ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 6, 2014
УДК 531(075.8); 629.7.05(075)
© 2014 г. С. Е. Переляев, Ю. Н. Челноков
НОВЫЕ АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ ОРИЕНТАЦИИ ОБЪЕКТА
Рассматриваются кинематические уравнения и алгоритмы функционирования бесплатформенных инерциальных навигационных систем, предназначенные для высокоточного определения параметров инерциальной ориентации (параметров Эйлера (Родрига—Гамильтона)) движущегося объекта. Наряду с классическими уравнениями ориентации в указанных выше параметрах используются кватернионы Гамильтона и новые кинематические дифференциальные уравнения в четырехмерных (кватернионных) ко-сосимметричных операторах, которые ставятся в соответствие классическому кватерниону поворота и кватернионной матрице поворота с помощью формул Кэли. Рассмотрены новые методы решений синтезированных кинематических уравнений: кватернионный одношаговый алгоритм ориентации третьего порядка точности и двухшаговые алгоритмы третьего и четвертого порядков точности в четырехмерных кососимметрических операторах для вычисления параметров пространственного положения объекта. Алгоритмы построены с помощью метода последовательных приближений Пикара, используют в качестве входной информации интегральную первичную информацию измерителей абсолютной угловой скорости объекта и имеют преимущества перед известными алгоритмами аналогичного порядка по точности и простоте.
1. Кватернионные кинематические уравнения в четырехмерных кососимметрических операторах типа Риккати. В развитие и обобщение полученных ранее результатов [1—4] для нахождения параметров инерциальной ориентации объекта (твердого тела) используется дифференциальное нелинейное кватернионное или матричное кинематическое уравнение типа Риккати [1]. Переменная в этом уравнении — кватернион с нулевой скалярной частью (ассоциированный кватернион) или четырехмерная кососимметриче-ская матрица, которые ставятся в соответствие классическому кватерниону конечного поворота или кватернионной матрице поворота с помощью формул Кэли [1, 4]. Эта переменная отвечает четырехмерному кососимметрическому оператору, который соответствует вектору конечного поворота объекта
Ф — эйлеров угол плоского поворота, е — единичный вектор эйлеровой оси поворота объекта.
Ортогональная кватернионная матрица поворота п = п{Х} [1], которая ставится в соответствие кватерниону поворота X, связана с четырехмерной кососимметрической матрицей к формулами Кэли [1, 4]
0 = 18( ф/4)е
(1.1)
n = (E- k)(E + k) \ k = (E- n)(E + n) 1
n {1}
10 -11 -12 -1з 0 -к, -к2 -кз
11 10 13 -12 , к = к1 0 к3 -к2
12 13 10 11 к2 к3 0 к1
1з 12 -11 10 V к3 к2 -к1 0 J
(1.2)
n = n{1} = n{10 + 1v} = n{ cos(ф/2) + esin(ф/2)}
c = ex = е1}1 + е2}2 + е3}3, ei = e • xi = e , i = 1 2> 3
Е — единичная матрица, ex и e^ — отображения вектора е на связанный Xи инерциаль-ный Ъ базисы, е, — проекции вектора е на оси систем координат Xи Ъ (одинаковые при условии, что в начальном положении одноименные оси систем координат X и Ъ совпадали). Кососимметрическая матрица к имеет вид
к = tg (ф /4)
О б1 e2 e3 -e1 0 -e3 e2 -e2 e3 0 -e1
V -e3 -e2 e1
0
(1.3)
Таким образом, трехмерной кососимметрической матрице, связанной с матрицей направляющих косинусов формулой Кэли, соответствует вектор ориентации к = —ф/2)е, а четырехмерной кососимметрической матрице к, связанной формулой (1.3) с кватер-нионной матрицей поворота п, соответствует вектор к = —1§( ф/4)е [1]. Важно заметить, что трехмерная кососимметрическая матрица и соответствующий ей трехмерный вектор к не определены для угла плоского эйлерова поворота ф = ±п, а четырехмерная кососимметрическая матрица к и соответствующий ей четырехмерный вектор к не определены для угла ф = ±2п. Матричное кинематическое уравнение, содержащее в качестве переменной четырехмерную кососимметрическую матрицу к, определяемую формулой (1.3), может быть записано в одной из двух следующих форм, имеющих вид матричных уравнений Риккати [1]:
4к' = -(E + k)Q(E-k) или 4 к' = кПк + Пк-кП-П
(1.4)
Штрихом обозначена производная по времени, оператор О — четырехмерная косо-симметрическая матрица, имеющая вид
(
П
О -ю1 -ю2 -ю3
л
ю
0
ю3 -ю2
ю2 -ю 0 ю
ю Ю -ffli
3
О
(1.5)
где ю, — проекции вектора ю абсолютной угловой скорости объекта на оси связанной системы координат X.
