;-(Р,д)],
и>,р
6Н° = -Т Е *р (р, + (Р, Ч)] . (22)
р+ч-й£^(Ч) -<тёК(Ч)1,р+ч + <тёЩ2(Ч) \ -а&Ц (Ч)*р+ч + стйЕ^ (ч) <тёИч - <5/| (Ч)*р+ч - (ч) )
(24)
Далее мы учитываем, что в нашей задаче все вариации меняют знак при изменении знака проекции спина:
¿/Г = -Щ, = -¿Ей, ¿Ей = (25)
Кроме того, из тождества Я + Я = 1 следует соотношение ¿Я = —¿Я- Отсюда заключаем, что наша задача сводится к решению системы уравнений следующего вида:
= Е^Щ + + РП(Ж + ¡'¿к,
¿Б = + + йдсЖ +
(Ж= + Кз(1Б+ КП(т+В!(Ш. (26)
Здесь введены обозначения 3/1 = ¿Я, 6Б = = ¿Е^ + 5К = 6Н+ = -
Вычисление коэффициентов уравнения (26) приводит к следующему результату:
и
р
и>,р
щр+ч(-д2/1 - Д1/2 + 3) и(Е1Ь - Е2]х - Я)
и(-Е2/1-Е1/2+51)^
/' = ^Е {+ ^ Iй + ^ " Л + /2)] Е1 +
(,) Т"»
+ - [-Д + 5(2 + /1 - /2)] Е2 - ЬЕ22 - /2Е{ \ х
Выражения для гриновских функций в первой сумме первого уравнения определены с помощью соотношений (11), (12). Вариации гриновских функций определяются через вариацию обратной функции (3) с помощью общей формулы:
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.