МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2013
УДК 531
© 2013 г. В. Ф. ЖУРАВЛЁВ, Д. М. КЛИМОВ, П. К. ПЛОТНИКОВ
НОВАЯ МОДЕЛЬ ШИММИ
Шимми представляет собой явление интенсивных угловых автоколебаний колеса экипажа. Подобные автоколебания — серьезная угроза безопасности движения, чем и объясняется огромный интерес исследователей к этому явлению. Наиболее острой эта проблема является для передних колес самолетов.
Общепринято рассматривать деформацию пневматика в качестве основной причины шимми. Не подвергая сомнению этот тезис, тем не менее заметим, что эта причина не единственна. Явление шимми можно наблюдать в быту и в случае разнообразных ручных колясок, где ссылка на упругость пневматика чаще всего неуместна, если колеса жесткие.
Ниже будет показано, что теория поликомпонентного сухого трения вполне объясняет явление шимми для абсолютно жестких колес и, следовательно, служит, по крайней мере, одной из его причин в общем случае.
Причиной игнорирования сухого трения исследователями в объяснении шимми была неразвитость представлений об этом трении до настоящего времени, а объяснить шимми в рамках прежних представлений не удавалось.
Ключевые слова: шимми, поликомпонентное сухое трение, аппроксимации Паде.
1. Уравнения колебаний переднего колеса. Рассмотрим простейшую из возможных конструкцию (фиг. 1). Колесо крепится к самолету (экипажу) при помощи вертикальной стойки, обладающей упругостью в направлении оси х движения самолета со скоростью V, упругостью в боковом направлении у и упругостью на кручение вокруг вертикальной оси z.
Выпишем уравнения переднего колеса самолета (без выноса):
тх + рх = ¥х, ту + ру = ¥у
С(3 = Мг - ГхЯ (1.1)
Лу + ду = Мг + %А + уу
Здесь т — масса колеса, р — изгибная жесткость стойки, предполагаемая одинаковой в обоих направлениях; С — полярный момент инерции колеса; Л — его экваториальный момент инерции; д — крутильная жесткость стойки; ¥х, — проекции силы трения скольжения на оси х и у; Мг — момент трения качения, возникающий из-за деформации диаграммы распределения нормальных напряжений в сторону качения [7, 8]; Д = Мг /Ы — смещение центра приложения вертикальной реакции N, вызывающее
Фиг. 1
появление момента трения качения, / — высота стойки; Я — радиус колеса; Mz — момент трения верчения; /0 = /Ы, / — коэффициент сухого трения.
Появление членов ^уЛ и /0(Я//)у в последнем уравнении системы поясняется на фиг. 2 и 3.
2. Модель взаимодействия колеса с дорожным полотном. Колесо, вращаясь с угловой скоростью (3, проскальзывает со скоростью и = V - Я(3, взаимодействуя с дорожным полотном посредством сил сухого трения. Пусть е есть радиус пятна контакта, которое для простоты полагаем круговым. Введем имеющее размерность линейной скорости обозначение для угловой скорости верчения и = еу, где у — угловая скорость верчения. Будем пользоваться для верчения и скольжения, когда они присутствуют порознь, моделью сухого трения Кулона:М = М0 sgn и, и Ф 0, если и = 0; / = /0 sgnu, и ф 0, если и = 0.
Если же верчение и скольжение присутствуют одновременно, то, как показано в [9], связь момента трения и силы трения с угловой скоростью и линейной скоростью выражается так:
М = М0
/ = /0
и
и + аи
|и + Ьи
и2 + и2 Ф 0
На фиг. 4 в качестве примера показан график зависимости силы F от линейной скорости и при нескольких значениях угловой скорости bu = [0, 0.1, 1, 3, 7].
Выражение для зависимости силы трения от кинематических компонент недавно экспериментально подтверждено в МФТИ С. Семендяевым (фиг. 5).
и
Фиг. 2 Фиг. 3
Здесь сила трения направлена против вектора скорости скольжения. Если же площадка контакта несимметричная, то вектор силы не коллинеарен вектору скорости и для нахождения компоненты силы, поперечной скорости, воспользуемся идеей, представленной, например, в [7], в силу которой качение вызывает деформацию диаграммы распределения нормальных напряжений в контакте
Ст(0, р) = в2 -р2(1 + hp cos 0), h = \h\ sgn и
2пв
Переменные р и 0 — полярные координаты точки в круговой площадке контакта, качение предполагается происходящим вдоль оси х. Здесь о(р, 0)| h=0 представляет собой закон распределения Герца в случае точечного контакта.
Тогда для компоненты силы, перпендикулярной скорости, получим
е 2п 2
F _ f[ Г шр cos 9g(9, p)dpd0
Fy ~J J J l22 =2
00Vшр - 2ишр sin 0 + и
После перехода к безразмерным переменным
(р, ю) ^ (г, u): р = s r; ю = u/ s эта зависимость приводится к виду
F (k) = -kWhs j2r r4l - r2 cos2 0drd0; k = u y 2n 0 0 Vk2r2 - 2kr sin 0 + 1 u
F/F0 1.2
F(k) 1000
900 800 700 600 500 400 300 200 100
0 2 4 6
8 10 12 14 16 18 20 и
Фиг. 4
5
k = и/и
Фиг. 5
Хотя этот интеграл может быть вычислен точно, воспользуемся аппроксимацией Паде, для чего подсчитаем
п Т-, , . ЗпЫ/Не ЛРу Ы/Нг ¥у (0) = 0, /у (да) =--— ,—740) =--
32
йк
0
1
2
3
4
Аппроксимация Паде имеет вид
Л, = -ЗпЫ/Ие---
15п и + 32м
Для трения качения имеем
£ 2п
Мг = Ц с(р)р2008 9dpd 9
0 0
2
Выполняя интегрирование, находим Mr = Nhz /5.
