ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2007, том 43, № 5, с. 617-622
УДК 551.506:519.652.3
НОВЫЕ НАБОРЫ ВЕЙВЛЕТООБРАЗУЮЩИХ ФУНКЦИЙ
© 2007 г. В. Г. Алексеев, В. А. Суходоев
Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН 119017 Москва, Пыжевский пер., 3 Поступила в редакцию 16.11.2006 г., после доработки 04.05.2007 г.
Одним из наиболее эффективных инструментов исследования метеорологических и климатических временны х рядов является вейвлет-анализ, позволяющий изучать локальные свойства исследуемого нестационарного временного ряда. В статье предложены новые наборы непрерывных и дискретных вейвлетообразующих функций. Все предложенные в статье вейвлеты финитны (имеют ограниченный носитель), четны и хорошо локализованы в спектральном пространстве.
ВВЕДЕНИЕ
В течение двух последних десятилетий широкое распространение получил вейвлетный анализ временных рядов. Применения вейвлетного анализа можно встретить практически в любом разделе естественных наук. Физика атмосферы, климатология и океанология не являются исключениями. В этой связи мы укажем на монографию [1] и на статьи [2-12]. Читателю, желающему более подробно ознакомиться с теорией и практикой применения вейвлетов, могут быть рекомендованы монографии [13-17] и сборники [18, 19]. Интересующие нас вейвлеты ("волночки") строятся с помощью растяжений и сдвигов вдоль оси абсцисс соли-тоноподобной функции у(7), именуемой обычно "материнским" вейвлетом.
К функции у(7) предъявляются обычно следующие требования. Она должна принадлежать пространству Х2(Я) (т. е. быть интегрируемой с квадратом) и быть локализованной (быстро убывать на бесконечности) как во временном, так и в спектральном пространстве. Кроме того, несколько первых моментов (включая момент нулевого порядка) функции у(7) должны быть равны нулю. Последнее требование может быть представлено в виде формулы следующим образом:
| ¿X7)сИ =0, г = 0,
= 0, 1, ..., М- 1.
(1)
Число М (количество равных нулю моментов функции у(7)) выбирается в каждом конкретном случае индивидуально (в зависимости от задачи, решаемой исследователем). Однозначных (пригодных для всех случаев жизни) рекомендаций здесь, по-видимому, сформулировать нельзя. Как правило, число М должно быть заметно больше 1, однако избыточно большие его значения не всегда
ведут к улучшению качества вейвлетного преобразования (2) (см. ниже).
Практическая реализация вейвлетного анализа временного ряда (функции) /(¿) сводится обычно к исследованию вейвлетного преобразования
Ж/(с, 5) = с-Ш \ /]7)у(^)сЪ, (2)
где с и 5 - параметры растяжения/сжатия и сдвига вейвлета у(7) вдоль оси абсцисс, причем с > 0.
В разд. 1 настоящей статьи будет приведен набор из 21 нового вейвлета ук(0, где 7 е Я = В свою очередь, в разд. 2 будет приведен набор из
10 вейвлетов йд]7), аргумент которых принимает лишь целочисленные значения. В зависимости от того, пробегает ли аргумент 7 все вещественные или только целочисленные значения, мы будем называть наши вейвлеты непрерывными или, соответственно, дискретными. Впрочем, все функции уДО из разд. 1 будут непрерывными не только в указанном выше, но и в обычном смысле.
Что же касается параметров у и к вейвлетов
ук(0 и 7), то они в обоих случаях являются целыми положительными и притом однозначными числами.
1. НОВЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ВЕЙВЛЕТЫ
В основу построения предлагаемого нами набора "материнских" вейвлетов ук(0 кладутся 5-сплай-ны Шёнберга а() - разложения в интеграл Фурье функций
Ф/(ю) =
8 I П ] (I) /2 )
ю/2
Желательность использования 5-сплайнов Шёнберга для построения вейвлетов ранее была отмечена в монографии [14, гл. 4]. Однако точных формул ни для функций аХО, ни для получаемых с их помощью вейвлетов мы в монографии [14] не находим.
