ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2012, том 446, № 4, с. 384-387
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 593.3
НОВЫЕ МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОСТИ В ПРОБЛЕМЕ ТЕПЛОВОГО УДАРА © 2012 г. Э. М. Карташов
Представлено академиком В.А. Ильиным 18.04.2012 г. Поступило 19.04.2012 г.
Проблема термического удара — одна из центральных в термомеханике в связи с созданием мощных излучателей энергии и их использованием в различных технологических операциях. Ее исследования на основе моделей динамической и квазистатической термоупругости получили широкое развитие: изучены физические закономерности термонапряженного состояния в изотропных и анизотропных упругих телах на основе классических феноменологий Фурье и Максвелла—Каттанео—Лыкова о конечной скорости распространения теплоты в твердых телах; развита обобщенная теория сопряжения термомеханических полей с полями различной физической природы (электрических, магнитных); сформулированы определяющие соотношения линеаризованной теории с учетом тепловой памяти; установлена связь макроскопического поведения сплошной среды с внутренними параметрами состояния среды и скоростью их изменения во времени. Систематизация результатов, накопленных в этой области термомеханики, дана в обзорах автора [1, 2] и книгах [3, 4].
Проведенные исследования указанной проблемы выполнены в основном для большинства технически важных материалов, подчиняющихся закону Гука. В соответствующих математических моделях в терминах динамических, квазистатических или статических задач термоупругости материал считается однородным и изотропным, термомеханические коэффициенты являются постоянными величинами, не зависящими от температуры, и рассматриваемые разности температур не слишком велики, т.е. температура не превышает некоторого предельного значения, зависящего от материала, и напряжения не достигают границы текучести. Считается [3], что при относительно низком уровне температур и напряжений поведение широкого класса материалов находится в хорошем соответствии с теорией термоупругости.
Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова
При повышенных температурах и более высоком уровне напряжений понятие об упругом теле становится недостаточным: почти у всех материалов обнаруживается более или менее отчетливо явление вязкого течения. Реальное тело начинает проявлять упругие и вязкие свойства, становясь вязкоупругим. Возникает проблема изучения теплового удара вязкоупругих тел, решение которой связано прежде всего с обобщением соотношений между напряжениями и деформациями. Алфрей, Хилтон, Ли—Штернберг [5] заметили, что поведение вязкоупругих тел в условиях резких температурных и механических воздействий может быть сведено к рассмотрению чисто термоупругих задач, если в операционном
решении (по Лапласу .. ехр (-рI) Л) термоупру-
0
гой задачи заменить модуль сдвига О и коэффициент Пуассона V на их изображения О(р) и у(р), вид которых определяется линейными реологическими моделями Максвелла и Кельвина [5]. Однако подход авторов распространяется только на квазистатические исследования в терминах квазистатических (несвязанных) моделей термоупругости. Проблема термической реакции вяз-коупругих тел на тепловой удар в рамках динамических моделей оставалась открытой. Ее решение содержится в настоящей публикации.
Пусть Б — конечная или частично ограниченная выпуклая область изменения пространственных переменных М (х, у, г) соответственно геометрии и размерам твердого тела, в котором изучается процесс термоупругости; Б — кусочно-гладкая поверхность, которая ограничивает область Б, п — внешняя нормаль к Б, Т (М, I) — распределение температуры в области Б при ? > 0, Т0 — начальная температура, при которой область находится в ненапряженном и недеформированном состоянии. Пусть о у (М, I), &у (М, I), и (М, I ), г, у = х, у, г, - соответственно компоненты тензоров напряжения, деформации и вектора перемещения, удовлетво-
ряющие в Б при t > 0 основным уравнениям (несвязанной) динамической задачи термоупругости [3]: уравнениям движения (без учета объемных сил), геометрическим уравнениям, физическим уравнениям (обобщенный закон Гука) в индексных обозначениях
} (ы, г) = р и1 (ы, г), (1)
*у(ы, г) = 1 [ии (ы, г) + ии (ы, г)], (2)
ау (ы, г) = 2|деу (ы, г) + + [Хё (ы, г) - (3Х + 2ц) ат [т (ы, г) - т0]} 5у, (3)
^г л 2Gv
где р — плотность, ц = G, А =--изотермиче-
1 - 2v
ские коэффициенты Ламе, при этом 20(1 + V) = Е, Е — модуль Юнга; ат — коэффициент линейного теплового расширения; 5 у — символ Кронекера;
ё(ы, г) = ги(ы, г) = (ы, г)] - объемная деформация, связанная с суммой нормальных напряжений ст (ы, г) = ст ¡¡(ы, г) соотношением
ё (ы, г) = а (ы, г) + 3ат [т (ы, г) - Т0 ]. (4)
Е
Термонапряженное состояние области Б при t > 0 может возникать при различных режимах теплового воздействия на границу Л, создающих термический удар. К ним можно отнести наиболее распространенные на практике случаи [6]: температурный нагрев т (ы, г) = тс, М е Л, t > 0
„ дт (ы, г) 1 Л/Г
(ТС > Т0); тепловой нагрев---=--д0, М е Л,
дп
t > 0 (Хт — теплопроводность материала, д0 — вели-
дт(ы,г) _
чина теплового потока); нагрев средой
дп
= Л [т (ы, г) - тс ], М е Л, t > 0 (А — относительный коэффициент теплообмена, ТС — температура
окружающей среды, тс > т0). В равной степени могут быть рассмотрены и случаи (резкого) охлаждения. Соотношения (1)—(3) запишем в перемещениях. Подставляя правые части (3) в (1) и используя (2)—(4), после ряда преобразований приходим к соотношению
ди (ы, г) + grad[divи (ы, г)] — рд °ы г) = 1 — 2v G дг
= 2(1 + V)aтgrad[T(ы,г) — т0], ы е Д г > 0. (5)
1 — 2v
В практике многочисленных исследований термической реакции твердых тел различной формы на тепловой удар рассматриваются области:
1) (г, 0 в декартовых координатах (х, у, г) (бесконечная пластина; пространство, ограниченное изнутри плоской поверхностью и т.д. — одномерное движение) с температурной функцией Т = Т(г, 0,
при этом их = иу = 0, = (г, г), а у = а у (г, г) 5у, и у = х, у, г;
2) (г, 0 в цилиндрических координатах (г, ф, г) (радиальный поток теплоты; неограниченный цилиндр сплошной или полый; пространство, ограниченное изнутри цилиндрической поверхностью и т.д.) с температурной функцией Т = Т(г, 1), при этом иф = иг = 0, иг = иг (г, г); а у = а у (г, г) 5у, I, у = г, ф, г;
3) (р, Р) в сферических координатах (р, ф, 0) (нагрев в условиях центральной симметрии) с температурной функцией т = т (р, г), при этом Щ = Щ = 0,
и р = и р (р г),
сту (р, г) 8у, и у = р, Ф, 0 (шар
сплошной или полый; пространство, ограниченное изнутри сферической поверхностью и т.д.).
