РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 4, с. 369-385
ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
УДК 004.67,621.317,621.391
НОВЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ОКОННЫХ ФУНКЦИЙ ДОЛЬФА-ЧЕБЫШЕВА, БАРСИЛОНА-ТЕМЕША И ИХ МОДИФИКАЦИЙ
© 2015 г. В. П. Дворкович1, 2, А. В. Дворкович1, 3
1ООО "НПФ "САД-КОМ", Российская Федерация, 105264 Москва, 7-я Парковая ул., 24А 2Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация, 105005 Москва, 2-я Бауманская ул., 5 3Национальный исследовательский университет "Московский энергетический институт", Российская Федерация, 111250Москва, ул. Красноказарменная, 17 E-mail: a_dvork@niircom.ru Поступила в редакцию 07.11.2014 г.
Приведены результаты подробных теоретических исследований широко используемых окон Дольфа—Чебышева и Барсилона—Темеша. Доказано, что нормированные спектры этих окон тождественно определяются конечным числом косинусоидальных функций, при этом в случаях использования функций Чебышева первого и второго рода четного порядка применяются косинусоидальные функции четных аргументов, а при нечетном порядке функций Чебышева используются косинусоидальные функции нечетных аргументов. С применением суммы оконных функций Дольфа—Чебышева и Барсилона—Темеша, определяемых последовательностью функций Чебышева соседних порядков, разработаны новые оконные функции, обладающие стандартным главным лепестком, но существенно подавленными боковыми лепестками.
DOI: 10.7868/S0033849415040063
1. ОКНА ДОЛЬФА-ЧЕБЫШЕВА И ИХ МОДИФИКАЦИИ
Равноволновые оконные функции Дольфа-Чебышева были разработаны для анализа дискретных сигналов, спектр которых обладает свойством периодичности [1-3]. Нормированные спектры этих окон зависят от двух параметров (n и h) и определяются соотношениями
ш=л, л>=1 {;cos [arcrh(1/^, (1)
ln {ncos [arch(1/n)/n]}
где y = /AT, AT — интервал дискретизации, Tn(z) — полином Чебышева первого рода n-го порядка, определяемый формулой
[cos(лarccos(z)}, z < 1, [ch (n arch(z)}, z > 1.
При четном значении коэффициента n = 2m функция F(y) периодична и определена на всем частотном интервале (рис. 1а):
F(y + k) = F(y), k = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
При нечетном значении коэффициента n = = 2m - 1 функция F(y) определяется на всем частотном интервале следующим образом (см. рис. 1б):
F(y + k) = (-1)kF(y), k = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
Tn(z) =
Параметр п определяет количество периодов косинусоидальных колебаний относительной частоты пу/2 на интервале [—1/2, 1/2], а параметр Н = 10-а — амплитуду этих колебаний.
На рис. 1в представлена структура функции F(y) в области нуля при четной величине п = 2т (кривые 1, 2), а также последовательность косинусоидальных колебаний Нсо^(-кпу) (кривые 1', 2'). При этом если т = 2к — четное число, то на половине интервала [—1/2, 0]/[0, 1/2] укладывается целое число периодов колебаний и значение функции на границах интервала [—1/2, 1/2] положительно и равно F(1/2) = F(—l/2) = Н. При нечетном числе т = 2к — 1 на половине интервала [—1/2, 0]/[0, 1/2] укладывается целое число полупериодов колебаний, а значения функции отрицательны и равны F(1/2) = F(—1/2) = —Н.
На рис. 1г приведена структура функции F(y) в области нуля при нечетной величине п = 2т — 1. В этих случаях всегда на интервале [—1/2, 1/2] укладывается целое число полупериодов колебаний и Д1/2) = Д—1/2) = 0. Производные этих функций на границах интервала [—1/2, 1/2] при четном значении т = 2к отрицательны и равны ^(1/2) = ^(—1/2) = = —ппН, а при нечетном значении т = 2к — 1 — положительны и равны F'(1/2) = ^(—1/2) = ппН.