3. Модель шимми. В итоге уравнения колебаний колеса на стойке получаются такими
F0u 3F0nh s 2y mx + px =--0 , my + py =--0-—
Ii» 11 ij/ \ р у —
и + b |sy| 15nu + 32 |sy|
с 0 = - /1Ши (3Л)
Я 5 и + Ь |еу|
А + = + N^ + /НЯу (0 < и < V)
|Еу| + аи 5 I
В случае точечного контакта по Герцу для Паде-аппроксимации первого приближения а = 15п/16, Ь = 8/3п. Это и есть модель динамики переднего колеса самолета, взаимодействующего с дорожным полотном силами сухого трения.
Если колебаний колеса вокруг вертикали нет (у = 0), то третье уравнение полученной системы приобретает вид
и = ЯЩНе2 - 5/Я)/5С
Если трение качения преобладает: Не > 5/Я (например, на полосе обледенение), то
скорость проскальзывания монотонно возрастает до значения и = V, т.е. вплоть до
2
блокировки колеса. Обычно преобладает трение скольжения: Не < 5/Я и в отсутствии шимми проскальзывание монотонно убывает до нуля.
Рассмотрим теперь общий случай. При стационарном качении
Ц , 0 ^ Не! =
5 + Ь |еу|
Угловыми скобками обозначено осреднение по времени вдоль решений невозмущенной (с нулевыми правыми частями) системы, что позволяет найти проскальзывание
и = 2НЬе3У 0 п(5/Я - Не2)
Таким образом, стационарное проскальзывание может установиться при наличии шимми только в случае преобладания трения скольжения.
Для исследования устойчивости систему следует линеаризовать, полагая колебания верчения еу малыми в сравнении со средним проскальзыванием V - (3 Я. При этом отделяются уравнения колебаний стойки поперек направления движения и уравнение
крутильных колебаний у + X2у + Ьу = 0, у + ^у + \- Яу = 0.
m
Фиг. 6
Здесь использованы обозначения ^ = p/m, X2 = ^ - fNhe2/5A, ^ = q/A; £ = M0s/(aAu); X = hs2fN/(5mu); 5 = fNR/(Al).
Применение к этой системе двух линейных уравнений критерия Рауса—Гурвица позволяет констатировать неустойчивость (шимми), если
5q < hF0s2 или ^(Х2 - Xj2) < LS
Используя введенные ранее обозначения, эти условия можно переписать иначе: не-
2 2 2
устойчивость имеет место, если q < fMr или 15nlmA(k2 - Х1) < (3nlme + l6aRA)hF0. Полученные условия показывают, что для борьбы с шимми следует увеличивать
крутильную жесткость стойки (q,и уменьшать трение скольжения (f, F0) и трение качения (h, Mr). Положительный эффект дает уменьшение пятна контакта s и увеличение массовых характеристик колеса (m, A). Если частота крутильных колебаний меньше или равна частоте изгибных колебаний, т.е. Х2 < А^, шимми неизбежно.
Полученные условия неустойчивости равномерного прямолинейного скольжения (необходимые условия существования шимми) могут быть представлены в иной форме. Внесем во втором условии произведение массы колеса на его экваториальный момент инерции mA внутрь скобки. Это условие превращается тогда в линейное по m и A неравенство
3nl(5q - s2hF0)m < (16aRhF0 + 15nlp)A (3.2)
Если выполнено первое неравенство, т.е. 5q < s2hF0, то неравенство (3.2) выполнено заведомо. Это означает, что единственным необходимым и достаточным условием
неустойчивости (условие шимми) остается неравенство (3.2). Если же 5q > s2hF0, то неравенство (3.2) ограничивает в плоскости (m, A) область неустойчивости, изображенную на фиг. 6.
Условие неустойчивости (3.2) может быть разрешено относительно hF0:
hFo > 15nl(qm - pA) (3.3)
3nlme +16aRA
Тогда в осях (A, hF0) область неустойчивости приобретает вид, изображенный на фиг. 7. В этом представлении условия неустойчивости видно, что если F0, как это обыч-
но и бывает, зависит от величины скорости проскальзывания, то при достаточно большой скорости проскальзывания условие неустойчивости (3.3) может быть выполнено.
Часто зависимость силы трения от скорости записывают так: F0 = (f - f'v + f" и 3)NV. Это позволяет вычислить скорость проскальзывания, называемую критической скоростью шимми, на границе области устойчивости:
(f - f Ucr + f "ul)hN = 15П/(Г - ^A) 3nlme + 16arA
На фиг. 8 изображено численное решение уравнений (3.1) по боковому смещению y и по проскальзыванию и в области неустойчивости.
4. Описание установки и методики экспериментального исследования шимми. В качестве экспериментальной установки был использован вертикально-фрезерный станок марки F2-250 (Южная Корея) с имеющимся на нем макетом. На станочных тисках, установленных на подвижном столе станка, с помощью державки закреплялся макет для испытаний явления шимми (дальше — макет шимми). В шпиндель станка вставлялся приводной стальной цилиндр с гладкой поверхностью, с которым посредством перемещений стола приводилось в соприкосновение колесо макета шимми. Соосность осей макета и цилиндра, величина нормального давления в контакте колесо-цилиндр обеспечивались величинами подач стола по трем взаимно-перпендикулярным осям. Вид части станка с двумя разновидностями макетов шимми (со стальным и плексигласовым колесами) представлен на фиг. 9. В состав экспериментальной установки входила также видеокамера Panasonic и компьютер для обработки информации.
Кинематическая схема макета шимми со стальным колесом представлена на фиг. 10.
Конструктивно в каждом макете обеспечены две угловые степени свободы: вокруг
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.