научная статья по теме НОВЫЕ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОМЕРНЫХ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Математика

Текст научной статьи на тему «НОВЫЕ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОМЕРНЫХ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА Том 74. Вып. 4, 2010

УДК 532.517.3

© 2010 г. Д. В. Георгиевский

НОВЫЕ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОМЕРНЫХ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

На основе метода интегральных соотношений аналитически исследуется устойчивость ряда одномерных плоскопараллельных стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости. Математическая постановка сводится к задачам на собственные значения для уравнения Орра—Зоммерфельда. В качестве граничных условий выбирается один из трех вариантов: равенство нулю всех компонент возмущения скорости на обеих границах слоя (в этом случае имеет место классическая задача Орра—Зоммерфельда); равенство нулю всех компонент возмущения скорости на одной из границ и равенство нулю возмущений касательной компоненты вектора напряжения и нормальной компоненты скорости на другой; равенство нулю всех компонент возмущения скорости на одной границе и требование, чтобы другая граница была свободна. Граничные условия, выведенные в последнем случае, характеризуются вхождением в них спектрального параметра. Для кинематических условий улучшаются нижние оценки критического числа Рейнольдса — оценки Джозефа — Йи. В остальных случаях развивается техника метода интегральных соотношений, что приводит к новым оценкам устойчивости. Для граничных условий всех перечисленных типов выводятся аналоги теоремы Сквайра. Даются верхние оценки инкремента роста возмущений в задачах на собственные значения для уравнения Релея с двумя типами граничных условий.

В линеаризованной теории гидродинамической устойчивости особое место занимают задачи устойчивости одномерного стационарного плоскопараллельного течения сплошной среды. К числу таких течений относится движение ньютоновской жидкости в плоском слое. При этом речь идет прежде всего о течениях Куэтта, Пуазейля и их возможных комбинациях. Исследованию устойчивости таких течений, выполненному в духе как прямого анализа спектральных задач, так и с привлечением других методов, посвящено большое количество работ (см. обзоры в [1—3]), многие из которых признаются классическими.

Среди упомянутых других методов большое место занимает развиваемый в публикуемой работе метод интегральных соотношений [4—6]. Он позволяет получать довольно общие, в основном достаточные, оценки гидродинамической устойчивости, т.е. нижние оценки критических чисел Рейнольдса. В широком смысле он включает в себя использование интегральных неравенств (типа неравенств Фридрихса, Пуанкаре, Шварца) и априорных оценок в различных функциональных пространствах [7]. Из-за невозможности выписать точные фундаментальные решения уравнений устойчивости (фактически за исключением состояния покоя) для дальнейшей их подстановки в граничные условия учитываются лишь общие характеристики невозмущенного течения. Начиная с первых классических результатов по устойчивости невязких течений, таких как теорема Релея о точке перегиба, теоремы Фьортьофта и Хойланда о полукруге, вплоть до современных исследований метод интегральных соотношений нашел широкое применение в линеаризованной теории устойчивости.

1. Параметры невозмущенного течения. Уравнение Орра—Зомммрфельда. Пусть имеется одномерное плоскопараллельное стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости с известными кинематическими и силовыми параметрами

и? = и°(х2), и? - 0, а?1 = = -Р°, а?2 = и?'/Яе (1.1)

которое будем называть основным, или невозмущенным. Здесь и°, — компоненты

вектора скорости, а°1, с°2, — компоненты тензора напряжений, р° — давление, Яе — число Рейнольдса, определенное по кинематической вязкости жидкости, характерной скорости и толщине слоя. Все соотношения записаны в безразмерном виде. Параметры невозмущенного вязкого течения помечены верхним индексом о, а знаки вариаций перед возмущениями величин далее для краткости опущены. Штрихом обозначены производные по х2.