Матричные кинематические уравнения типа Риккати (1.4) можно представить в векторно-матричной записи
(
\
0
4к, 4к\ 4к3 у
(
/п
/п
-и
-и
/2 - /3 - 2ю3
л
/3 + 2ю3 - /2 - 2ю2 /0 /1 + 2 ю, /3 /2 + 2ю2 - /1 - 2ю, /0
(
\
(
0 0
к, ю,
к2 ю2
к3 V ю3 у
\
(1.6)
4к1 Л 4к2 4к3 У
к,
V к3 у
ю,
ю2
V ю3 У
(1.7)
удобной при построении классических алгоритмов численного интегрирования этих уравнений. Здесь
/0 = - ю,к, - ю2к2 - ю3к3, /, = ю2к3 - ю3к2,
/2 = - ю,к3 + ю3к,, /3 = ю,к2 - ю2к,
А — трехмерная матрица, получаемая вычеркиванием первой строки и первого столбца в четырехмерной матрице, входящей в правую часть уравнений (1.6). Уравнения (1.7) следуют из уравнений (1.6) в силу тождественного равенства
/,к, + /2к2 + /3 к3 = 0
Отметим, что в задачах определения ориентации движущегося объекта применяется также [5, 6] матричное кинематическое уравнение Риккати, в котором переменной служит трехмерная кососимметрическая матрица к, получаемая вычеркиванием первой строки и первого столбца в четырехмерной матрице к. Это уравнение отличается от уравнений (1.4) числовым коэффициентом перед производной от используемой переменной (коэффициент 2 вместо коэффициента 4), причем О — трехмерная кососим-метрическая матрица угловых скоростей, получаемая вычеркиванием первой строки и первого столбца в четырехмерной матрице О, а трехмерная кососимметрическая матрица к связана с ортогональной матрицей с направляющих косинусов углов формулой Кэли [1]
с = (Е - к)(Е + к)-1
Кососимметрические матрицы третьего (нечетного) и четвертого (четного) порядков имеют качественно различные свойства [1]: матрицы третьего порядка — особые (их определители равны нулю), а кососимметрические матрицы четвертого порядка особыми не будут (их определители всегда отличны от нуля); кроме того, многочлен любой степени от кососимметрической матрицы третьего порядка сводится к многочлену второй степени, тогда как многочлен любой степени от кососимметрической матрицы четвертого порядка сводится к многочлену первой степени.
Последнее обстоятельство делает использование второго матричного кинематического уравнения (1.4) в четырехмерных кососимметрических операторах при построении алгоритмов определения ориентации движущихся объектов с помощью бесплатформенных инерциальных навигационных систем (БИНС) более эффективным в сравнении с кинематическим уравнением в трехмерных кососимметрических опера-
торах. В кватернионной форме записи кватернионные аналоги формул Кэли, связывающие кватернион поворота X с соответствующим трехмерным вектором поворота к (точнее, с кватернионом к, скалярная часть которого равна нулю), имеют вид
X = (1 + к) 1 ° (1 -к) = (1 -к) ° (1 + к) 1 к = (1 + X)-1 ° (1 -X) = (1 -X) ° (1 + X)-1
где
X = А0 + 1111 + А2 ¡2 + Мз = + XV = со8 (ф/2) + зт (ф/2)(в111 + е212 + е313) к = + ^2 + кзЦ = -^ё (ф/4)(е1 ¡1 + е2}2 + ез}з)
(1.8)
(1.9)
Здесь и далее о — символ кватернионного произведения.
Из формул (1.8) следует, что четырехмерной кососимметрической матрице к, порождаемой формулой Кэли, отвечает кватернион с нулевой скалярной частью, определяемый последней формулой (1.9).
Кватернионные кинематические дифференциальные уравнения (КДУ) типа Рик-кати, соответствующие матричным уравнениям (1.4), имеют вид [1]
4к' = -(1 -к) ° юх ° (1 + к) (1.10)
4к' = к о юх о к + к о юх- юх ° к- юх = к о юх ° к- 2юх х к- юх (1.11)
с кватернионном к, определяемым последней формулой (1.9), и кватернионом угловой скорости
Ю = Ю^ + «>2 + юз'з
Векторы конечных поворотов (1.1) и 9 = е1ё(ф/4)е и соответствующие им векторные кинематические уравнения рассматривались ранее [7]. Аддитивное вхождение матрицы О во второе матричное кинематическое уравнение (1.4) и вектора угловой скорости ю в кватернионное КДУ (1.11) делает эти уравнения более удобными для синтеза новых алгоритмов ориентации.
Все синтезированные алгоритмы ориентированы по входу на интегральную первичную информацию о движении объекта и реализуются методом последовательных приближений Пикара в сравнении с классическим кватернионным КДУ
2X' = X о юх
содержащим в качестве основной переменной кватернион ориентации X, определенный первой формулой (1.9).
Поскольку первое приближение решений этих уравнений на шаге интегрирования — приращение интеграла на шаге интегрирования от вектора абсолютной угловой скорости объекта, непосредственно измеряемое на борту движущегося объекта большинством современных гироскопических датчиков, то для интегрирования этих систем могут быть использованы методы численного интегрирования кинематических дифференциальных уравнений.
Отметим также, что компонента А* скалярной части и компоненты А* (, = 1, 2, 3) векторной части кватерниона приращения X* кватернионной переменной X, вычисляемые на шаге интегрирования, различаются на несколько порядков: величина А* близка к единице, в то время как величины А* имеют порядок 10-5 и меньше (в зависимости от
вида углового движения и шага интегрирования). Близость компоненты приращения X* кватернионной переменной X, вычисляемого на шаге интегрирования, к единице может приводить к потере точности определения ориентации при малой ограниченной разрядной сетке бортового вычислителя. Поэтому при построении алгоритмов численного интегрирования классического кватернионного КДУ целесообразно вместо использовать новую переменную (1 — ).
В известных алгоритмах [7—11] величины 1* вычисляются через промежуточные кинематические параметры ф, — проекции вектора эйлерова конечного поворота объекта ф = фе на связанную систему координат (ССК). Нами предлагается величины 1* вычислять через другие промежуточные кинематические параметры к,, являющиеся проекциями вектора конечного поворота k = —1§( ф/4)е твердого тела на ССК.
2. Алг
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.