ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 1, с. 16-20
УДК 519.634
НОВАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ1}
© 2007 г. Т. М. Иванова, Т. И. Савёлова
(115409 Москва, Каширское ш., 31, МИФИ) e-mail: akmenukas@mtu-net.ru Поступила в редакцию 26.04.2006 г.
Для решения основной задачи количественного текстурного анализа получена новая формула обращения с использованием производящей функции для полиномов Лежандра. Библ. 9.
Ключевые слова: функция распределения ориентаций зерен кристаллов, полюсная фигура, производящая функция для полиномов Лежандра.
ВВЕДЕНИЕ
Аналитический подход к описанию текстуры поликристаллических материалов все более применяется в физике металлов и геофизике, чему во многом способствует усовершенствование как экспериментальной аппаратуры - рентгеновской, нейтронографической, ультразвуковой, так и вычислительной техники.
Наиболее полно описание текстуры поликристаллических материалов достигается с помощью функции распределения ориентаций зерен (ФРО). Прямое измерение ФРО еще не достаточно распространено и мало доступно. Обычной практикой является измерение полюсных фигур (ПФ) путем рентгеновской или нейтронной дифракции. Основная задача количественного текстурного анализа состоит в восстановлении ФРО по конечному набору экспериментальных ПФ. Знание ФРО позволяет более полно исследовать многие физические свойства поликристаллов, а также физические процессы, влияющие на формирование текстуры.
Решению задачи восстановления ФРО посвящено много работ, полная библиография содержит более ста наименований (см., например, [1]-[7]). Наибольшее распространение получил гармонический метод (см. [6]), связанный с разложением ФРО и ПФ в ряды Фурье, соответственно, по обобщенным сферическим функциям на группе вращений SO(3) и классическим сферическим функциям на сфере S2. В [1] было указано на неединственность решения данной задачи, вызванную экспериментальной неразличимостью направлений h и -h. Измеренные ПФ не несут информации о нечетной части ФРО, таким образом, удается восстановить только ее четную составляющую. В [3] указано также на неустойчивость суммирования ряда Фурье относительно погрешностей вычисления коэффициентов, вызванных ошибками измерения ПФ.
В [1], [2] приведены формулы обращения для решения задачи восстановления ФРО по ПФ. Эти формулы не получили практического применения, но оказались важными для понимания данной проблемы. В [2] впервые показана связь задачи восстановления с преобразованием Радона. Это сделано путем перехода от группы вращений SO(3) в трехмерное проективное пространство UP3.
В данной работе с помощью производящей функции для полиномов Лежандра получена новая формула обращения для четной части функции распределения ориентаций.
1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ГРУППЕ SO(3)
Пусть группа вращений трехмерного пространства SO(3) параметризована с помощью углов Эйлера {у, Ф, ф}, 0 < у, ф < 2п, 0 < Ф < п, и g = {у, Ф, ф} - элемент группы. Пусть в некотором
базисе пространства U единичный вектор h имеет сферические координаты {Ф, у}. Тогда считаем, что углы Эйлера определены так, что для вращения g = {у, Ф, ф} вектор gh направлен по
Работа выполнена при финансовой поддержке проекта INTAS < 03-51-6092.
НОВАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ 17
оси Oz. Это означает, что в данном базисе вращение имеет ортогональную матрицу, в третьей строке которой стоят декартовы координаты вектора Ь:
( \
cos ф cos у cos Ь -sin ф sin у cos ф sin у cos Ь + sin ф sin у -cos ф sin Ь
-sin ф cos у cos Ь -cos ф sin у -sin ф sin у cos Ь + cos ф cos у sin ф sin Ь
sin Ь cos у sin Ь sin у cos Ь
(1)
поэтому в случаях, когда это удобно, будем писать
g = {у, Ь, ф} = {h, ф}.
