Автоматика и телемеханика, № 5, 2014
© 2014 г. М.В. ХЛЕБНИКОВ, д-р физ.-мат. наук (khlebnik@ipu.ru) (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
НОВЫЕ ОБОБЩЕНИЯ ЛЕММЫ ПИТЕРСЕНА
Рассматриваются обобщения леммы Питерсена о матричной неопределенности, которая является одним из основных технических средств работы со структурированными матричными неопределенностями и эффективно применяется в разнообразных робастных постановках задач стабилизации и управления.
1. Введение
Реальные системы управления неизбежно содержат неопределенности описания; при этом среди различных моделей неопределенности, используемых при описании систем в пространстве состояний, важное место занимает модель структурированной матричной неопределенности.
Пусть С € §пхп — вещественная симметричная матрица; рассмотрим ее возмущение вида
(1) С + М ДЖ + N ТДТМт,
где Д € Шрхд — возмущающая матрица, а М € Мпхр и N € Шдхп — постоянные "обрамляющие" матрицы соответствующих размерностей, задающие структуру неопределенности. Подчеркнем, что в этой схеме симметричное возмущение задается с помощью матрицы Д, которая не обязана быть ни симметричной, ни даже квадратной.
Такая симметризованная схема структурированной неопределенности естественным образом возникает в задачах, связанных с построением квадратичной функции Ляпунова для динамической системы, матрица которой содержит произвольную, но ограниченную по норме матричную неопределенность Д. Именно этим фактом объясняется многообразие приложений, в которых встречается модель (1).
Предметом изучения в настоящей заметке являются обобщения леммы Пи-терсена [1], отвечающей на вопрос о том, при каких условиях возмущенная матрица (1) является знакоопределенной при всех ограниченных в спектральной норме возмущениях Д:
С + МДЖ + NТДТМт ^ 0 УД: ||Д||2 < 1
(здесь и далее все матричные неравенства понимаются в смысле знакоопределенности матриц).
Лемма Питерсена является одним из основных технических средств работы со структурированными матричными неопределенностями. Она эффективно применяется в разнообразных робастных постановках задач стабилизации и управления (см. например, [2]). В частности, эта лемма является удобным инструментом анализа робастной квадратичной устойчивости систем со структурированной неопределенностью, поскольку позволяет отыскивать общую квадратичную функцию Ляпунова.
Некоторым обобщениям леммы Питерсена, главным образом — на случай нескольких матричных неопределенностей, была посвящена работа [3]. В настоящей заметке сконцентрируемся на вопросе: для каких классов возмущений А (кроме ограниченных в 2-норме) лемма Питерсена остается справедливой.
Предварительные результаты исследования, содержащие обобщение леммы на случай ограниченности возмущающей матрицы во фробениусовой норме, докладывались на конференции [4].
2. Предварительные результаты
Приведем лемму Питерсена в формулировке, в которой фигурируют нестрогие матричные неравенства.
Лемма 1 (Питерсен, [1]). Пусть G = GT € Rnxn, а M € Rnxp, N € Rqxn -ненулевые матрицы. Неравенство
G + MAN + NТДТМТ ^ 0
справедливо для всех A € Rpxq: ЦДЦ2 < 1 тогда и только тогда, когда существует число е такое, что
(2) (GТ -NT) < 0.
Таким образом, лемма Питерсена сводит проверку знакоопределенности семейства (1) к задаче разрешимости линейного матричного неравенства относительно одной скалярной переменной е. Новое, простое доказательство леммы было получено в [3] на основе S-процедуры.
Далее понадобятся следующие предварительные результаты.
Лемма 2. Пусть М € Rpxn, N € Rqxn — ненулевые матрицы, A € Rpxq. Тогда
max trMTAN = ||MNT||F. I|A||f<I
Доказательство. Введем в пространстве матриц скалярное произведение
(M, N) = trMTN.
Тогда
max trMTAN = max tr((MNT)ТД) = max (MNT, A) = ||MNT||F. IIAIIF <1 ||A||F <1 v ||A||F <1
При этом максимум достигается на матрице
- MNт А
||MNT||f " Лемма 2 доказана.
Следствие 1. Пусть a € Rp, b € Rq — ненулевые векторы, А € Rpxq. Тогда: 1.
max aTAb = max aTAb = ||a|| ||Д|Ь<1 ||Д||2<1
причем максимум достигается на матрице
А = ]\аЬТ
2.
max aTAb = ||a -14Д41
при этом, если векторы a и b линейно зависимы, максимум достигается на матрице
~ abT А = -
| a|
в противном случае максимум достигается на матрице
А = e2eT — e1eT,
где e1, e2 — собственные векторы матрицы abT + baT, соответствующие собственным значениям 0 < А1 < Л2.
Доказательство. Первое утверждение очевидно, поскольку для матриц ранга 1 спектральная и фробениусова нормы совпадают. Далее, в силу первого утверждения
max aTAb < ||a||||b||.
........
В случае линейной зависимости векторов a и b утверждение очевидно; рассмотрим противный случай.
Заметим, что abT + baT — матрица ранга 2 с ненулевыми собственными значениями Л1 < Л2 такими, что
Л1 + Л2 = 2aT b, Л2 — Л1 = 2| a
а ее собственные векторы e1 и e2 ортогональны. Тогда
(abT + baT)e1 = Л^,
откуда
А1 = е^ (аЬт + Ьат)в1 = аЬтеь
Аналогично
А2 = ет (аЬт + Ьат)е2 = 2ет аЬте2.