Известно, что развитие со временем плоской картины возмущений (в плоскости 0х:х2), налагаемых на течение (1.1), моделируется уравнением Орра-Зоммерфель-да [1-31, 8, 9]

—(ф1Г - 2^2ф''+ 54ф) = (а + 1>ю°)(ф''- ^2ф) - ми°''ф, 0 < х < 1 (1.2)

Ке

Здесь х = Х2, а = а* + ¿а** — спектральный параметр (комплексная частота), 5 > 0 — волновое число возмущения вдоль оси Х1 (—ад < Х1 < ад). Функция ф(х) связана с возмущением функции тока у (и1 = ду /дх2, и2 = -<Эу/дх1) соотношением

у (х1, х,?) = ф(х)е"Х1+а< (1.3)

Затухание возмущений равносильно отрицательности действительных частей всех собственных частот: ау* < 0 (] = 1, 2, ...) при любом 5 > 0.

Вместо а в качестве спектрального параметра также выбирают комплексную фазовую скорость с = ¿а /5, так что правая часть уравнения Орра—Зоммерфельда (1.2) представляется в виде ;5[(и° - с)(ф''- 5 ф) - и° ф]. Критерием затухания возмущений будет отрицательность мнимых частей всех собственных фазовых скоростей: с... < 0

у**

(} = 1,2,...).

Для общности традиционно в литературе по математической гидродинамике полагают профили продольной скорости и° и давления р° произвольными функциями х классов С2[0; 1] и С:[0; 1] соответственно. Кроме того, р° может еще линейно зависеть от переменной х1 (как в течении Пуазейля). Физическая мотивировка такого произвола связывается [4] с экспериментальной погрешностью в определении параметров основного движения. В реальных же течениях прилагаемыми массовыми и поверхностными силами обеспечиваются, главным образом, линейный либо квадратичный по толщине слоя профиль скорости и °.

Постановка задачи на собственные значения предполагает наряду с уравнением (1.2) формулировку однородных граничных условий в возмущениях. О типах граничных условий, их механической интерпретации и особенностях анализа в каждом из них идет речь в последующих разделах.

Воспользуемся далее методом интегральных соотношений [4—6], общая схема которого состоит в следующем. Пусть ф (х) — комплекснозначный элемент гильбертова пространства Н2 с нормой

||ф|2 = {|ф|2(хМх < ю (1.4)

имеющий четыре непрерывные производные. Здесь и ниже интегрирование ведется от 0 до 1. Домножим обе части уравнения (1.2) на ф и проинтегрируем по х от 0 до 1, тем самым переходя к квадратичным функционалам:

-М/22 + 252/2 + 54/о2 + (ф'''ф - ф''ф'- 252ф'ф) |Х = о] = Яе

= -а(/2 + 52/02) + (а + «и°)ф'ф |Х = о -"{и°'ф'фйх + ¡я/ (1.5)

I л О \ 1/2 ,, ,,

/п = (|ф(я)|л) -|ф(я|, П = 0,1,2

(ф2 + и °(| ф12 + 52 ф2)"

/ = -

йх е Я

Внеинтегральные слагаемые в равенстве (1.5) зависят от вида граничных условий, налагаемых на ф.

2. Кинематические граничные условия. Если в основном течении заданы постоянные

скорости и°(0) = У0 и и°(1) = VI, а в возмущенном движении уравнения границ х = 0 и х = 1 области не меняются и возмущения скоростей на них равны нулю, то

Ф(0) = Ф(1) = 0, ф'(0) = ф'(1) = 0 (2.1)

Записывая равенство (1.5) для действительных частей при учете условий (2.1), получим

1

а* =

г2 2Т2

11 + 5/0

5(ф'ф)**йх - ^( + 252/12 + 54/12^

(2.2)

Первое слагаемое в квадратных скобках оценивается сверху с помощью неравенства Шварца в H2, так что [10]

< 0 Л1 л 2 _ /2 +25 /1 +5 /0 9 _ 1 о' | (23)

а* <72-тл ~7Г> Л1 _-72-ТЛ-, 9 _ шР|и 1 (2.3)

/1 + 5/0 Яе /1 + 5 /0 0<х<1

Максимум по 5 > 0 правой части неравенства (2.3) зависит как от постоянных параметров основного течения q, Яе, так и от отношений квадратичных функционалов 1п.

