АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 2, с. 129-136
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК: 534.23:537.874.6
НОВАЯ ВЕРСИЯ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ИСТОЧНИКОВ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧЕ ДИФРАКЦИИ НА ТЕЛЕ ВРАЩЕНИЯ © 2014 г. С. А. Маненков
Московский технический университет связи и информатики 111024, Москва, ул. Авиамоторная 8а E-mail: mail44471@mail.ru Поступила в редакцию 23.05.2013 г.
Предложен новый вариант модифицированного метода дискретных источников для решения скалярной задачи дифракции на импедансном теле вращения. Разработанный подход позволяет строить эффективные алгоритмы решения данной задачи для тел вращения различной формы, в том числе для рассеивателей, имеющих изломы границы. Приведены численные результаты для тел с различной геометрией и продемонстрирована высокая точность полученных результатов.
Ключевые слова: дифракция волн, метод вспомогательных источников, аналитическое продолжение волновых полей.
DOI: 10.7868/S0320791914010110
ВВЕДЕНИЕ
Существует много работ, посвященных методу вспомогательных источников для решения задач дифракции волн [1—5]. Одной из версий этого метода является модифицированный метод дискретных источников (ММДИ), предложенный в работах [4, 5], который впоследствии был применен к решению широкого класса задач теории дифракции электромагнитных и акустических волн, таких как рассеяние на одиночном теле вращения [6, 7], дифракция на группе соосных тел вращения [8, 9] и др. В перечисленных выше работах вспомогательная поверхность выбиралась в сферической (либо полярной) системе координат. В работах [10, 11] предложена модификация ММДИ для решения задачи дифракции на сильно вытянутых и сильно сплюснутых телах, а также на телах тороидальной формы. В указанных работах вспомогательная поверхность выбиралась в сфероидальных или тороидальных координатах, то есть решение задачи строилось в подходящей системе координат. В настоящей работе данный подход распространен на тела, имеющие изломы границы, такие как полусфера, конус и т.д. Для решения задачи использовались ортогональные координаты, в которых граница рассеивателя является координатной поверхностью. Для получения данных координат использовалось конформное отображение единичной окружности на контур осевого сечения тела. В определенных таким образом координатах вводится комплексная переменная, что позволяет осуществить выбор как
поверхности, на которой ставится граничное условие задачи, так и поверхности, являющейся носителем дискретных источников.
Предлагаемая модификация ММДИ близка к методу адаптивной коллокации, предложенному в работах [12, 13]. Существенным отличием данного метода является, во-первых, использование базиса Рэлея для аппроксимации рассеянного волнового поля. В настоящей работе, как и в перечисленных выше работах, используется базис, состоящий из фундаментальных решений уравнения Гельмгольца. Во-вторых, ММДИ применим и в том случае, когда поверхность тела не совпадает с координатной поверхностью выбранной системы координат. Данный факт продемонстрирован в работе при анализе рассеяния на вытянутом суперэллипсоиде вращения.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ЕЕ РЕШЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ ММДИ
Рассмотрим математическую постановку задачи. Требуется найти функцию и:(г) = и1(х,у,г), удовлетворяющую уравнению Гельмгольца всюду вне рассеивателя, занимающего область Б с границей 8, и краевому условию
U = W ^
дп
s
где W — импеданс тела, U = U0 + U\ причем U0 — известная функция (поле падающей на рассеива-тель волны), которая имеет вид
U0 = exp(-/£r(sin0osin0cosф + cos00cos0)). (2) Здесь (r, 0, ф) — сферические координаты. Рассеянное поле U1 удовлетворяет условию на бесконечности
lim r
r ^да
ди1
дг
+ ikU1 I = 0
(3)
Рассмотрим алгоритм решения задачи при помощи ММДИ. С использованием представления
для поля и :(г)
U» = j> 'G(r, r ')da,
(4)
-ikR
где 0(г, г') =-(Я = г - г 1, к — волновое число) —
4пЯ
функция Грина, задача сводится к решению следующего интегрального уравнения:
|./(г•)|С(г,г') - Ж= °(г) - Жди°(г)Ч
дп
дп
r е S.
(5)
В формулах (4) и (5) у(г) — вспомогательная неизвестная функция, распределенная на замкнутой поверхности 2, лежащей внутри Б. Основным моментом ММДИ является выбор вспомогательной поверхности 2. Как показано в работах [14, 15], имеет место следующая теорема существования (рассмотрим ее на примере граничного условия Дирихле, то есть при Ж = 0):
Пусть простая замкнутая поверхность Б такова, что к не является собственным значением внутренней однородной задачи Дирихле для области внутри Б. Тогда интегральное уравнение (5) разрешимо в том и только том случае, если 2 охватывает все особенности решения и:(г) краевой задачи с граничным условием (1). В этом случае уравнение (5) имеет единственное решение.
Отметим, что в приведенной теореме не указывается способ построения вспомогательной поверхности, нужно лишь, чтобы эта поверхность охватывала все особенности продолжения волнового поля внутрь границы тела. В работах [4—11] было показано, что для получения наиболее эффективных численных алгоритмов необходимо выбирать вспомогательную поверхность при помощи аналитической деформации границы рас-сеивателя. Как указано во введении, ранее для выбора данной поверхности использовались сферические, сфероидальные и тороидальные координаты.
