ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2004, № 12, с. 42-47
УДК 550.83
НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРИ АНАЛИТИЧЕСКОМ ПРОДОЛЖЕНИИ В ДИСКРЕТНОЙ ПОСТАНОВКЕ ЗАДАННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПОЛЯ
ВЕРТИКАЛЬНЫХ ГРАДИЕНТОВ
© 2004 г. 3. 3. Арсанукаев
Институт физики Земли им.О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва Поступила в редакцию 18.11.2003 г.
Проблема новых технологий составляет один из аспектов уже публиковавшихся ранее компьютерных технологий аналитического продолжения заданных значений поля с использованием методов теории дискретных гравитационных полей. Предложенные новые конструкции высокоточных дискретных аппроксимаций операторов Лапласа и новые подходы позволяют существенно увеличить точность вычисляемых значений поля при аналитическом продолжении.
Настоящая статья представляет собой продолжение изложения компьютерных технологий при аналитическом продолжении заданных значений поля в заданный горизонтальный слой, целиком расположенный выше источников поля, о которых шла речь в работе1. Некоторые вопросы, которые были затронуты там вскользь, здесь излагаются более детально, некоторые излагаются здесь впервые.
В работе1 показано, что при аналитическом продолжении заданных на уровнях г = 0, г = -Н
дУ ...
значений поля тт- (У - потенциал гравитационно-
дг
го поля) точность вычисляемых значений поля существенно увеличивается, если уменьшать шаг сетки, используемой в дискретном методе.
В связи с этим был поставлен вопрос, нельзя ли увеличить точность значений вычисляемого поля для фиксированного шага сетки или, иначе, на данном шаге сетки, применяя некоторые новые подходы. Напомним, что в прежнем варианте аналитического продолжения дискретное уравнение Лапласа рассматривалось на классических шаблонах "крест" и "ящик". В статье [Страхов, Арсанукаев, 2001] были разработаны новые конструкции высокоточных дискретных аппроксимаций оператора Лапласа Л. Общий вид указанных дискретных операторов таков:
г = + = +S
Л{ Ур, ч(х^)} = ^ ^ сг^ у,(х5 + гН вх + sh2 вг),
г = + Rs = -S (1)
^ = ё В,
.. др' У( х , г) где Ур, 9 = ----, вх, вг - единичные орты по
дгрдх9
оси х и оси г соответственно.
Коэффициенты сг,5 в (1) выбираются из условия, что соотношение
Л{ и„(х, г)} = 0
(2)
1 3.3. Арсанукаев. Вычисление пространственных элемен-
тов аномальных полей с использованием методов теории
дискретных гравитационных полей (работа в печати).
точно для всех гармонических полиномов и(х, г) до заданной степени N включительно; при R = S = п равенство (2) должно выполнятся для всех гармонических полиномов степени <4п ^ = 4п - 1).
Принимая шаг Н1 = Н2 = 1 и подставляя значения гармонических полиномов в (2), получим систему линейных алгебраических уравнений для коэффициентов сг, „ которая имеет единственное решение. Для случая R = S = п = 1 - это система из двух уравнений с двумя неизвестными, которая 4 1
дает С1 = 5 , С2 = 5 , (С0 = -4) для "ящика 1-го порядка" в соответствии с введенной здесь терминологией; эти коэффициенты, как было отмечено в работе1, совпадают с коэффициентами для классического "ящика".
Для случая п = 2 (т. е. для "ящика 2-го порядка") (рис. 1) коэффициенты имеют следующие значения:
(С0 = -4), С1 = 0.53881339, С2 = 0.36406440,
С3 = 0.07193689, С4 = 0.01383720,
С5 = -0.00248908.
Отметим, что по показателю точности N, введенному здесь, дискретные аппроксимации уравнения Лапласа на шаблонах "прямой крест" + "косой крест" точны до гармонических полиномов 3-го порядка, для шаблона "ящик 1-го порядка" точны до гармонических полиномов 7-го порядка, для
С9
Си
С9&
(а)
(б)
1 9 -4
1
и 1
Со = -4 С = 1
1 *■
-4
* 1
(в) С1
Со
С9
С1
С0 = -4; С1 =4/5 = 0.8; С2 =1/5 = 0.2
®С9
С1
(г)
С4 С3 С4
С4
С2
С3
С4
О
С1
С2 -Р-И
С50—*
С1
0С5
С2
С0
С1
С1
С2
—О—*с4
0с5
С4 С3
литического продолжения заданных значении по-
ЭУ „
ля ----- в заданный горизонтальный слои в нижнем
az
полупространстве z > 0. В первом подходе использовались новые высокоточные аппроксимации дискретного оператора Лапласа.
Суть второго подхода будет изложена ниже постепенно по мере рассмотрения технологических этапов с использованием этого подхода.
Расчеты с использованием обоих подходов проводились для случая прямого пласта, бесконечной протяженности в направлении оси у, подробно рассмотренного в работе1 (рис. 2). Длина профиля 16 км, шаг сетки Н1 = Н2 = 0.4 км, расстояние до верхнеИ кромки прямого пласта равно 4 км.
ЭУ
Значения поля ------ здесь задаются на 2-х или 3-х
уровнях z = 0, z = -й, z = -2й как точные решения прямоИ задачи для прямого пласта однородной плотности бесконечной протяженности в направлении оси у с использованием формулы:
дУ
дz
= в а
2 2 X
х 1п (х + z ) + 2агС£-
z.
С1 Zl
(3)
С4 С3 С4
Рис. 1. Шаблоны, используемые при аналитическом продолжении заданных значении поля: (а) - "прямоИ крест"; (б) - "косоИ крест"; (в) - "ящик 1-го порядка"; (г) - "ящик 2-го порядка".
