РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 3, с. 314-319
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 538.566[075.8]
НОВОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
© 2004 г. Р. Л. Евельсон
Поступила в редакцию 24.04.2002 г.
Рассмотрены уравнения Максвелла для комплексных амплитуд векторов поля в произвольной неоднородной анизотропной поглощающей среде. Показано, что в произвольной системе криволинейных координат можно выбрать три базиса (репера) для описания координат искомых векторов поля и заданных тензоров диэлектрической и магнитной проницаемостей таким образом, чтобы соответствующие скалярные уравнения поля могли трактоваться полученными в прямоугольной декартовой системе координат для некоторой эквивалентной (фиктивной) магнитодиэлектрической среды.
1. НАВОДЯЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Рассмотрим однородные уравнения Максвелла для комплексных амплитуд гармонических полей с длиной волны X в вакууме в произвольной анизотропной среде:
Е,
Ух Н = -гк£
(к = 2 п/Х),
Ух Е =
г'к|1
Н
а = ахг + ау] + агк + а^к = ат е = ет а,
(2)
а его ротор в виде
Ух а =
> > »
' ] к дх ду Эг
х ау ^
= ет д* а,
(3)
(1) где в соответствии с [3] приняты обозначения для
матриц-столбцов из чисел (а) и векторов (е)
где Е, Н - искомые комплексные электрический и магнитный векторы поля, а тензоры £, |1 - заданные непрерывные комплексные функции точки пространства, имеющие смысл соответственно диэлектрической и магнитной проницаемостей среды, заполняющей это пространство. В соответствии с принятыми обозначениями [1, 2] точка (■) и косой крест (х) в (1) означают соответственно скалярное и векторное произведения.
Уравнения Максвелла (1) инвариантны, т.е. не зависят от выбора системы координат, так как инвариантными являются входящие в них векторы, тензоры и оператор Гамильтона У. Однако для получения каких-либо количественных результатов необходимо использовать какую-либо систему координат. При этом инвариантные век-торно-тензорные уравнения поля (1) переходят в скалярные уравнения поля, сложность которых зависит от выбора системы координат. Наиболее простыми эти уравнения оказываются в прямоугольной декартовой системе координат х, у, z с
> » >
ортами вдоль осей соответственно г, ], к.
В прямоугольной декартовой системе координат любой вектор а можно записать в виде [3]
а=
е=
ах ау
V ^ у
'
] » к
(4)
(5)
индекс т означает транспонирование, и введены в рассмотрение операторные матрицы
д=
/ л / \
| д х 0 д у 1
д у , д* = дz 0 -д х
V дz у V -ду дх 0 у
(6)
В связи с формулой (3) подчеркнем, что известное символическое выражение для ротора вектора (3) через операторный определитель в (3) неявно содержит дополнительное соглашение о порядке расположения множителей в произведении из орта, оператора дифференцирования и координаты вектора, в то время как последняя формула в (3) четко указывает, что оператор диффе-
ренцирования не действует на орты, а действует только на координаты вектора, так как перестановка координат вектора а и оператора дифференцирования д* недопустима по правилам умножения матриц.
В связи с рассмотренным диадным представлением тензоров 2-го ранга [1] можно показать (подробнее см. в разд. 2), что подобно инвариантному представлению вектора (2) в декартовой системе координат, инвариантное представление любого
тензора П имеет вид в декартовой системе координат
П = ет Пе, П =
Пхх П ху П XI Пух Пуу Пуг Пгх Пгу
(7)
е • е =
/ л
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= I.
(8)
ет д* Н = -¿кет е Е, етЭ *Е = ¿кет ц Н, где принято, что
Е = ет Е, Н = ет Н,
£ = етее, |1 = етц е.
(9)
(10) (11)
д *Н = -¿кеЕ, д* Е = ¿кц Н
(12)
Е=
/ л Ех / л Нх
Еу , Н = Ну
1 Ег J 1 Нг J
(13)
при заданных компонентах тензоров £ и |1
/ \
е=
£££
^хх ^ху ^хг
£££ '-ух '-уу '-уг
£ £ £
V гх '-гу гг у
ц =
с \
| хх | ху | хг
1ух 1уу 1уг \ 1гх 1гу 1гг J
(14)
по формулам (11).
2. БАЗИСЫ, ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
Будем считать, что произвольные криволинейные координаты и1, и2, и3 связаны с обычными прямоугольными декартовыми координатами
где матрица П имеет смысл компонент (или координат) тензора П и, в отличие от последнего, зависит от выбора системы координат. Из формулы (5) следует, что скалярное произведение столбца на строку равно единичной матрице
х1 — х, х2 — у, хз — г взаимно однозначными соотношениями
х1 — х1 (и1, и2, из), х2 — х2(и1, и2, из),
х3 = ( и1> и2' и3 ) '
и1 = и1 (х1, х2, хз), и2 = и2(х1, х2, хз), и3 = из ( х1> х2' хз ).
(15)
(16) (17)
Если ввести столбцы из координат по формулам типа (4), то формулы (16), (17) примут вид
С учетом формул (2), (3), (7), (8) из уравнений Максвелла (1) можно получить
х = х (ит) или хт = хт (и); и = и(хт) или ит = ит(х).
(18) (19)
В обозначениях (5), (15) радиус-вектор точки наблюдения можно записать в виде
тт
г = ¿х + ]у + кг = х е = е х, где по аналогии с (15) положено
в1 = I,
в2
],
ез = к.
