ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2007, том 41, № 5, с. 580-588
УДК 532+574+517
НОВЫЕ КЛАССЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ И КОНВЕКТИВНОГО МАССОПЕРЕНОСА
© 2007 г. Е. А. Вязьмина, П. Г. Бедриковецкий*, А. Д. Полянин
Институт проблем механики РАН, Москва * Университет Северного Флюминензе, Рио-де-Жанейро (Бразилия)
^агтта@Шг ги Поступила в редакцию 12.12.2007 г.
Описаны новые классы точных решений нелинейных систем уравнений, встречающихся в теориях фильтрации и конвективного массопереноса реагирующих сред. Основное внимание уделено системам первого порядка общего вида, когда скорости химических реакций зависят от произвольных функций. Найдены общие решения некоторых систем первого порядка со степенными нелинейно-стями. Построен ряд новых точных решений с функциональным разделением переменных, содержащих произвольные функции. Полученные результаты использованы для решения задач теории фильтрации для однокомпонентной и многокомпонентной суспензии при произвольной кинетике накопления частиц.
ПРИВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ КОНВЕКТИВНОГО МАССОПЕРЕНОСА И ФИЛЬТРАЦИИ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Некоторые точные решения нелинейных систем уравнений первого и второго порядков, встречающиеся в теориях фильтрации и массопереноса реагирующих сред, описаны в работах [1-17].
Рассмотрим простейшую нелинейную модель конвективного переноса в двухкомпонентной системе с объемной химической реакцией, которая описывается нелинейной системой уравнений первого порядка с частными производными
ди . ди дw . дw
Эг+ аЩ = и, w), а2д| = ^(и, w), (1)
где т - время, $ - пространственная координата, а1 и а2 - скорости конвективного переноса, Г и Г2 -скорости химических реакций. При записи системы (1) предполагалось, что диффузией обоих компонентов можно пренебречь. Если первая (вторая) среда неподвижна, то а1 = 0 (а2 = 0).
Система уравнений (1) при а2 = 0 для кинетических функций степенного вида
-т^/ \ п т т^ / \ о п т
г1 (и, w) = аи w , г 2(и, w) = ри w
используется в математическом моделировании двухфазного барботажного реактора [10, 11]. Аналогичная система п = 1 встречается в задачах теории фильтрации о рассолении почвы грунтовыми водами [1, 3].
Система (1) при
Г1(и, w) = Г2(и, w) = и + /(w),
является одним из основных объектов исследования математической теории динамики сорбции и хроматографии [18-20].
Отметим, что система (1) используются для описания устойчивости химического трубчатого реактора идеального вытеснения [21] (диффузия протекает медленно, поэтому наличие членов, содержащих вторую производную, не вызовет большой неустойчивости) и проточного реактора с перемешиванием. Подобные системы встречаются также в простейших моделях неизотермических химических реакторов, где одна из искомых величин обозначает концентрацию, а другая -температуру [21, 22]. Путем перехода к характеристическим переменным
^-а^г $- а11 )
х = -, г = -, (аг Ф а2)
а1 - а2 а2- а1
нелинейная система (1) приводится к каноническому виду
ди ^ / \ дw .
— = Г\(и, w), д- = Е2(и, w). (2)
Точные решения некоторых систем вида (2), приведены далее.
Глубокая фильтрация суспензии частиц в пористой среде происходит при закачке морской воды, добываемой с нефтью, при проникновении бурового раствора в резервуары продуктивной зоны, при фильтрации песка в гравийном филь-
тре, при производственной фильтрации, при перемещении мелких частиц на нефтяных месторождениях, при переносе примеси в грунтовых водах, при перемещении бактерий, вирусов и др. Основная особенность процесса заключается в захвате частиц пористой средой и последовательном уменьшении проницаемости этой среды. Частицы захватываются вследствие превышения размера пор среды, поверхностной сорбции, седиментации, диффузии, действия электрических сил и т. д.
Для однокомпонентной суспензии система, описывающая процесс, состоит из уравнения баланса массы для накапливаемых частиц и суспензии и уравнения, описывающего кинетику накопления [2, 7, 23]:
Э(и + ^) . ди „ дw г, ч
■ эГ2 + Тх = 0' э7 = /(w)и' (3)
где один из компонентов и - суспензия, а второй w -накапливаемое вещество (осадок),/а) - коэффициент фильтрации.
Заменив в первом уравнении системы (3) д t
на правую часть второго уравнения и перейдя от переменных х и t к новым характеристическим переменным г = -х, п = х - t, получим систему уравнений (2) специального вида:
ди г, ч дw г. . _ = uf( w), _ = -uf( w).
(4)
Решение граничной задачи о закачке суспензии в резервуар свободный от частиц, описываемый системой (3), рассматривается также далее.
Любая система уравнений специального вида
dU = fi (и )gi (w), = /г( и )gi( w) (6)
с помощью преобразования
rf2 (и) - ,fgi (w) 1I 7Т7 "и, w = b I ——-Jfl (u) g2 ( w )
и = a
dw
(7)
приводится к частному случаю системы уравнений (5):
Эи = а/(и)8(w), ^ = ь/(и)§(w),
где приняты обозначения /(и) = /2[и(и)], g(W ) = = g1[w(W )], функции и(и), w(W) определяют путем обращения зависимостей (7).
Система уравнений (6) преобразованием
г ёи г dw
I ТТ-^ w = I —- (8)
и =
g2 ( w )
приводится к каноническому виду
дх = ф( ww)' "дУ = и),
(9)
где приняты обозначения Ф( W) = g1[w( W)], ¥( и) = =/2[и(и)], функции и(и), w(IV) определяют путем обращения зависимостей (8).