Покажем, что матрица А доставляет искомый максимум. Действительно, А — симметрическая матрица ранга 2 с ненулевыми собственными значениями ±1, поэтому — I ^ А ^ I и
aTA b = aT (e2eT — e1eT)b = aTe2eTb — aTe1eTb =
T 7 T T i t ^2 — A1
= e2 ab e2 — ex ab e\ —
2
Наконец, заметим, что собственные векторы матрицы abT + baT имеют вид
а,11611 ±Ь||а.|| 61,2 ~ ||а||Ь|| ±Ь||а|||| '
Следствие 1 доказано.
3. Обобщения леммы Питерсена
Лемма 3. Пусть G = GT € Rnxn, а M € Rnxp, N € Rqxn — ненулевые матрицы. Тогда каждое из условий
(3) G + MAN + NTATMТ ^ 0 VA: ||A||F < 1
и
(4) G + MAN + NTAMТ ^ 0 VA: — I ^ A ^ I
эквивалентно выполнению (2).
Доказательство. Условие (3) эквивалентно выполнению
xTGx + 2xTMANx < 0 Vx € Rn для всех A: ||A||f < 1, или же
xTGx < —2 max xTMANx Vx € Rn I|A||f <1
С учетом первого утверждения следствия 1 имеем
max xTMANx = max xTMANx Vx € Rn I|A||F <1 1|Д||2<1
и, таким образом, приходим к эквивалентному условию
G + MAN + NTATMT ^ 0 VA: ||A||2 < 1.
Остается воспользоваться леммой Питерсена и получить условие (2).
Второе утверждение леммы 3 доказывается аналогично с учетом второго утверждения следствия 1. Лемма 3 доказана.
Замечание 1. Из доказательства леммы 3 следует, что лемма Питерсена остается справедливой для всех классов возмущений Д € Д, для которых выполнено условие
тах(Д а, Ь) = ||а||||Ь||, где а и Ь — произвольные векторы соответствующих размерностей.
4. Примеры
Пример 1. Рассмотрим задачу проверки квадратичной устойчивости семейства
ж = (А + МДЖ)ж УД: ||Д||^ < 1 с устойчивой номинальной матрицей А.
Как известно, существование общей квадратичной функции Ляпунова
V (ж) = жтдж, д ^ о,
для рассматриваемого семейства эквивалентно выполнению неравенства Ляпунова
(А + мдж)тд + д(А + мдж) ^ о,
или же
Атд + дА + дм дж + N тдтм тд ^ о
при некоторой матрице д >- 0 и при всех неопределенностях ||Д||^ ^ 1. Лемма 3 приводит к эквивалентному условию
/Атд + дА + ежтж дм\ V Мтд -е^ ^0
относительно скалярной переменной е и матричной переменной д >- 0. Поскольку полученное матричное неравенство однородно по д и е, полагаем е = 1 и окончательно имеем:
Атд + дА + Nтж дМ Мтд -/
(5) А д + " " ^ 0.
Таким образом, задача свелась к простой проверке разрешимости линейного матричного неравенства (5) относительно одной матричной переменной
д ^ 0.
Пример 2. При реализации градиентного метода минимизации квадратичного функционала
/(ж) = -хТ Ах — Ьтх
при наличии абсолютных детерминированных помех часто используется предположение, что неизвестная симметрическая матрица А удовлетворяет ограничениям
0 ^ И ^ А ^ Ы
и числа I и Ь известны (см. [5]). В этом случае при оценке области сходимости итерационного процесса естественно возникает условие вида (4).
Автор признателен Б.Т. Поляку и П.С. Щербакову за интерес к работе, плодотворные обсуждения и полезные предложения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Petersen I. A Stabilization Algorithm for a Class of Uncertain Systems // Syst. Control Lett. 1987. V. 8. P. 351-357.
2. Хлебников М.В., Поляк Б.Т., Кунцевич В.М. Оптимизация линейных систем при ограниченных внешних возмущениях (техника инвариантных эллипсоидов) // АиТ. 2011. № 11. С. 9-59.
Khlebnikov M. V., Polyak B. T., Kuntsevich V.M. Optimization of Linear Systems Subject to Bounded Exogenous Disturbances: The Invariant Ellipsoid Technique // Au-tom. Remote Control. 2011. V. 72. No. 11. P. 2227-2275.
3. Хлебников М.В., Щербаков П.С. Лемма Питерсена о матричной неопределенности и ее обобщения // АиТ. 2008. № 11. С. 125-139.
Khlebnikov M. V., Shcherbakov P.S. Petersen's Lemma on Matrix Uncertainty and Its Generalization // Autom. Remote Control. 2008. V. 69. No. 11. P. 1932-1945.
4. Щербаков П.С., Хлебников М.В. Новые обобщения леммы Питерсена о матричной неопределенности // Межд. конф. "Моделирование, управление и устойчивость" (MCS-2012). Севастополь, Украина, 10-14 сентября 2012 г. Симферополь: ДИАЙПИ, 2012. C. 110.
5. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.
Статья представлена к публикации членом 'редколлегии О.А. Степановым. Поступила в редакцию 02.07.2013
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.