Точные формулы для функций аХО могут быть найдены в работе [20] для I = 1, 2, ..., 6 и в работе [21] для I = 7. В обеих указанных выше работах функции а(х) используются в качестве импульсных характеристик аналоговых фильтров нижних частот. Формулы, определяющие 5-сплайны а(х), занимают для I = 1 и I = 2 одну и, соответственно, две строки, однако с ростом I формулы, описывающие функции а(х), становятся все более объемными. Воспроизводить эти формулы мы в настоящей статье не будем.
Предлагаемые нами "материнские" вейвлеты ук(х) определяются следующими соотношениями:
у/х) = ар) - а, + /X), , = 1, 2, 3, 4, 5, 6,
у2(х) = а/х) - 2а, + /X) + а, + 2(0, ] = 1, 2, 3, 4, 5,
у,э(х) = а/0 - 3а, + /х) + 3aJ + 2(0 - а, + э(х),
■ = 1, 2, 3, 4,
у/0 = а/0 - 4aJ + /0 + 6а, + 2(0 - 4а, + э(х) + а, + 4(1), ■ = 1, 2, 3,
у,5(X) = а/X) -5а, + 1 (X) +10а, + 2(X) -10а, + з(X) + + 5а, + 4(X) - а, + 5(X), , = 1, 2,
у 16(X) = аг (X) - 6а2(X) +15а3(X) -20а4(X) + + 15а5(X) -6а6( X) + а7( X).
Выписанные выше функции ук(х) обладают следующими свойствами:
1. Все функции ук(х) финитны: ук(х) = 0, как только 1x1 > , + к (вопрос о быстром затухании функции ук(х) на бесконечности не возникает).
2. Будучи линейными комбинациями 5-сплай-нов а(х), все функции ук(х) симметричны относительно оси ординат (четны).
3. Огибающая преобразования Фурье ¥,к(ю) функции ук(х) убывает при |ю| —► <», как ю~2/. Отсюда следует, что при, > 1 функция ук(х) дифференцируема 2, - 2 раз. При, = 1 функция ук(х) непрерывна и кусочно-дифференцируема (имеет разрывы производной в точках X = 0, ±1).
к | хгу/X)йх = 0, г = 0, 1, ..., 2к-1. (3)
Для доказательства соотношения (3) заметим прежде всего, что
¥
■к(ю)= | егх>,к(X)йх = [ф(ю)]■ [ 1- ф(ю)]к, (4)
где
ф(ю) =
1, ю = 0,
8 ш ( ю /2 р2 ю/2
ю Ф 0.
Так как 1 - ф(0) = ф'(0) = 0 и ф"(0) Ф 0, то множитель 1 - ф(ю) в крайней правой части равенства (4) становится отличным от нуля в точке ю = 0 лишь после двукратного дифференцирования, а его к-я степень требует уже 2к-кратного дифференцирования. Следовательно,
й г
—г¥,к(ю)|ю = 0 = I (/х)гу,к(X)йх й ю
= 0,
г = 0, 1, ..., 2к - 1.
Тем самым соотношение (3) доказано.
Выбор параметров, и к, управляющих длиной носителя функции ук(х) степенью ее гладкости и номером первого из отличных от нуля моментов, остается за читателем. При этом, желая получить возможно большее число равных нулю моментов функции ук(х), мы вынуждены жертвовать степенью ее гладкости (и локализацией в спектральном пространстве), и, наоборот, выбирая функцию у,к(х) с наибольшей гладкостью, мы сводим к минимуму число ее моментов, равных нулю.
Вейвлеты у/х),, = 1, 2, ..., 6, имеют заметное визуальное сходство с вейвлетом
у(X) = 2(9п)-1/4( 1- X2)е-
(5)
известным под названием мексиканская шляпа . Разница, однако, состоит в том, что предлагаемые нами вейвлеты у/х) финитны, в то время как носителем вейвлета (5) является уже вся бесконечная прямая. Разумеется, при достаточно больших |х| правая часть формулы (5) обращается в "машинный нуль", но далеко не всегда можно указать заранее, где именно начинается этот "нуль".
