ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2015, том 53, № 3, с. 347-355
УДК 553.9.08
НОВЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ЗОНДА В ГАЗОРАЗРЯДНОЙ ПЛАЗМЕ
© 2015 г. А. С. Мустафаев, А. Ю. Грабовский
Национальный минерально-сырьевой университет "Горный", Санкт-Петербург
E-mail: rectorat@spmi.ru Поступила в редакцию 05.03.2014 г.
В работе дальнейшее развитие получил зондовый метод диагностики плазмы. Показано, что в силу своей геометрии цилиндрический зонд позволяет восстанавливать только четные компоненты f2j функции распределения электронов по скоростям (ФРЭС). Для решения этой задачи создан метод диагностики неравновесной плазмы, позволяющий восстанавливать полную ФРЭС и регистрировать диаграммы направленного движения электронов с помощью цилиндрического зонда. Метод апробирован в плазме низковольтного пучкового разряда (НПР) в гелии. Восстановлена полная функция распределения и построены полярные диаграммы направленного движения электронов в плазме. Точность метода подтверждается сравнением экспериментальных данных с результатами независимых измерений плоским односторонним зондом, а также с результатами решения модельной задачи.
DOI: 10.7868/S0040364415020180
ВВЕДЕНИЕ
Одним из ключевых факторов развития высокотехнологичных отраслей промышленности являются плазменные технологии. На сегодняшний день плазма используется для решения широкого круга прикладных задач: от разработки приборов плазменной энергетики [1, 2] и медицины [3] до утилизации органических веществ [4]. Вместе с тем, к плазме предъявляются все более жесткие требования, в частности, возможность непрерывного управления ее свойствами (функцией распределения электронов, плотностью и температурой заряженных частиц). Среди путей решения этой проблемы — применение неравновесной анизотропной плазмы с нелокальной природой функции распределения электронов по скоростям. Такая плазма обладает уникальным набором свойств, позволяющих гибко регулировать рабочие параметры плазменных приборов [5].
Очевидно, что без разработки эффективных методов локальной диагностики плазмы указанные задачи, скорее всего, не будут решены, тем более что прогресс в теоретических исследованиях сильноанизотропных плазменных объектов только намечается.
На сегодняшний день только метод плоского одностороннего зонда [6, 7] позволяет получать наиболее полную информацию о параметрах сильнонеравновесной анизотропной плазмы, однако его широкое применение сдерживается рядом проблем, связанных со сложностью изготовления плоских зондов. В связи с этим в мировой
экспериментальнои практике чаще всего используют цилиндрические зонды.
МЕТОД ДИАГНОСТИКИ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЫ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ ЗОНДАМИ
Рассмотрим цилиндрический зонд, произвольно ориентированныи в аксиально-симметричной плазме. Допустим, что угол между осью симметрии плазмы и осью зонда — X. Введем вспомогательную сферическую систему координат; ее полярная ось перпендикулярна плоскости, в которой расположены ось зонда и ось симметрии плазмы (рис. 1).
Направление оси симметрии плазмы во вспомогательной системе координат характеризуется полярным и азимутальным углами 9 = я/2 и ф = 0, а направление нормали некоторого элемента поверхности зонда — углами 92 и ф2 = (X ± я/2). Угол между указанными направлениями обозначим Ф0. Для него имеет место следующее соотношение:
cos Ф 0 = sin 02cos ф2. (1)
Предполагая, что ФРЭС /(s, 9) и вторая производная зондового тока по потенциалу зонда
I"(qU, Ф0) дважды дифференцируемы по углу, разложим их в ряды по полиномам Лежандра
/(6,0) = £ fj (e)P(cos 0),
j=о
3
" (qU, Фо) = 2nqS У Fj (qU)Pj (cos ф).
m j=0
(2)
GO
z
n
Ч. / I Y 02
/Ч'.. 1 * 4, v ■ Ф0 ^ ' Ось симметрии плазмы
v. 0 = п/2, ^Sy^^/i 1 ф=0
jf <$2 = 1 + (я/2) / /" Ось зонда
Рис. 1. Схема, поясняющая взаимное расположение зонда и оси симметрии плазмы.
Используя соотношение (1), проинтегрируем выражение (3) по поверхности S цилиндрического зонда:
о » п
2д
df df eE df v n — + — ■ v +---+ S = 0,
(5)
д1 дг т Зу где е, т — соответственно заряд и масса электрона; Е — напряженность электрического поля, S — интеграл столкновений.
Подставим разложение (2) в уравнение (5):
У Pj (cos 0)f +
j=0 dt
vcos 0 X
( У Pj(cos0)f - — cos0X
n dz m
j=0
ш Pif
У Pj(cos0)f - eEsin2 0X
dv mv
j=0
У fj
dPj
j=0
Здесь учтено, что
3(cos 0)
■ + S = 0.
E f = E cos 0^ + Esin2 0
df
dv dv v d(cos 0)
Умножая (6) на соответствующий полином Pj(cos 0) и интегрируя по угловым координатам в пространстве скоростей dQ = sin 0d0d ф, получаем следующее уравнение для функций f:
I"(qU, Ф0) = ^У Fj(qU) [p,j(sin 92 sin \)d$2, (4) m j=0 0 где S — площадь поверхности зонда.
Из уравнения (4) видно, что компоненты с нечетными индексами выпадают при выполнении интегрирования по поверхности зонда. Это связано с тем, что для цилиндрического зонда в силу его симметрии всегда можно найти два элемента поверхности, нормали к которым составляют угол 180°. Для полиномов Лежандра с нечетными индексами P2j + i(cos Фо) = —Pj +1 (cos(180° + Ф0)), поэтому в выражении (4) сохраняются лишь компоненты с четными индексами F2j [8].
Следовательно, цилиндрический зонд дает возможность определять только четные компоненты разложения ФРЭС, причем число определяемых четных компонентов связано с числом независимых ориентаций зонда. Таким образом, измерения цилиндрическим зондом не позволяют определять лежандров компонент f1 и делать выводы о токовой анизотропии плазмы.
Для решения этой задачи авторами предложен метод цилиндрического зонда, основанный на совместном использовании экспериментальных данных и кинетического уравнения Больцмана, которое для функции распределения электронов в электрическом поле имеет вид
f + vSÍj+I +
dt dz (2j + 3 j 2j _1 j
fj-ib
+
+
_ eE í j + 1 J_ m
1 d (vj-i)\=veafj, j=0,1,2,...,
m \2j + 3 vJ+2 dv(vj+f'+1)
(7)
2j _ 1v1-j dv
в котором интеграл столкновений учитывает доминирующую роль упругих электрон-атомных столкновений через частоту упругих соударений \еа. В (7) учтена ортогональность полиномов
+1
f P (x)P¡(x)dx = 5
J j 2j + 1
-1
и рекуррентные соотношения
xPj (X) = Pj+1 +jP¡-1,
2j +1
2j +1
(1 - x 2> d-T = j^+T [Pj-1(x) - Pj+1(x) ]•
dx 2j +1 Полагая в (7) последовательно j = 0, 1, 2, получаем следующую цепочку уравнений:
j = 0,
eE д
f + v f__
dt 3 dz 3mv2 dv j = 1,
(v 2f1 ) + vlf0 = 0;
_ eE_ m
и так далее.
f + v ff + 2 f
dt \dz 5 dz
f + т~з f (v3 f')
dv 5v ovv '_
(8)
+ vtf = 0
>jj
n
Эту цепочку уравнений можно оборвать на двух первых, если функция/ пренебрежимо мала по сравнению с/0, т.е. если
/ A(v3f), / > 2/ dv 5v3 д v^ ' dz 5 dz
l"(qU, Ф0):
f2J(qU) = F2 j (qU) + J /2/8)
qU
d(qU)
2 j
qU
d8. (10)
/2j (qU) = F2j (qU) + J F2J (s)Rj(qU, s)ds,
qU
j = 0,1,2,...,
где Rj(qU = j 2S0 aj [U
= (-i)k(2j - - щ при j=0, 2, 4....
k!(J - k)!(J - 2k)!