шаблона "ящик 2-го порядка" точны для полиномов 19-го порядка.
В связи с вышеизложенным были предложены два новых подхода к технологии нахождения ана-
При аналитическом продолжении заданных значении поля в рамках первого подхода дискретное уравнение Лапласа (2) рассматривалось на составном шаблоне "ящик 2-го порядка" + "ящик 1-го порядка" + "прямоИ крест" + "косоИ крест" (или сокращенно "ящик 2-го п." + "ящик 1-го п." + "п. к." + + "к. к.") (рис. 3).
При этом уравнение Лапласа рассматривалось: на шаблоне "ящик 2-го п." во внутренних точках профиля на уровне z = 0; на шаблоне "ящик 1-го п." во внутренних точках профиля на уровнях z = 0, z = й; на шаблонах "п. к." и "к. к." во
Заданные значения поля ЭУ / дz на уровнях-0.4 км и 0 км
"6
ч 0.
0. 8
1. 2
1. 6
2. 0 П„
2. 4
2. 8
3. 2
3. 8
— 0.4 2 1
2.4
z
Рис. 2. Расчетная схема для прямого пласта при аналитическом продолжении заданных значениИ поля. ФИЗИКА ЗЕМЛИ < 12 2004
X
-0.8 км
-0.4 км Заданные значения поля дУ / дг 0 км на 3 уровнях 0, -0.4, -0.8 км
I
Л
х
4 км
2.4 км
2.1 км
Рис. 3. Расчетная схема при рассмотрении уравнения Лапласа на составном шаблоне "ящ. 2-го п." + "ящ. 1-го п." + + "п.к." + "к.к.".
г
внутренних точках профиля на уровнях: от г = 2Н до г = 9Н.
Таким образом, здесь возникает переопределенная система алгебраических уравнений СЛАУ или в операторном виде
Аи = /. (4)
Ясно, что число уравнений здесь 739, а число неизвестных по-прежнему 410.
СЛАУ решались с помощью пакета программ 8РМ, результаты расчетов приведены в табл. 1.
Из табл. 1 видно, точность вычисляемого поля с использованием новой технологии в рамках первого подхода увеличивается на порядок по срав-
Таблица 1
Режим задания дУ -д-г- значений поля № Глубина, км Относительная погрешность 11 точ выч| 1 л# = 1 1 х - х 1 1 Е ^ 1 1 то ч| 1 хЕ
"п. к" + "к. к" "ящ. 2го п." + + "ящ. 1го п." + + "п.к." + "к.к."
Точное 1. 0.4 1.384470 Е-03 4.92070 Е-04
2. 0.8 3.904223 Е-03 3.492533 Е-03
3. 1.2 9.603643 Е-03 4.769514 Е-03
4. 1.6 1.859483 Е-02 1.069080 Е-02
5. 2.0 2.968818 Е-02 2.459834 Е-02
6. 2.4 4.467576 Е-02 4.197743 Е-02
7. 2.8 7.054781 Е-02 6.123032 Е-02
8. 3.2 1.154519 Е-01 8.713836 Е-02
9. 3.6 1.843241 Е-01 1.312850 Е-01
Примечание. Данные в графе ("п.к" + "к.к") взяты из статьи1.
нению с прежней технологией, причем точность выше в областях, близких к г = 0, т. е. там, где использовались высокоточные аппроксимации оператора Лапласа.
В рамках второго подхода аналитическое продолжение заданных на уровнях г = 0, г = -Н дУ
значений поля т-- проводилось в 2-х вариантах (в
дг
обоих вариантах дискретное уравнение Лапласа рассматривается на составном шаблоне "прямой крест" + "косой крест").
В 1-ом варианте СЛАУ составляется (и далее решается с помощью пакета программ 8РМ) рассмотрением дискретного уравнения Лапласа на составном шаблоне "прямой крест" + "косой крест" во внутренних точках профилей на трех уровнях г = 0, г = Н, г = 2Н (рис. 4). Матрица А в операторном уравнении (4) (переопределенная): А = = 234 х 123 и / = 234 х 1 формировались при выполнении компьютерных программ соответственно рг 606 и рг 607. После решения СЛАУ полудУ
ченные здесь расчетные значения поля --т- на уров-
дг
нях г = 2Н и г = 3Н используются в качестве заданных значений поля в расчетной схеме Аа2 (рис. 5). В схеме Аа2 составной шаблон "п. к." + "к. к." рассматривался во всех внутренних точках профилей на уровнях от г = 3Н, г = 9Н. Матрица А, которая здесь возникает, имеет размер А = 546 х 287, / = = 546 х 1.
Результаты расчетов при использовании соединенно схем Аа1 + Аа2 в 1-м варианте приведены в табл. 2.
Как видно из табл. 2, использование новой технологии (в варианте 1) при аналитическом продолжении на порядок увеличивает точность вы-
7Л!
1«'
Заданные значения поля dV / dz -0.4 км на уровнях -0.4 км и 0 км /0"кМ
^...............¿W
1.2
2.4
2.1
4 км
dV
Рис. 4. Расчетная схема Aal варианта 1 к новой технологии аналитического продолжения поля -=— .
oz
Заданные значения поля dV / dz о на уровнях -0.8 км и 1.2 км /—
0. 4 i 6
2
6
2. 0
2. 4
2. 8
3. 2
3. 6
4 км
2.1
2.4
дУ
Рис. 5. Расчетная схема Аа2 варианта 1 к новой технологии аналитического продолжения поля -=— .
дг
Заданные значения поля dV / dz на уровнях 0.8 км и 1.2 км 0
4 км
2.4
2.1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.