РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 9, с. 931-943
ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
УДК 523.4;550.388;621.396
НОВЫЙ КЛАСС ОКОН НА ОСНОВЕ СЕМЕЙСТВА АТОМАРНЫХ ФУНКЦИЙ cha,w(x) И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ ' СИГНАЛОВ
© 2015 г. В. Ф. Кравченко1, 2, 3, Я. Ю. Коновалов2, В. И. Пустовойт3
Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, Российская Федерация, 125009 Москва, ул. Моховая, 11, стр. 7 2Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Российская Федерация, 107005Москва, 2-я Бауманская, 5 3Научно-технологический центр уникального приборостроения РАН, Российская Федерация, 117342 Москва, ул. Бутлерова, 15 E-mail: kvf-ok@mail.ru, kon20002000@mail.ru Поступила в редакцию 24.10.2014 г.
Предложены и обоснованы новые конструкции весовых функций (окон) на основе семейства атомарных функций. Построение весовых функций состоит из двух этапов. На первом этапе, используя основные свойства сверток, строится многократная свертка атомарных функций, а на втором путем усечения полученной функции до эффективного носителя определяется искомая весовая функция. Проведенный численный эксперимент и анализ основных физических характеристик новых весовых функций (окон) показал их эффективность.
Б01: 10.7868/80033849415090065
ВВЕДЕНИЕ
Известно [1—10], что весовые функции (окна) построенные на атомарных функциях (АФ) нашли широкое применение в цифровой обработке сигналов (ЦОС) и изображений, анализе и синтезе антенн, при решении краевых задач математической физики, томографии, радиоастрономии, в статистических методах обработки данных и т.д. При решении таких классов задач основное внимание уделяется следующим [1—9, 11] физическим характеристикам: максимальный уровень боковых лепестков (УБЛ), когерентное усиление (КУ), максимальные потери преобразования (МПП), ширина окна на уровне 3 и 6 дБ. При этом необходимо, чтобы они обладали хорошим УБЛ и по возможности высоким КУ при малых МПП. Однако, согласно принципу неопределенности [7, 8] эти требования являются противоречивыми. Предложенный в работе подход позволяет достигнуть компромисса между этими требованиями. Для этого сначала строится многократная свертка [12], обладающая согласно свойствам преобразования Фурье низким УБЛ, а затем производится ее усечение для увеличения КУ и уменьшения потерь преобразования.
Следует отметить, что свертки АФ сами являются АФ [2, 3, 13, 14] и могут быть найдены как решения соответствующих функционально-диф-
ференциальных уравнений (ФДУ) без вычисления свертки.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД ЕЕ РЕШЕНИЯ
Рассмотрим построение весовой функции (ВФ) с низким УБЛ и хорошим значением КУ в виде произведения двух функций [3—8] /(kx)g(x), где /(х) является многократной сверткой АФ, боковые лепестки которой быстро убывают с ростом порядка свертки, а функция g(x) обладает высоким КУ. Исследуем свертки АФ Иа(х), которые образуют двупараметрическое семейство АФ еИа,в(х)[13-18].
А. Новые конструкции семейства функций еИа и(х)
Известно, что АФ [2—5] представляют собой финитные решения дифференциальных уравнений с линейно преобразованным аргументом вида
N
Ь/(х) = ^ Ск/(ах + Ьк), а > 1. (1)
к=1
Хорошо изученной АФ является материнская функция ир(х), а ее обобщением семейство АФ
4
931
ha(x). Практическое значение имеют свертки этих функций, которые представляют собой АФ:
Еn(x) = hn+1(x) *... * h„+1(x) и cup(x) = up(x) * up(x).
Б. Основные свойства сверток атомарных функций
Рассмотрим свертку двух атомарных функций /(х) и g(x) с одинаковым параметром масштабирования a, заданных уравнениями вида
м к
г) = Xс^^х - Ьт) и gп) = Xс&к/(ах - ь&к). (2)
т=1 к=1
Отметим, что эта свертка [12] существует как свертка двух бесконечно гладких функций с компактным носителем. Преобразования Фурье уравнений (2) представляют собой уравнения для
спектров функций F = / и О = g следующего вида:
(it)nfF(t) = F (L exp
M
a! a
m=1 K
itb.