ВЫБОР ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В СФЕРИЧЕСКИХ ИЛИ СФЕРОИДАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
Предположим вначале, что поверхность S задана в сферических координатах
х = r sin 0 cos ф, y = r sin 0 sin ф, z = r cos 0, (6) где r = r (0) и 0e [0, п]. Тогда уравнения вспомогательной поверхности в сферической системе координат имеют вид [4—9]
r2 =£1, 02 = arg 2, 2,(0) = r(0 + i5)exp(i0-5), (7) где 8 — положительный параметр, определяющий степень деформации исходной поверхности тела. Если 8 = 0, то переменная ^еС, где C — контур на комплексной плоскости £,, соответствующий контуру осевого сечения рассеивателя и конгруэнтный ему. Если начать увеличивать 8, то C будет сжиматься и мы получим новый контур, который может быть выбран в качестве контура осевого сечения поверхности £. Для нахождения декартовых координат точки на вспомогательной поверхности используем формулы
х2 = Im 2 cos ф, y2 = Im 2 sin ф, z2 = Re 2, (8)
причем 2, = z2 + ip2, где p2 и z2 — цилиндрические координаты точки на вспомогательной поверхности.
Пусть далее поверхность тела задана в вытянутых сфероидальных координатах: х = f sh a sin р cos ф, y = f sh a sin p sin ф, z = f ch a cos p, причем уравнение S имеет вид а = аф), где в е [0, п]. Тогда вспомогательная поверхность определяется соотношениями [10, 11]
а2 = Re Z, р2 = Im Z, Z(P) = аф + iS) + i(P + iS), где (а2, р2,ф) — сфероидальные координаты "образа" точки с координатами (а, р, ф) на исходной поверхности. Для получения декартовых координат точки на вспомогательной поверхности нужно вновь использовать формулы (8), в которых в данном случае 2,(р) = f ch Z(P).
ВЫБОР ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ ВРАЩЕНИЯ
Приведенные выше способы построения вспомогательной поверхности можно обобщить. Рассмотрим задачу дифракции на вытянутом сфероиде, поверхность которого совпадает с координатной поверхностью а = а 0 в сфероидальных координатах. Очевидно, что отображение 2,(0 = f ch Z(p) =
= f (ea+'e + eпредставляет собой конформное
(9)
(10)
2
отображение внешности единичной окружности в плоскости переменной ? = ехр(а + /р) на внешность отрезка [-/, / ] в плоскости £, (предполагаем, что ре [0,2п], а > 0). При этом эллипс а = а 0 в плоскости £, отображается в окружность радиуса
е а° в плоскости I. Как следует из формулы (10), в рассматриваемом случае необходимо в качестве вспомогательной поверхности £ взять координатную поверхность а = а0 - 5, где 0 < 5 < а0.
Пусть далее известно конформное отображение внешности единичного круга в плоскости ? = ехр(а + /р) (где ре [0,2п], а > 0) на внешность контура осевого сечения некоторого тела вращения (граница которого имеет изломы) в плоскости £,. Для упрощения записи мы не вводим новых обозначений для переменных а и р. Подчеркнем, что эти величины никак не связаны со сфероидальными координатами, описанными выше. Тройку чисел (а, р, ф) можно рассматривать в качестве ортогональных координат вращения. В выбранных координатах поверхность тела 3 описывается уравнением а = 0. При этом особенности волнового поля расположены на поверхности рассеивателя. Для того чтобы применить ММДИ, можно аппроксимировать поверхность 3 при помощи координатной поверхности, у которой координата а = а0 <§ 1. При такой аппроксимации контур осевого сечения полученного тела не будет иметь особенностей (они будут располагаться внутри контура сечения "нового" рассеивателя), то есть будет гладким. Заметим, что формула (10), которая позволяет определить ортогональные координаты (а2, р2, ф) точки на вспомогательной поверхности, остается в силе, а зависимость, связывающая переменные £, и Z (или £, и I), будет отличаться от случая сфероидальных координат. В качестве поверхности X необходимо, в соответствии с формулой (10), взять координатную поверхность, у которой а = а0 - 5 (0 < 5 < а0).
Подчеркнем, что в отличие от задачи рассеяния на сфероиде, при анализе дифракции на теле, имеющем изломы, мы имеем приближенную постановку задачи, так как рассматриваем дифракцию на теле, поверхность которого описывается уравнением а = а 0, в то время как поверхность рассеивателя, для которого решается исходная задача дифракции, задается уравнением а = 0.
ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ДЛЯ ТЕЛ, ИМЕЮЩИХ ИЗЛОМЫ ГРАНИЦЫ
Рассмотрим некоторые примеры. В случае задачи дифракции на полусфере имеем следующую функцию
1 -
Щ = -ta-
il—_1
t - i
3/2
1 +
it - 1 t - i
3/2 '
(11)
Данная формула представляет собой композицию дробно-линейной и степенной функций. В формуле (11) а — радиус полусферы. В случае конуса, усеченного конуса и других тел, осевое сечение которых представляет собой многоугольник, мы использовали формулу Кристоффеля-Швар-ца для отображения внешности единичного круга в плоскости ? =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.