(а)
Г(у, 2т, к) 1
(в)
Р(у, 2т, к)
1 л л лл л* 1 /1м IX 1 /11 1 1 1 к 1 1 1 1 " 1 А Л А/1
\1 г 1 /11 / Л1 14 '■/'Г./м! 1 [ Г>\ 'Ими / г/ч' Г г
М / И./' -1/2'. ', 1 1 I1 1 11 1 1 0 Ч /' , \1 1/2 У
/ VI1 \А' 1 — —(—Л Л ЛЛ Л -к - 1 V V V-. 2 ЛЛ Л л - ~
(б)
Г(у, 2т — 1, к) 1
члля
1
илллллд | ДЛАЛЛЛЛ/
2
1 (г)
¥(у, 2т— 1, к)
Рис. 1. Структуры спектров четных (а, в) и нечетных (б, г) окон Дольфа—Чебышева для т = 2к (кривые 1, 1') и 2к — 1 (кривые 2, 2').
где
Нормированные спектры окон Дольфа—Че- При п = 2т — 1 бышева тождественно определяются конечным
числом косинусоидальных функций. т
При п = 2т В (у) = Ьк соь(п(2к - 1)у), (3)
т к=1
В (у) = а0 + 2^ йк со$(2пку), (2)
к=1
где
1/2 1/2
йо = 2 | ¥(у)йу, ак = 2 |В(у)Со5(2пку^у, о к=1
оо
т Используя соотношения (2) и (3), достаточно
а0 + 2^ ак = 1. просто определить относительные формы окон
к=1 Дольфа—Чебышева.
112
Ьк = 2 | В (у) С08 (п(2к - 1)у)йу, 2^ Ьк = 1.
0
1
2
0
У
У
2
Таблица 1. Коэффициенты АЧХ фильтров Дольфа—Чебышева при а = 2.5; 3.0; 3.5; 4.0, п — четное
Коэффициенты а = 2.5; n = 8 а = 3.0; n = 16 а = 3.5; n = 24 а = 4.0; n = 32
а0 0.216018091 0.125782333 0.091966347 0.074221744
а1 0.189578282 0.120260375 0.089757464 0.073043672
а2 0.126051570 0.104942499 0.083410893 0.069609834
а3 0.059631148 0.083163852 0.073714374 0.064208580
а4 0.016729953 0.059285282 0.061818134 0.057279807
а5 — 0.037398199 0.049030367 0.049360813
а6 — 0.020278542 0.036601092 0.041022913
а7 — 0.008927573 0.025534838 0.032808373
а8 — 0.002852510 0.016476427 0.025176681
а9 — — 0.009676274 0.018466950
а10 — — 0.005035631 0.012880159
а11 — — 0.002207357 0.008481363
а12 — — 0.000753706 0.005218779
а13 — — — 0.002954443
а14 — — — 0.001499945
а15 — — — 0.000650817
а16 — — — 0.000226026
ристики этих фильтров определяются соответственно соотношениями:
m
«2m(0 = X (к\т) при n = 2m
k=-m
и
m
«2m-i(t> = X bkS (2 kl - 1)т/2) при n = 2m - 1,
k=-m
где S(t) — дельта-функция Дирака.
Соотношения (4) и (5) определяют форму импульсной характеристики таких фильтров при замене аргумента х на относительный временной интервал t/T. В качестве примеров в табл. 1 и 2 приведены коэффициенты АЧХ фильтров Дольфа—Чебышева при нескольких значениях параметров n и а. Величины этих коэффициентов указаны с точностью до девятого знака после запятой.
На рис. 2а, 2б приведены спектры F(y) оконных функций Дольфа—Чебышева в абсолютных единицах для четырех коэффициентов а (2.5, 3.0,
При n = 2m
u(x) = sinc(nx) +
1 m (4)
+--X ak [sinc(n(x - k)) + sinc(n(x + k))].
ao k=1
При n = 2m — 1
u(x) = X u(0)
m (5)
x X bk [sinc(n(x - k + 1/2)) + sinc(n(x + k - 1/2))],
k=1
где
4k-1
u(0) = 4 X ^.