Обратное вращение g1 = {п - ф, Ь, п - у} имеет транспонированную по отношению к (1) матрицу, и координаты вектора h содержатся в ее третьем столбце. Инвариантная мера на SO(3) имеет вид (см. [8], [9])
dg = —-—sin (Ь)^у^Ь^ф, 8п2
так что для любой интегрируемой на группе функции f(g) верно соотношение
j f(g0g)dg = j f(ggo)dg. (2)
SO (3) SO(3)
Неприводимые представления {Tlg }, l = 0, 1, 2, ..., группы SO(3) в некотором базисе являются унитарными матрицами размерности 21 + 1, элементы которых - обобщенные сферические функции (см. [8])
Tmn (g) = е-'тф - оту Pmn (cos Ь), причем, в силу унитарности, имеем
TT (g-1) = T7 (g). (3)
Для функций TT (g) и PT (cos Ь) выполняются соотношения ортогональности (см. [9])
f rr,mn, \7fSq, ч j ^is^mr^nq /i*
j Ti (g) Ts (g) dg = -^T+i' (4)
SO(3)
п
^mn /
Vncnir imcnicinini/m =
21 + Г
j PTn( cos Ь) PTn( cos Ь) sin (Ь) dЬ = 2^. (5)
0
Если m = n = 0, то обобщенные шаровые функции совпадают с полиномами Лежандра порядка l
T (g) = PT (cos fl) = Pi(cos fl), (6)
а при m = 0, n Ф 0 они с точностью до множителя являются классическими сферическими функциями
т0п ({ ь, ф}) = ^^г+Г ¥" ( ь ) • (7)
Теорема сложения для обобщенных сферических функций имеет вид (см. [9])
I
т7Ъг §2) = X т7к( §1) тк1"( g2) • (8)
k = -l
Всякая функция f(g), интегрируемая с квадратом модуля на SO(3):
J f(g)l'dg < + (9)
SO(3)
18 ИВАНОВА, САВЁЛОВА
может быть разложена в ряд Фурье по обобщенным шаровым функциям, сходящийся в среднем (см. [8]):
I I
= xx x стпттп (10)
I = 0 т = -1п = —
2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
Лемма 1. Пусть Ь и у - единичные векторы, к1, gъ g е 80(3) и g1 = {Ь, 0}, £2 = {у, 0}. Тогда скалярное произведение (Ь, ¿у) равно элементу матрицы произведения вращений (кgg21 )33.
Доказательство. Согласно (1), третья строка в g1 содержит координаты вектора Ь, а третий
столбец в g21 - координаты вектора у. Произведению вращений соответствует произведение матриц, откуда и следует утверждение леммы.
Из (6) видно, что Т0 (К) зависит только от со8 Ф, т.е. только от элемента (к)33. Поэтому верна
Лемма 2. При условиях леммы 1 выполнено равенство
Р((Ь, gy)) = Т00 (gl gg-1).
Из теоремы сложения (8) и леммы 2 получаем
Следствие 1. Для полиномов Лежандра, зависящих от скалярного произведения (Ь, gy), имеет место разложение
¡1 ¡1 Р(( Ь, g у)) = xx Т 0г (gl) тгА g) тТ (g-1) = xx т 0Г ({ Ь, 0 }) тг,д( g) Т °9({ у, 0 }).
г = -¡д = -I г = -¡д = -I
Рассмотрим производящую функцию для полиномов Лежандра (см. [9]) со скалярным произведением (Ь, ку) в качестве аргумента и параметром р2:
^((Ь, gy), р2) = . 2 1 —. (11)
л/1-2 р2( Ь, gy) + р4
Лемма 3. При 0 <р2 < 1 функция ^((Ь, gy), р2) интегрируема с квадратом модуля на 80(3) и разлагается в абсолютно сходящийся ряд по обобщенным шаровым функциям.
Доказательство. Пусть g1, g2 - вращения, указанные в условии леммы (1), g = {у, Ф, ф} и е = = {0, 0}. Вычислим интеграл от квадрата модуля производящей функции, используя свойство инвариантности (2):
г _¿К_ = г _¿К_ = г _¿К_=
(3) 1 - 2 р2 (Ь к у) + р4 80( 3) 1 - 2 р2( Ь к!1 КК2У ) + р4 0(3) 1 - 2 р2 ( К: ь КК2У ) + р4
2
4п ¿х 1,1 + р - = -1п-— < +га
2 , 4 ~ 2 , 2
г _<К_= г ^ = — г -
^ 1-2 р2 (е, к е) + р4 1-2 р2со8 Ф + р4 8 л2-М-2 р2 х + рч 2 р2 1- р
Принимая во внимание лемму (2) и следствие (1), имеем
га га 5 5
xр2X((Ь, КУ)) = xxx р25^^Ь, 0})тТ({у, 0})тгд(К). (12)
га га 5 5
1 V 25П ,,, чч V V 25^0^ Г1 п-¡^тгАд,
л/1-2 р2 (Ь, к у) + р
4
5 = 0 5 = 0 г = -5 д = -5
Этот ряд сходится абсолютно при р2 < 1, так как мажорируется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем р2. Лемма доказана.
НОВАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ 19
3. ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ КОЛИЧЕСТВЕННОГО ТЕКСТУРНОГО АНАЛИЗА
Функция распределения ориентаций зерен в поликристаллических материалах fg), g е SO(3) связана с полюсной фигурой Ph(y), h, y е S2, описывающей распределение кристаллографических плоскостей с вектором нормали h интегральным уравнением (см. [1])
2 п
Ph(y) = 1 j{ f ({h, ф}-1{у, 0}) + f({-h, ф}-1{у, 0})^ф. (13)
о
Считается, что ФРО допускает представление в виде сходящегося ряда (10). Подставляя разложение (10) в (13) и выполняя почленное интегрирование, получаем ряд для ПФ. Обычно его пишут в виде разложения по классическим сферическим функциям, нам же удобнее представить этот ряд в виде
^ l l l
Ph(у) = Ш ^Ir11 CTTT({h, 0})T0n({y, 0}). (14)
l = 0 m = -In = -l
Четная часть ФРО получается при суммировании ряда (10) по четным значениям l:
^ l l l feven(g)=Ш L±yJI cmnTmn( g). (15)
l = 0 m = —l n = -l
Теорема. Если ФРО обладает свойством (9) и известны все полюсные фигуры, то четная составляющая ФРО восстанавливается по формуле
Ге n( g) = _Ц llm dp dip f f - Ph(ydhdy . (16)
16п2p -dp dp f ¿71-2p2(h, gy) + p4
Доказательство. По условию теоремы, ФРО, а значит, и ПФ являются суммами сходящихся рядов Фурье; кроме того, согласно лемме (3), ряд для производящей функции сходится абсолютно. Перемножим ряды (12) и (14) и проинтегрируем полученный ряд. Учитывая соотношения ортогональности (4) и (5), получаем
С х l l l
ff - Ph (y)dhdy ^ = fji x x x щ-иcmnT0m({h, 0})T0n({y, 0}) x
S2Sw1"2p2(h, gy) + p4 S2S2Vl = 0m = -ln = -l
^ s s
ll
l 2l
х x x x Р2*Т0г({ь, 0})т09({у, о})тл§) dьау = 16п2x x x г±^гг1-р—*стптГ(§) •
(21 +1)
5 = 0 Г = —5 ^ = -5 / 1 = 0 т = —1 п = —1 ^ ^
Получившийся в (17) ряд допускает почленное дифференцирование по параметру при р2 < 1. Имеем
1 1 - ■ - а 21 ~ 11
1+ (-1) p mn mn sr V V 1 + (-1) n2lr mn rpmn,
(2l + 1 )2
l = 0 m = —l n = -l v ' l =0 m = —l n =-l
U d ^ V X"1 1+ (-1) p ^mn^mn, . ^ X"1 1+ (-1) 2l/r-ImnT,mn, ч /,0>
-npTnp x x x T- c 1 (g) = xxx C T (g). (18)
Поскольку ряд (10) сходится, то сходится и его четная часть (15), и по теореме Абеля получаем, что ^ i i i ^ i i i Дт xxx p стч g) = xxx L4-il cmnTmn( g) • (19)
i = 0 m = -in = -i i = 0 m = -in = -i
Левая часть формулы (19) представляет собой четную составляющую ФРО (15). Теорема доказана.
Подынтегральное выражение, фигурирующее в (16), близко к сингулярному при
h = gy и p2 —- 1.
20 ИВАНОВА, САВЁЛОВА
Отметим, что если в (16) не переходить к пределу, а зафиксировать некоторое значение р2 = р0 < 1, то это приведет к размазыванию пиков распределения, т.е. к заглаживанию данных. Так, в случае распределения Лоренца с центром к0 и параметром т
1 - т2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.