Исключив из (9) переменную и, приходим к нелинейному гиперболическому уравнению
= ф( w юГ^
дхдt Kw ^Ut
(10)
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
В задачах химической технологии обычно рассматривают системы (2), в которых кинетические функции пропорциональны
ди = а^(и, w), ^ = Ь^(и, w), (аЬ < 0). (5) Эх дt
Введение аналога функции тока ф = ф(х, t) по формулам
дф дф
и = а^-1, w = Ь
Э t дх
приводит систему (5) к нелинейному гиперболическому уравнению второго порядка
^Ф = р(а¿ф, Ь ^.
ЭхЭt V д^ дх)
Некоторые уравнения этого вида рассмотрены в [24].
ГДе ®(z) = ^и ( и )| z - ¥( и) = 0-
Если ¥(и) = aii + b, то Q(z) = const, и уравнение (10) может быть проинтегрировано полностью в четырех случаях: Ф^) = k1w + к2 (линейное уравнение), Ф^) = keXw (уравнение Лиувилля), Ф(w) = = ksin(Xw + а) (уравнение синус-Гордона), Ф^) = = к sh (X w) (уравнение sh-Гордона) [24, 25].
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
КОНВЕКТИВНОГО МАССОПЕРЕНОСА
В этом разделе приводятся точные решения некоторых классов нелинейных систем уравнений первого порядка вида (2), к которым сводятся уравнения конвективного переноса в двухкомпо-нентных системах с объемной химической реакцией без диффузии.
Очевидно, что система (2) в общем случае допускает точные решения типа бегущей волны
и = и(z), w = w (z), z = kx - Xt,
где к, X - произвольные постоянные, а функции и(^) и w(z) описывают автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений
ки\ - и, w) = 0, Xw'z + Г2(и, w) = 0.
Система 1. Рассмотрим специальный случай системы (2), когда скорости химических реакций имеют степенную зависимость от концентрации по одному из реагирующих веществ:
ди г, ч dw k , ч
д- = uf( w), д- = ug (w) -
(11)
Система (11) при к = 1, g(w) = -f(w) переходит (после очевидных переобозначений) в систему (4), встречающуюся в теории фильтрации. При к = 1, g(w) = const xf w) система (11) является специальным видом системы (5).
В частных случаях, когда к = 0 или fw) = const, одно из уравнений системы решается независимо от другого и система (11) легко интегрируется. Далее считаем, что кФ 0 и fw) Ф const.
Преобразование зависимых переменных
U = и , W =
dw
'g (w)
приводит к более простой системе
f = w ) и - ? = U.
(12)
(13)
Ф = kf( w), W = J
dw
g (w) '
(14)
Заменив и в первом уравнении системы (13) на левую часть второго уравнения этой системы, приходим к уравнению второго порядка для функции Ж:
д2Ж дЖ
т =ф( Ж) -ж-
Интегрируя его по г, имеем
dW = JФ( W) dW + 0( x) -
(15)
дХ = kg( w)J gw dw + 0( x) g (w )'
(16)
Частному случаю 0(х) = const в (16) соответствуют специальные решения системы (11):
w = w (z), и = [у '(0 ]Ш V (z),
z = x ■
t),
где штрих обозначает производную, функции w(z) и описываются автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений
vZ = f(w)V, w'z = g(w)V '
(17)
Общее решение этой системы можно записать неявной форме
J
dw
g (w)[ kF( w) + Q ]
=z
C
v = [kF(w) + Ci]1/k, F(w) = f--Щdw -
J g(w)
(18)
Ниже приведены примеры построения общих решений некоторых нелинейных систем уравнений вида (11), исходя из уравнения (16).
Пример 1. Рассмотрим системы со степенными нелинейностями:
s ди n
а) т— = auw , x
w k -=-— = bu w t
(19)
где функция Ф(W) задается параметрически (w -параметр):
является частным случаем системы (11) при fw) = = awn, g(w) = bw и согласно (16) сводится к уравнению Бернулли
i ak n+1 , А , .
wx = — w + bw$( x). Его общее решение описывается формулами
u =
t) - akf"% dx
н
, £ = exp(bnf0( x)dx),
Поскольку в решение входит произвольная функция 0(х), удобно сделать переобозначение ф(х) =
= ёх. В результате получим общее решение системы (19)в виде
( - ¥ г (г)
и = -
Vbny(t) - акф(x),
9x (x)
Уравнение (15) можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка по переменной х. Получив его общее решение, надо заменить в нем постоянную интегрирования С на произвольную функцию времени ¥(г) (поскольку w зависит от х и г).
Вернувшись в (15) по формулам (12), (14) к исходной переменной w, получим
w = ,
уЬпу(г) - акф(х),
(здесь сделано переобозначение ¥ —- Ъпу).
Распространенный случай реакции второго порядка соответствует значениям п = к = 1. Решение некоторых начально-краевых задач теории фильтрации и теории химических реакторов, основанных на системе уравнений (19) при п = к = 1, получено в [1, 3, 10, 11].
, ч du n
b) -г— = auw x
дw . k i-n -=-- = bu w t
(20)
Для более сложной системы
является частным случаем системы (11) при /!) = = awn, g(w) = Ь!1-". Подставляя эти функции в (16), получим
, ак п + 1 I 1 / Ч 1- п
wx = — w + ЬУ( х) w .
Подстановка и = wn приводит это уравнение к уравнению Риккати
Ux = I akU2 + bn0( х).
1
(21)
Обозначая Ьп0 = фх - 2. акф2 имеем частное решение и = ф(х) уравнения (21). Общее решение уравнения
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.