n k=1(2k -1)
Соотношения (2) и (3) определяют форму амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) фильтра нижних частот при замене аргумента у на относительную частоту/Т, где Т = 1/(2/0) — граничная частота фильтра, 0 < / < /0, а импульсные характе-
Таблица 2. Коэффициентов АЧХ фильтров Дольфа—Чебышева при а = 2.5; 3.0; 3.5; 4.0, п — нечетное
Коэффициенты а = 2.5; п = 7 а = 3.0; п = 15 а = 3.5; п = 23 а = 4.0; п = 31
Ьх 0.231251285 0.131863707 0.095157872 0.076214457
Ъг 0.166090165 0.119109476 0.090257696 0.073661322
Ьэ 0.080793436 0.096784791 0.081124390 0.068784859
Ъ4 0.021865114 0.070102796 0.068957659 0.062013649
Ъ5 — 0.044513875 0.055255006 0.053918284
Ъб — 0.024044325 0.041534309 0.045138435
Ъ7 — 0.010405529 0.029079129 0.036305681
Ъ8 — 0.003175501 0.018761407 0.027974060
Ъ9 — — 0.010971718 0.020568201
Ъ10 — — 0.005657071 0.014355069
Ъц — — 0.002439554 0.009440778
Ъ12 — — 0.000804202 0.005789515
Ъ13 — — — 0.003258250
Ъ14 — — — 0.001639121
Ъ15 — — — 0.000701393
Ъ16 — — — 0..00236925
3.5 и 4.0) при четных и нечетных значениях коэффициента п соответственно. На рис. 2в, 2г эти же спектры приведены в децибелах, а на рис. 2д, 2е показаны формы и(х) этих оконных функций.
Уровни боковых лепестков относительно пиков главных лепестков определяются коэффициентом а и в децибелах равны —20а, т.е. для указанных выше значений а они составят соответственно —50, -60, -70 и -80 дБ.
Характеристики оконных функций могут быть существенно улучшены, если использовать следующие соотношения составляющих окон Дольфа—Чебышева:
В(у) = Рдчд(у, п, к) = (2Вдч(у, п, к) +
(6)
+ /дч(у, п + 2, к) + /дч(у, п - 2, к))/4,
где /ДЧ(у, п, И) — стандартные оконные функции Дольфа—Чебышева, /Дчд(у, п, И) — новые окна Дольфа—Чебышева—Дворковича.
Функции /ДЧд(у, п, И) можно разделить на функции четных аргументов, когда п = 2т, и функции нечетных аргументов при п = 2т — 1. Учитывая, что формы функции /ДЧ(у, п, И) и полусуммы функций /ДчСу, п + 2, И) и /ДчСу, п — 2, И) в областях основных лепестков весьма близки, а структуры косинусоидальных колебаний этих
функций в области нулевых значений смещены на 180°, соотношения (6) реализуют новые оконные функции, спектры которых практически совпадают со спектром основного лепестка окна /ДЧ(у, п, И), но существенно спадают в области боковых лепестков от центра к границам интервала [—1/2, 1/2].
На рис. 3а, 3б для сравнения приведены формы нормированных спектров функций /ДЧд(у, п, И) и /ДЧ(у, п, И) четных (п = 2т) и нечетных (п = 2т — 1) значений аргумента п соответственно, а на рис. 3в, 3г — сравнение форм этих спектров в областях нулевых значений. Уровни спектров на границах интервала [—1/2, 1/2] равны нулю.
Очевидно, что нормированные спектры новых окон тождественно определяются конечным числом косинусоидальных функций и могут быть определены суммой используемых функций Дольфа—Чебышева. Параметры суммарных функций могут быть рассчитаны следующим образом.
При п = 2т, т = 2к, к = 1, 2, ...
т+1
В (у) = а0 + 2^ ак ео8(2тску),
к=1
(а) F(y)
U
(б) F(y)
1/2 -1/2 y
1/4
(в) F(y), дБ
0
(г) F(y), дБ
1/4
x
1/2 y
1
3
4
12 18
x
Рис. 2. Формы нормированных спектров и оконных функций Дольфа—Чебышева для четных (на графиках слева — а, в, д) и нечетных (на графиках справа — б, г, е) значений п. На графиках слева кривая 1 соответствует п = 8, а = 2.5; кривая 2 — п = 16, а = 3.0; кривая 3 — п = 24, а = 3.5; кривая 4 — п = 32, а = 4,0. На графиках справа кривая 1 соответствует п = 7, а = 2.5; кривая 2 — п = 15, а = 3.0; кривая 3 — п = 23, а = 3.5; кривая 4 — п = 31, а = 4.0.
где
1/2 V2
a0 = 2 JF(y)dy, ak = 2 JF(y)cos(2nky)dy,
m+1
+ 2^ ak = 1.
k=i
При п = 2m — 1, m = 2k, k = 1, 2, ...
m+1
F (y) = 2^ bk cos(n(2k - 1)y),
k=1
где
1/2
m+1
bk = 2 J F (y) cos(n(2k - 1)y)dy, 2^ bk
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.