Перебирая всевозможные функции ф е Н2, удовлетворяющие условиям (2.1), необходимо найти наибольшее значение этого максимума. Если оно окажется меньше нуля, то при выбранных 9 и Яе основное течение с профилем и °(х) заведомо устойчиво. Таким образом, метод интегральных соотношений позволяет находить нижние оценки критических чисел Рейнольдса Яе* и строить области устойчивости на плоскости (9,Яе).

Непосредственный поиск максимума по 5 всей правой части неравенства (2.3) вызывает определенные аналитические затруднения, поэтому сразу ограничимся очевидной оценкой первого слагаемого:

а* < ?/2 -Л2/Яе (2.4)

Первые результаты на данном пути — оценки Джозефа—Йи [11 — 14] — были получены с использованием неравенств Фридрихса

/22 > тс2/2, /2 > тс2/0 (2.5)

для функций ф е Н2 таких, что ф(0) = ф(1) = 0, а также неравенства > 4.73л4/о для

функций класса (2.1). Из неравенств (2.4) и (2.5) следует утверждение: если ^Яе < 2п , то любое собственное число а задачи (1.1), (2.1) имеет отрицательную действительную часть, что означает устойчивость. Таким образом,

Яе* > 2п1/q (2.6)

Нижняя оценка Яе* (2.6) для задачи (1.1), (2.1) может быть значительно улучшена за счет того, что функция ф(х) = ф0БШ пх, на которой реализуются оба предельные равенства в (2.5), не принадлежит классу (2.1). Для более узкого класса неравенства Фридрихса (2.5) можно усилить. Не останавливаясь на этом, найдем минимум квадратичного функционала Л 1[ф; 5] при каждом 5.

Представим функцию ф (х), 0 < х < 1, рядом Фурье (суммирование далее ведется от к = 1 до к = да)

Ф(х) = ^ Ьк бшпкх, Ьк е С (2.7)

Граничные условия (2.1) налагают два ограничения на коэффициенты Ьк:

Ь =-£(2к + 1)Ь2к +1, Ь2 = -£(к + 1)Ь2к + 2 (2.8)

Функционал

.2 1 Xк2(л2к2 + 52)|Ьк|2 2,2 пч

ЛЙФ;5] ^ \ 2—5 (2.9)

Е(л2к2 + 5 2)| Ьк|2

из всех наборов {Ьк}, удовлетворяющих ограничениям (2.8), для любого 5 принимает свое минимальное положительное значение Л2т;п на наборе с двумя отличными от нуля коэффициентами Ь Ф 0, Ь3 = -Ь1/3:

Л2т:п(5) = (5П2 + 5 У + 52 (2.10)

п2 + 55 /9

Вычисляя теперь минимум по 5 выражения (2.10), находим, что он реализуется при *тт = 3п2/5 и равен 24п2/5.

2

Итак, согласно оценке (2.4), если qRe < 48п /5, то а* < 0, т.е.

Яе* > 48п2/(5q) (2.11)

что почти в пять раз лучше известной оценки устойчивости (2.6).

Для течения Куэтта в узком смысле с прямолинейным профилем и ° = х неравен-

2

ство (2.11) дает Яе* > 48п /5 « 94.74, что не противоречит факту устойчивости в малом этого течения при сколь угодно больших числах Рейнольдса [15]. Для течения Пуа-зейля в плоском слое с профилем и ° = х(1 - х)/2 и числом Рейнольдса, вычисленным

как Яе = -\рЛркг/ц, где р — плотность, Ар = -др°/дх\ = сош!, к — толщина слоя, ц —

динамическая вязкость, имеем Яе* > 96п /5 « 189.5.

Б

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком