№ 4
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2015
УДК 536.2.001.24
НОВЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПЕРЕНОСА
© 2015 г. Э. М. КАРТАШОВ
Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова
E-mail: kartashov@mitht.ru
Рассмотрены практически важные задачи нестационарной теплопроводности для гиперболических моделей переноса. Скорректированы соотношения для ряда оригиналов сложных изображений преобразования Лапласа, используемых при решении гиперболических моделей операционным методом. Развит аналитический подход, основанный на контурном интегрировании операционных решений гиперболических моделей, содержащий новые интегральные соотношения, удобные для численных экспериментов.
Показана эквивалентность новых функциональных конструкций и известных аналитических решений данного класса задач. На основе полученных соотношений описан волновой характер нестационарной теплопроводности с учетом конечной скорости распространения теплоты; рассчитаны скачки на фронте тепловой волны. Предложенный подход дает эффективные результаты при исследовании тепловой реакции на нагрев или охлаждение областей, ограниченных изнутри плоской поверхностью, либо цилиндрической полостью, либо сферической поверхностью.
Ключевые слова: нестационарная теплопроводность, конечная скорость распространения теплоты, гиперболическая модель теплопроводности, новая форма известных аналитических решений.
NEW RELATIONS FOR THE ANALYTIC SOLUTION OF THE HYPERBOLIC TRANSPORT MODELS
E. M. KARTASHOV
Moscow State University of Fine Chemical Technology M.V. Lomonosov E-mail: kartashov@mitht.ru
Considered practically important problem of nonstationary heat conduction for hyperbolic transport models. Relations for a number of complex images of the originals of the Laplace transform, used for solving hypeibolic-ray models operational method. An analytical approach based on the contour integration of operational decisions hyperbolic models containing new integral relations that are convenient for numerical experiments. The equivalence of new functional structures and known analytical solutions of this class of problems. On the basis of the relations described the wave nature of transient heat conduction with the finite speed of propagation of heat; designed racing at the front of the heat wave. Proposed approach gives effective results in the study of reaction heat for heating or cooling the area bounded by the inside of a plane surface or a cylindrical cavity or a spherical surface.
Key words: transient heat transfer, finite speed of propagation of heat, thermal conductivity hyperbolic model, a new form of well-known analytical solutions.
ВВЕДЕНИЕ
Теория процессов переноса в системах ^ = {М(х, у, z) е Б = Б + 5, г > 0}, не находящихся в состоянии термодинамического равновесия, объединяет такие разнообразные явления, как теплопроводность, диффузию, электропроводность, поглощение звуковых волн и др. Для этих явлений термодинамика необратимых процессов основана на обобщенной системе уравнений Онзагера для потоков субстанции 11 (М, г) (теплоты, массы и т.д.), имеющей для изотропной среды вид [1]:
N
Х(И, t) = Iif)+ У ( ' dt У
ikXk (M, t) + Ik MkMâ
dt
(1)
где Хк(М, г) — термодинамические движущие силы (градиенты температуры, концен-
(г)
трации и др.); Ц , Цк, — постоянные феноменологические коэффициенты переноса (Цк = Ьк1). Если пренебречь производной по времени от движущей силы и положить 1(М, г) = д(М, г) (вектор плотности теплового потока); Хк(М, г) = дгаёДМ, ?)(Г(М, ?) —
(г)
температура); Цк = -X (теплопроводность); Ц = 0, то (1) приводит к линейному градиентному соотношению Фурье; д(М, г) = -X цгайТ(М, г) — наиболее распространенной на практике модели теплопроводности в недеформируемых твердых телах. Вместе с
уравнением энергии для изотропных твердых тел ср д Т(М' ^ = -й[уд(М, г) + ¥(М, г) за-
дг
кон Фурье приводит к уравнению параболического типа для нестационарного тепло-переноса вида:
дТ(М,г>> = аКТ(М,г) +—¥{М,г), М е б, г > о (2)
дг ср
и соответствующим для (2) краевым задачам с начальным и граничными условиями: Т(М,г)\г=о =фо(М), М е Б; (3)
р1 дТ(М,г) + р2Т(М,г) = р3ф(М,г), М е 5, г > 0. (4)
дп
Здесь Б — конечная или частично ограниченная выпуклая область изменения М(х, у, I); 5 — кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая область Б; п — внешняя нормаль к 5 (вектор, непрерывный в точках £); ^ = (М е Б, г > 0) — цилиндрическая область в фазовом пространстве (х, у, I, г) с основанием Б при t = 0. Входящие в (2)— (4) параметры — теплофизические характеристики среды, постоянные величины в интервале температур, не выходящих за точки перехода [2, 3]. Краевые функции в (2)—
(4) принадлежат классу функций ¥{М, г) е С0(П); Ф0(М) е С:(0); ф(М, г) е СV х г > 0),