Явный вид резольвентных ядер для j = 0, ..., 10 приведен в работе [10].
Отметим, что интеграл по энергии в (11) имеет особенность при нуле. Поэтому интегрирование ведется от некоторого минимального значения энергии U = Umin по всему промежутку [ Umin, Umax],
вне которого величина I" оказывается меньше порога чувствительности приборов экспериментальной установки и принимается равной нулю.
Компоненты F2j могут быть определены двумя способами. В первом способе непосредственно используется представление компонентов F2j при
разложении I"(qU, Ф0) (4), из которого получаем:
2 1
Fv(qU) = (2J +31)m fI"(qU,O^cosФo)dФo. (12) 4q S J
Интеграл в (12) при этом заменяется квадратурной формулой. Если рассматривать P2j (cos Ф0) в качестве весовой функции и использовать квадратурную формулу с алгебраической степенью точности не ниже интерполяционной, то получим:
(11)
J-2k-1 2
akj =
F2 j
Решение кинетических уравнений (8), (9) позволяет восстановить лежандровы компоненты ФРЭС с нечетными индексами, для чего необходимо экспериментально измерить четные.
Определение четных компонентов разложения ФРЭС осуществляется с использованием математического аппарата метода [6, 7], позволяющего связать лежандровы компоненты ФРЭС и
(2j + 1)m
4q 3S
(2j + W
4q3S
J SN (x)P2j (x)dx
N
£ A^IU (Xk),
k=1
где x — угловая переменная, = £n ю(х)
Sn(X) =
-1 (x - Xi )ю'(х;- )
I" (xt) — интерполяционный
многочлен Лагранжа, =
1;
ю(х)
-P2 j (x)dx.
1(х - Хк)(Я'(хк) Применение той же квадратурной формулы с постоянной весовой функцией, равной единице, дает
F2J
(2j + 1)m
N
Выражение (10) представляет собой интегральное уравнение Вольтерра II рода [9]. Используя метод резольвент, его можно разрешить относительно функций /у:
=и
■YjCiI'U(x,)Pj(xi),
4q S ~
J i=1
ю(х)
-dx.
где С;- = ,
1 (х - х1 )ю'(х;-)
Второй способ заключается в ограничении числа слагаемых в ряде (4). В этом случае измерения I" (7 и, Ф0) проводятся для определенного числа углов Ф0. Тогда для нахождения вспомогательных функций F2j необходимо решить систему линейных уравнений, которая может быть сформирована из (4) за счет использования выбранных углов ориентации зонда.
Таким образом, метод восстановления полной ФРЭС с использованием цилиндрического зонда заключается в следующем.
1. Экспериментально измеряются значения
I" (7 и, Фо).
2. По уравнениям (12) и (11) последовательно рассчитываются величины F2j■ и /у.
3. Затем путем решения соответствующих кинетических уравнений (8), (9) восстанавливаются нечетные компоненты ФРЭС /2+1.
4. Окончательно с помощью уравнения (2) восстанавливается полная функция распределения электронов по скоростям.
ВОЗМОЖНОСТИ ЗОНДОВОГО МЕТОДА.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА
Техника и методика эксперимента. Для измерений в режиме НПР использовался плоский диод с подвижным анодом, конструкция которого представлена на рис. 2а. На рис. 2б дана общая схема экспериментальной установки, созданной по образцу установки [11].
Разрядный промежуток формируется между плоским катодом толщиной 1.5 и диаметром 10 мм и плоским анодом того же диаметра. Величина межэлектродного промежутка может изменяться в пределах 1—30 мм. Боковая поверхность разряда
да
(б)
(а)
К системе игольчатого
К масс-спектромет
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.