В указанных условиях температурного состояния всех трех областей обобщенное уравнение (5) следует записать в виде
2 (1 ~У) grad[divfУ(Ы, г)] -
1 - 2у
- = М^т^пы,) - т.]. (6)
G дг 1 - 2у
В первом случае соотношение (6) дает
д2и(г, г) 1 д2и(г, г)_ 1 + д [т(г, г)- т]
-2---2-2-_--ат-1-. (/)
дг2 и 2 дг2 1 -V дг
Во втором случае из (6) следует
д 2и (2г, г) +1ди (г, г) _ 1 и (г, г)_ 1 д2и г) _
дг2 г дг
р
_ 1 + д[т(^г)_ т0]
ат"
дг2
1 _ V дг
В третьем случае находим
д2и(р,г) , 2ди(р,г)
(8)
Я 2 ^и (P, г)- 2
др р др р ир
_ 1 + Уа д[Т(р,г)-т0]
—-ат-.
1 -V др
1 д 2и (р, г) _
дг2
(9)
_ /2 (1 - У)
Здесь и р = —----скорость распростране-
и1 - 2у)Р
ния волны расширения в упругой среде, близкая к скорости звука. Уравнения (6)—(9) — основные уравнения динамической термоупругости для рассматриваемых областей, и для этих уравнений могут быть сформулированы многочисленные краевые задачи для описания динамической термоупругой реакции твердых тел на тепловой удар. Чтобы математически описать неупругое поведение тела при заданных условиях нагрева и напряжения, необходимо соответствующим образом обобщить соотношения между напряжениями и деформациями (3), (4). Эти обобщения ведутся по разным направлениям [6], хотя четко разграни-
386
КАРТАШОВ
чить их не всегда возможно. Наиболее общие подходы к проблеме основываются на представлениях и методах физики твердого тела. Чтобы получить сведения о механических характеристиках материала, рассматривается его микроструктура (кристаллическая, поликристаллическая, аморфная). Другой подход состоит в том, чтобы, отвлекаясь от особенностей микроструктуры материала, рассматривать тело как сплошное и искать форму соотношений между напряжениями и деформациями, исходя из общих принципов механики и термодинамики сплошных сред. Наконец, наиболее формальный способ анализа заключается в том, что выбираются некоторые простые формы соотношений между напряжениями и деформациями, описывающие различные типы неупругих явлений, как ползучесть, релаксация напряжений, пластическое течение, упрочнение. Реологические модели, которые учитывают одновременно протекающие процессы упругого деформирования и вязкого течения, благодаря достаточной простоте принятых соотношений между напряжениями и деформациями дают возможность математически проанализировать, как будут вести себя реальные тела в различных условиях нагружения. В этом отношении учет реологических эффектов имеет большое значение при проектировании элементов конструкций, подвергающихся воздействию высоких температур.
Для формулировки реологических законов, связывающих напряжения и деформации, введем девиатор напряжений Бу (М, I) и девиатор деформаций ву (М, I) соотношениями
Бу = Сту - ст8¡¡, ву = бу - еду,
(10)
где а и е — среднее нормальное напряжение и среднее удлинение
°(М,^ = 3X^(М,I), е(М,^ = 1Xе«(М,I). (11)
I г
При помощи этих девиаторов соотношения (3) и (4) можно записать в виде
Б у = 2Ову,
1 - 2v
а + ат (Т - То).
(12) (13)
дБу , = 2О дву
дг
дг
(14)
и к среде Кельвина (или Фойхта)
+ дву" + т ——
р ы
Б у = 2О
При этом соотношение (13) остается без изменения. Последнее означает, что при гидростатическом сжатии или растяжении тело ведет себя
как вполне упругое. Постоянная тр = П называет-
О
ся временем релаксации в (14) и временем запаздывания в (15), п — вязкость материала. Поведение материалов на практике сложнее случаев (14), (15), однако если ос
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.