искомое решение Т(М, г) е С2(П) п С0(О); ора<<МТ(М, г) е С°(П); в? + в? > 0. Несмотря на некоторые парадоксы при использовании модельных представлений (2)—(4) (отсутствие инерционности процесса теплопроводности в законе Фурье и как следствие вытекающий из аналитических решений моделей (2)—(4) вывод о бесконечной скорости распространения теплоты; сингулярный характер теплового потока и скорости движения изотерм в области х > 0, г > 0 при х ^ 0, г ^ 0), последнее не ограничивает область применения краевых задач (2)—(4) как предмет практически необозримого
числа исследований, охватывающих все новые содержательные математические объекты и все большее число самых разнообразных аналитических методов, дающих точные решения задач (2)—(4). Следует отметить, что в ряде случаев существуют реальные тепловые процессы, имеющие так называемые фронтовые поверхности, при переходе через которые температурная функция и ее производные имеют разрыв. Такие функции описываются аналитическими решениями краевых задач для уравнений гиперболического типа [4]. Полагая в (1) /(М, г) = д(М, г); = -т г; Цк = -X; Хк = 0, приходим к обобщенному закону Максвелла—Каттанео—Лыкова [4]:
д(М, г) = -X дгаё Т(М, г) - т,
дд(М, г) дг '
(5)
учитывающего конечную скорость распространения теплоты; тг — время релаксации теплового потока, связанное со скоростью распространения теплоты соотношением
и>т = Vа/тг (а — температуропроводность). Уравнение энергии и соотношение (5) приводят к уравнению переноса гиперболического типа
дТ(Мг) = аДТ(М, г)-Тг д-ЩА
дг
дг2
ср
дЕМИ+1 е(М, г)
дг тг
(6)
и соответствующим краевым задачам теплопроводности для уравнений (6) обобщенного вида. Не останавливаясь подробно на теплофизических процессах, связанных с уравнением (6) (подробно в [4]), заметим, что к их числу относятся высокоинтенсивные нестационарные процессы, время протекания которых сопоставимо с временем релаксации тг. Например, при нагреве металлов короткими лазерными импульсами (длительностью от нано до фемтосекунд) процессы нагревания при трении с высокой скоростью, при тепловом ударе, локальном нагреве при динамическом распространении трещины в околозвуковом режиме и другие процессы. Обобщенные задачи переноса для (6) значительно отличаются от классических (2)—(4), они более сложные при нахождении аналитических решений этих задач. Отсюда весьма незначительные успехи в нахождении их точных аналитических решений и в основном для частично ограниченных областей при нулевых начальных условиях и постоянных граничных условий (в основном, первого рода). До сих пор не найдены точные аналитические решения второй, третьей и смешанных краевых задач для областей канонического типа (пластина, цилиндр сплошной или полый, шар сплошной или полый, тела клиновидной формы и т.д.). Одно из объяснений этого факта в том, что такого рода случаев соответствующие спектральные задачи решены быть не могут, а значит не могут быть применены разработанные на основе решения этих задач таблицы Карташова [3] интегральных преобразований Фурье—Ханкеля с улучшением сходимости рядов в аналитических решениях задач. Существует еще одна особенность указанного класса модельных представлений. Имеющая место громоздкость в аналитической записи найденных ранее решений для частных случаев [4] может быть существенно упрощена за счет специальных преобразований, приводящих к новым аналитическим соотношениям, неизвестным ранее. Этим вопросам посвящена настоящая публикация.
Новые соотношения для аналитических решений гиперболических моделей переноса
Предлагаемый подход рассмотрим на примере нагрева однородного изотропного стержня % > 0, первоначально находящегося при начальной температуре Т0. Граничная поверхность стержня % = 0 при г > 0 находится в условиях либо температурного нагрева температурой Тс (температурная функция Т\(%, г)), либо теплового нагрева потоком теплоты (70 (температурная функция Т2(%, г)), либо нагрева средой температуры Тс (температурная функция Т3(%, г)). Эти случаи для указанной области представляют практи-
ческий интерес в вопросах исследования нестационарного характера теплового слоя при пузырьковом кипении и турбулентного теплопереноса с помощью модели проникания [5]. При записи соответствующих моделей необходимо принять во внимание вопросы корректной формулировки граничных условий, рассмотренные в [6]. Соответствующие модели имеют вид:
дТ д 2Т д Т „ „ „ ,. ,,-,04
—1 = а—±-тг—^, % > 0, г > 0 ( = 1,2,3);
дг д% дг2 Т(%, г)| г=0 = Т0, % > 0; Т(%,г)\= Тс, г > 0;
г
1 гдТ2(%, т) г-т
я
ехр
X гдТз(%,т)
т г '
%=0
ехр
-т
йт = -(д0 А)5 +(г), г > 0;
йт = А{Т(%,г)|%=0 - [Т + 5+(г)(Т -Т,)]}, г > 0;
(7)
(8) (9)
(10) (11)
|Т(%, г) <», % > 0, г > 0.
(12)
При записи граничных условий (10)—(11) использовалась функция, введенная в [7]:
5+(г) =?> г > 0, [0, г < 0.
В безразмерных переменных
£ = -р=; т = г/тг; В,* = Щатг; т) =
(13)
1ат г
Т(%, г) - Т0
Тс - Т0
(, = 1,3);
Т) =
Т2(%,г) - Т
^ ат г /X задача (7)—(12) принимает вид:
(14)
д| _ д | д |
дт2
дт д^2
0, т> 0 (; = 1,2,3);
т)| т=0 = 0, 0; т)| ^ = 1, т> 0;
д^, т'), дИз(^, т')
^=0ехр [-(т - т')] йт' = 5+(т), т > 0;
ехр [-(т - т')] йт' = В1* [[, т)|5=0 - 5+(т)], т > 0;
5=0
Т)| <», 0, т> 0.
(15)
(16)
(1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.