КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА
УДК 517.9+519.6+531.39
НОРМАЛИЗАЦИЯ ГАМИЛЬТОНИАНА В ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧЕ МНОГИХ ТЕЛ МЕТОДАМИ КОМПЬЮТЕРНОЙ
АЛГЕБРЫ
© 2012 г. А. Н. Прокопеня
Брестский государственный технический университет, Белоруссия 224017 Брест, ул. Московская, 267 E-mail: prokopenya@brest.by Поступила в редакцию 18.09.2011
Обсуждается символьный алгоритм построения вещественного канонического преобразования, приводящего к нормальной форме функцию Гамильтона, определяющую движение автономной системы с двумя степенями свободы в окрестности положения равновесия. Реализация алгоритма демонстрируется на примере плоской круговой ограниченной задачи трех тел. Найденные выражения для коэффициентов нормальной формы гамильтониана подтверждают результаты, полученные ранее в работе А. Депри. В качестве программного средства для выполнения символьных вычислений использована система компьютерной алгебры Mathematica.
1. ВВЕДЕНИЕ
Ограниченная задача многих тел - хорошо известная модель небесной механики (см. [1]). Ее исследования начались более двухсот лет назад с простейшего случая ограниченной задачи трех тел [2] и продолжаются до сих пор. Одним из направлений таких исследований является поиск точных частных решений уравнений движения и анализ их устойчивости. Наиболее простыми решениями, которые можно найти в аналитической форме, являются равновесные решения, называемые также положениями относительного равновесия. В случае ограниченной задачи трех тел, например, имеется пять таких положений, причем три их них, известные как коллинеарные решения Эйлера, являются неустойчивыми (см., например, [2, 3]). Проблема устойчивости двух других положений равновесия, называемых треугольными решениями Лагранжа, оказалась очень сложной и ее полное решение стало возможным только после появления КАМ-теории [4, 5]. Наиболее общие результаты при отсутствии резонансов в системе были получены в работах А.М. Леонтовича [6], А. Депри [7], а
при наличии резонансов - в работах А.П. Мар-кеева [3], А.Г. Сокольского [8, 9]. Основные результаты исследования ограниченных задач четырех и более тел можно найти в монографии [2].
Поскольку необходимым условием применения теорем КАМ-теории является приведение функции Гамильтона к нормальной форме по Биркгофу [11], были предложены различные алгоритмы построения соответствующих канонических преобразований (см. [12]). Практическая реализация таких алгоритмов (см., например, [13]) обычно сопровождается весьма громоздкими символьными вычислениями, выполнение которых требует использования компьютера и современных программных средств, таких как, например, система компьютерной алгебры МаЛешаИса [14]. При этом исследование более сложных моделей, по сравнению с ограниченной задачей трех тел, приводит к значительному возрастанию времени вычислений и объема используемой памяти. Поэтому получение новых результатов требует усовершенствования имеющихся, а также разработки новых эффективных алгоритмов вычислений, что
и стимулирует исследования в этой области.
Целью данной работы является подробное описание алгоритма построения канонического преобразования, приводящего к нормальной форме функцию Гамильтона, определяющую движение автономной системы с двумя степенями свободы в окрестности положения равновесия. В качестве примера для демонстрации работы алгоритма рассмотрена плоская круговая ограниченная задача трех тел. Причиной такого выбора явилось появление работы [15], в которой поставлено под сомнение выражение для нормальной формы гамильтониана в окрестности треугольных лагранжевых решений плоской ограниченной задачи трех тел, полученное ранее в работе [7] и впоследствии воспроизводимое многими авторами. При вычислениях мы не используем комплексных переменных и следуем методу, предложенному ранее при решении проблемы устойчивости равновесных решений ограниченной задачи четырех тел (см. [16, 17]). Следует отметить, что построенные канонические преобразования, нормализующие члены второго, третьего и четвертого порядков в разложении гамильтониана системы с двумя степенями свободы в окрестности равновесного решения, записаны в достаточно общей форме и могут быть успешно использованы при анализе устойчивости равновесных решений в других ограниченных задачах многих тел.
2. НОРМАЛИЗАЦИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ЧАСТИ ГАМИЛЬТОНИАНА
В рамках плоской круговой ограниченной задачи трех тел рассматривается движение тела пренебрежимо малой массы в гравитационном поле двух массивных тел, вращающихся равномерно вокруг общего центра масс системы (см. [2, 3]). Используя относительные координаты и переходя во вращающуюся систему координат, в которой два тела массами то, ш\ покоятся в точках (0,0), (0,1), соответственно, функцию Гамильтона системы можно записать в виде
Н = 2(рХ + рУ) + РхУ - Рух + ух—
1 — у
у
1X2 + У2 д/(х — 1)2 + У2
(1)
где у = т\/(т0 + т\). Легко убедиться в том, что уравнения движения
(1х
дН
дрх
(У
дН
дРу ,
(рх = _ дН (Ру = _дН (2)
М дх ' dí ду ' имеют стационарные решения
1 1
хо = 2, Уо = , Рхо = , Руо = 2 , (3)
которые и называются треугольными решениями Лагранжа. Поскольку устойчивость обоих решений исследуется одинаково, далее рассмотрим только первое из них. Обозначая через х,У,рх,ру возмущения равновесного решения (3) и разлагая функцию Гамильтона (1) в ряд по степеням возмущений, приводим ее к виду
Н = Н2 + Нз + Н4 + ...
(4)
где Н - однородная форма степени к относительно х,У,рх,ру. Постоянный член Но в (4) отброшен, так как он не влияет на уравнения движения, а член первого порядка Н\ равен нулю в силу (3). Поэтому разложение (4) начинается с квадратичного члена, причем первые три члена разложения имеют вид
Н2 = 2 (р2х + рУ) + РхУ — Рух+ +1 (х2 — 8(ху — 5у2) ,
(5)
7(х3 з^3 ПС з^3 з
Нз = — т:^ + "ТТ^"х2У + хУ2 + -¡тт"У3 , (6)
12^3 16
4^3
16
__ ^ ■ 4 25С 3 123 2 2 Н4 =-х4 +--1 х3У--х2У2 —
4 юс 64
37 128"
24
15( 3 8 хУ 128
3 4
У ,
(7)
где введен параметр
С = ^(1 — 2у).
Первый этап нормализации гамильтониана (4) состоит в построении вещественного канонического преобразования, приводящего
квадратичную часть (5) к сумме гамильтонианов, описывающих два независимых гармонических осциллятора, т.е. к виду
Н = ±Щ- (Р? + я2) ± ^ (Р2 + Я2) , (8)
где Я1,Р1 и Я2,р2 - две пары новых канонически сопряженных переменных, а Ш1,Ш2 - частоты осцилляторов. Заметим, что в случае линейной гамильтоновой системы гармонические осцилляторы являются независимыми и знаки плюс и минус в выражении (8) не влияют на их движение. Если же система является нелинейной, что имеет место в рассматриваемом случае, то наличие одинаковых или различных знаков у двух слагаемых в (8) принципиально изменяет ее поведение. И хотя к настоящему времени разработаны различные алгоритмы нормализации квадратичной части гамильтониана (см. [12]), проблема правильного определения знаков частот в (8) обычно в литературе не обсуждается.
Оставляя в разложении (4) только квадратичную часть, удобно записать линеаризованные уравнения движения (2) в матричном виде
Ш2
—X = 3Н2тагХ ,
(9)
где вектор Xт = (ж,у,рх,ру) и введены две матрицы
2та1
/ 1/4 -с 0 -1
-с -5/4 1 0
0 1 1 0
V -1 0 0 1
/ 0 01 0 ^
0 00 1
-1 00 0
V 0 -1 0 0
А13 = ±ШЬ Л2,4 = ±¿^2,
(10)
если параметр £ удовлетворяет неравенству ^23 < ^ <
4
4
(11)
В этом случае решения (3) будут устойчивыми в линейном приближении.