(20)
(21)
Приравнивая коэффициенты при ет в (9), или, что то же самое, умножая скалярно обе части уравнений (9) слева на столбцы е, получим искомые скалярные уравнения поля
В соответствии с общей теорией криволинейных координат в современном тензорном исчислении в качестве основного базиса принят базис из касательных к координатным линиям векторов [1-5]:
>
Г1 =
д Г
ди1'
12 =
дг
д и2
>
1з =
дг
д из'
(22)
в прямоугольной декартовой системе координат, где искомыми являются столбцы из координат электрического Е и магнитного Н векторов поля
которые можно объединить в один столбец по формуле типа (5):
1 =
/ л
г 1
г 2
V г з у
= Се,
(23)
где матрица C, очевидно, имеет вид
d хк
C - üüx - lie II3 C - du - lledl 1>
С;к du; •
(24)
Наряду с базисом 1 в современном тензорном исчислении [1-5] используется и другой базис
г » л
£2 V £з J
- D e, D - C-
(25)
который называется взаимным с базисом t, так как
t • gT = Ce • етD = CID = CC 1 = I. (26) В современном тензорном исчислении [1-5] произвольный вектор а раскладывается либо по базису t
а = а ti + а t2 + ah = а ti, (27)
либо по базису g
а = а 1 gi + а2 g2 + а3 g3 = аit (t = g i). (28)
Величины ai при этом называются контрава-
риантными координатами вектора а, а а1 - кова-риантными координатами. Соответственно базис t называется ковариантным, а базис g - контрава-риантным. Никаких других базисов современное тензорное исчисление не допускает. Например, оно не допускает одновременно с (27), (28) исполь-
зовать для вектора a разложение
* 1 \ 1 \ 1 ^ >
a - b 1 ti + b2t2 + b3g3 - a-z + an,
(29)
> >k I 1 при I - к,
ti • t - 0; - <
I 0 при i к.
(30)
Сама необходимость ограничения только двумя базисами вытекает, например, из разложения (29), где (стремясь сохранить обозначения сово-
купности координат через а) необходимо поставить номер координаты где-то между верхом и низом буквы а, например в ее середине, т.е. положить в (29) аг = Ь, что явно было бы не совсем
удобно. Но даже в рамках принятых только двух возможных базисов разложения (27), (28) невозможно одновременно представить в рекомендованной в [3] безындексной записи типа (2), так как неизвестно, что именно следует принять за столбец из координат вектора а :
a - an или a - 2 . (31)
/ л / л i a
a1
a2 или a - 2 a
v a3 J 3 a V /
Для ликвидации указанных трудностей в обозначениях для записи любого вектора а можно использовать безындексную запись типа (2) с указанием базиса, в котором получается данная совокупность координат. Например, в случае использования базисов (21), (22), (25) можно записать
т т. т т .т т
а = аее = а^ = а^ = е ае = 1а, = g а8. (32)
Здесь, например, запись а1 означает столбец из
координат вектора а, разложенного по векторам базиса 1, т.е. ни что иное, как разложение (27)
т ,12 3.
at - (a , a , a ).
(33)
Аналогично, запись ag, согласно (28), означает, что
которое в современном векторном исчислении вместе с (27), (28) вполне допустимо и трактуется как обычное разложение вектора на тангенциальную и нормальную составляющие относительно координатной поверхности u3 = const.
В работах [6, 7] специально подчеркивается, что успех тензорного исчисления объясняется удобством принятого метода обозначений, например, возможность обозначать вектор и совокупность его координат одной буквой (а', а). Но для этого потребовалось вывести из рассмотрения все другие возможные базисы и оставить только два: ковари-„ » „ * -
антный t' и контравариантньш t = g', обладающие, согласно (26), свойством
- (a1' a2' a3).
(34)
Из формул (33), (34) видно, что принятое обозначение позволяет отличать совокупность кон-травариантных координат от совокупности кова-риантных координат также и в безындексной записи. Далее опускаем указание базиса возле столбца из декартовых координат (если это не приводит явно к недоразумению), т.е. столбец из декартовых координат вектора а пишем вообще без индекса:
ае = а. (35)
В работе [3, с. 15] утверждается, что взаимный базис g (25) вводится формально и не имеет геометрического смысла. На самом деле базис g имеет прозрачный геометрический смысл совокупности нормалей к координатным поверхностям. В настоящей статье целесообразно привести строгое доказательство этого факта "как пример силы этого метода обозначений [6, с. 25]".
g
Для доказательства рассмотрим базис n из нормалей к координатным поверхностям щ = const:
П1 = Vm1, П2 = V U2 П3 = V u3,
так что
n=
П1 f \ V u1
* П2 = V U2
V Пз J V V U3 J
= Ne,
(36)
(37)
где
жт du 11 II3
N = —т = Ы11,
д x
n;i =
д xk
(38)
хт ^^ *тпт du дx
n • t = Ne • e C = NC =
d u
дx du дu
и получаем,что
N = (Ст )-1 = (С-1)т = D,
= I (39)
(40)
т.е. что формулы (37 и (25) дают один и тот же базис g = п.
Рассмотрим еще базис из векторных произведений
Т1 = 82 X £3, Т2 = 83 X 81, Тз = 81 X 82, (41)
тогда, образовав базис т по формуле типа (5), получим
т • gт = IV, (42)
V = 81 •(82 X 8з). (43)
Из определения базиса g (25) с учетом (5) следует, что
V = |вт| = бй Бт = detD = |Б|. (44)
Подставив (44) и (26) в (43), получим
т • gт = ц • gTи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.