Перейдем к рассмотрению вопросов, касающихся нормировки предлагаемых нами вейвлетов. Благодаря множителю с-1/2 в правой части формулы (2), описывающей вейвлетное преобразование, величина А,к, определяемая соотношением
А,к = с
-1 Г 2 I X - 5
I у4—
X /2
У22 (t) 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0.01 0.02 0.03
0
У2*(0 0.01
-0.01
Графики функций: а - ^22(0, б - ^2з(г), в - У24®, г - У25®.
0
не зависит от параметров с и 5. И этого уже достаточно для того, чтобы вейвлет ук(0 мог быть применен в практических расчетах.
Ниже приводятся приближенные числовые значения величин Вук = 100Аук для всех предлагаемых нами вейвлетов ук(0.
Вп - 4.6031746, В:
23
B12 ® 1.5111632, B32 B21» 1.2455107, B41 =
B15
B13 » 0.7686000,
B22 ® 0.2004178, B
24
B31 » 0.5424088, B
33
0.0565211, В51 - 0.1773926, 0.0539180, В16 - 0.2712350, 0.2914575, В25 - 0.0097309, 0.3489030, В34 - 0.0028029, 0.0213833, В43 - 0.0027177, 0.0102987, В52 - 0.0086608, 14 - 0.4859965, В42 - 0.0196745, В61 - 0.1172804.
Если разделить вейвлетообразующую функцию ук(0 на А]к, то интеграл от ее квадрата будет равен 1.
Что же касается графиков предлагаемых нами вейвлетообразующих функций, то ясно, что все они в данной журнальной статье приведены быть не могут. На рисунке приведены графические изображения лишь для функций ук(0, где у = 2 и
B
к = 2, 3, 4, 5. Значения всех четырех функций y2k(t) приводятся лишь для t > 0.
Предлагаемый нами набор вейвлетов yk(t) ни в коей мере не является исчерпывающим. С помощью B-сплайнов a(t) могут быть построены и другие вейвлетообразующие функции. Например, можно было бы строить вейвлеты y(t) с помощью B-сплайнов a(t) только четных или только нечетных номеров.
2. НОВЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ ВЕЙВЛЕТЫ
В основу построения предлагаемых нами дискретных вейвлетов h("k>( t) мы положим разложения в ряд Фурье полиномиальных тригонометрических ядер типа Джексона, определяемых для произвольных натуральных l и n соотношением
"sin ( n ю /2) _ sin(ю/2) _
Jl, n(ю) = С,
иеП = [-п, п], (6)
где
С,, n = 2п
Я f
sin ( n ю /2)' sin (ю/2) _
2l
ёю.
Разложения в ряд Фурье ядер типа (6) могут быть найдены в работе [22] для I = 1, 2, 3, 4 и в работе [23] для I = 5. Для I > 5 разложения в ряд Фурье ядер типа (6) нам пока еще не известны.
В дальнейшем мы воспользуемся разложениями в ряд Фурье функций
Qi, n (Ю) = J, n (Ю) / ( nlCh п ) =
sin ( n ю /2 ) ' _n sin (ю/2)_
..,2 к -1. (7)
Доказательство соотношения (7) мало чем отличается от доказательства соотношения (3) в разд. 1. Нам достаточно заметить, что для всех ю е П
m(n - 1 )
Hjk (Ю) = X t)е''
t = -m (n - 1 )
= [Фп (Ю)] j [ 1- Фп(Ю)] к
(8)
где
пропорциональных функциям п(ю).
Точные числовые значения коэффициентов Фурье д, „(X) функций Q¡¡ п(ю) известны для всех I = = 2, 3, 4, 5 и п = 2, 4, 8, 16, 32. Они публиковались в виде таблиц в журналах преимущественно радиотехнического профиля, начиная с 1994 г. Путеводителем по всем таблицам с точными числовыми значениями коэффициентов Фурье д, „(X) может служить работа [24].
Предполагая, что п > 1 (случай п = 1 неинтересен), определим дискретные вейвлеты И("к( X) следующими формулами:
Л? (X) = дип(х) - д, + 1 п(х), ■ = 1, 2, 3, 4,
Л?(X) = ди п(X) -2д+ !, п(X) + д, + 2> п(X), ■ = 1, 2, 3
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.