Матрицу вещественного канонического преобразования, приводящего квадратичный член (5) к виду (8), можно построить на основе собственных векторов матрицы 3Н2та£ (см. [3]), которые легко вычисляются. Вводя обозначение Ут = (ж1, ж2, ж3, ж4), находим выражение для собственного вектора в виде
4(( - 2А) 4А3 - А - 4(
ж1 = 1 , ж2 = —¡^—— , ж3 =
4А2 - 9 3 4А2 - 9 4А2 - 4А( + 9
ж4 = - -
4А2 9
(12)
Очевидно, выражение (12) определяет две пары комплексно сопряженных собственных векторов У1,з, ^2,4, соответствующих собственным значениям (10), причем эти векторы определяются с точностью до постоянных множителей. Для векторов V, У3 = V* и У"2, = У"2* такие множители можно выбрать и равными С1 и С2, через Щ =
(«кЪ sk3, «к4) действительную и мнимую У1, У2 и полагая Ак = ¿Шк, выражений (12) находим
Обозначая бТ =
вещественными соответственно.
(Гк1,Гк2,Гк3,Гк4), соответственно, части векторов (к = 1,2), из
Гк1 = Ск , Гк2
4ск С 9 + 4ш2
Гк3
4ск С 9 + 4ш2
3
Выполняя стандартные вычисления, легко убедиться в том, что матрица 3Н2та^ имеет две пары различных чисто мнимых собственных значений
Ск (9 - 4ш^) 8скШк
Гк4 = „ , , 2к , 5к1 =0 , 8к2 =
Зк3 =
9 + 4ш2
Ск Шк (1 + 4ш|) 9 + 4ш2
«к4 = -
9 + 4ш2 4ск (Шк
9 + 4ш2
(13)
к и 1 к Условие нормировки векторов Як и Бк
т1 Як • 3 • Бк = 4,
определяет постоянные С1 и С2 в виде
где
Ш1,2 = 1 (2 ± л/-23 + 16С2)
1/2
С1
1 9 + 4ш2
4 у ш1 (ш2 - ш2)
С2
9 + 4^2 ^(ш2 - ш|) '
(14)
А = (-2£ь -2^2, 2ЯЬ 2^2),
(15)
т.е. столбцы матрицы А выражаются через векторы $1, 5*2, Я1, ^2. Выполняя вычисления, легко убедиться в том, что полученная матрица (15) является симплектической, т.е. удовлетворяет условию АтЗА = 3. Следовательно, преобразование вида X = А^, где ZT = (91,92,Р1,Р2), является каноническим. Таким образом, старые переменные (х,у,рх,ру) выражаются через новые (9ь 92,рьр2) следующим образом:
а1 а2 х = —Р1 + —Р2 2к1 2к2
4ш 4ш2 91 +--92
а1к1
Й2К2
л
а1к1*
-Р1
Й2К2*
-Р2 ,
ШС1 ^2С2 , 2( 2( Рх = "-91 + т;-92 +--Р1 +--Р2
Ру =
2а1к1 2(^1
а1к1
91 -
2й2к2 2(^2
а1 к1
Й2К2
92 +
Ь1
2а1 к1
Р1 +
Й2К2
Ь2
2а2К2
Р2 , (16)
где введены обозначения
«7 = Л/9 + 4ш2
Ъз =9 - 4ш2
Так как частоты Ш1, ш2 удовлетворяют неравенству 0 < ш < 1/л/2 < Ш < 1, легко видеть, что в выражении для С2 под корнем находится отрицательное число. Причиной этого является выбор знака плюс для собственного значения Л2 = ¿Ш при выделении мнимой части собственного вектора У2 в выражении (12). Чтобы постоянная С2 была вещественной, достаточно в выражение (12) при выделении мнимой части собственного вектора У2 подставить Л2 = — ¿Ш2. При этом действительная часть ^2 собственного вектора У2 не изменяется
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.