(it)ngG(t) = G (L exp (-
a! a
к=1
itb.
(3)
(4)
• f (ax + b), полу-
>f + ng) _ V STCfmC<
LLr
к
LP(aX - bfm - Ь&к).
(6)
Докажем их существование и исследуем основные свойства.
В. Определение и теорема существования АФ Ж^^)
Определение. АФ еЬа,п(х) — это финитные решения ФДУ
,(n)
n+1/ч -
2-n^Ckn(-1)ky(ax + n - 2к),
k=0
a > 1, n = 1,2,3 ...
(8)
с носителем [-п/(а -1); п/(а - 1)], удовлетворяющие условию нормировки
да
| у(х)йх = 1.
—да
Теорема. При каждом п = 1,2,3,... и а > 1 ФДУ
У
(n)
= l X ск (-1) ky(ax + n - 2k)
(9)
к=0
Перемножив (3) и (4), получим уравнение для произведения спектров Р (г) = F (г )О(г)
(й)"'^Р(г) = РЙХХ^С- ехр(-*Фтт + Ьк)). (5)
\а) , а \ а /
т к
Применив обратное преобразование Фурье к (5), 1
согласно свойству - exp (—j F (- j a \ a ! \a! чим уравнение для свертки p(x) = f (x) * g(x) в виде
Так как (6) имеет вид (1), то полученная функция р(х) является АФ.
Используя явный вид (6) для вычисления функции рх), можно построить итерационный алгоритм по методике [13, 14] или применить быстросходящийся ряд Фурье.
Пример 1. Рассмотрим свертку Иа(х) [2, 4, 5] с самой собой. Применяя предложенную выше методику, получим уравнение следующего вида:
3
у"(х) = — (у(ах + 2) - 2у(ах) + у(ах - 2)). (7) 4
Отметим, что уравнение для АФ сир(х) является частным случаем (7). Повторяя данную процедуру несколько раз, получим уравнение для свертки п экземпляров функции Иа(х). Такую свертку будем обозначать сЬа п(х).
имеет единственное финитное с носителем [- п/(а -1); п/(а -1)] бесконечно дифференцируемое решение, удовлетворяющее условию нормировки
/•да
I у(х)йх = 1. Для существования решения необ-
«—да
г п+1 г* -и
ходимо, чтобы I = а 2 .
Доказательство. Будем искать решение уравнения (9) в пространстве L1 суммируемых на всей оси функций. Применив к уравнению (9) преобразование Фурье, получим
п
(it)nF(t) = IX Ск„ (-1)к 1FМ ехр(1 (п - 2к)), (10)
7" а \а) \а !
к=0
где F (г) — преобразование Фурье искомой функции у(х). Для упрощения выражения (10) воспользуемся тождеством, вытекающим из бинома Ньютона
X Ckn (- 1)к exp ((n - 2к)) =
к=0
(11)
= (exp ( j-exp (-it jj" = 2nin sinn (
\af \ an \a
Подставив выражение (11) в (10), имеем
F (t) = l—F (j
a \a!
sin
=£ f ("si
Sine -
n
n
n
Тогда F(t) представляется так
F (t) = П^пс" I"1!)-
k=1
(12)
Для сходимости бесконечного произведения (12)
необходимо, чтобы l = 2 nan+1. Таким образом,
F t=П
sine
k=1
(13)
Согласно теореме Винера—Пэли, функция у(х) существует, может быть найдена в виде у(х) = 1 Гш
— I ехр(йх)-Р (г и обращается в нуль вне отрез-
2п
ка
. Из (13) следует, что I y(x)dx
•—да
= 1.
L a - 1 a - 1. Теорема доказана.
Полученную функцию обозначим ehan(x) = y(x).
2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СЕМЕЙСТВА АТОМАРНЫХ ФУНКЦИЙ cha n(x)
Так как
/ » , . \n t
| ehan(x)dx = 1, a supp(cha,„(x)) =
a - 1 a - 1.
4. При периодическом продолжении АФ еЬап(х) представляется рядом Фурье вида
С » л
eha,n(x) =
k=1
a - 1 1 + хF>a - 1 __а - 1
nk)eos
nkx
где f (t) = nk=1slne n (—k J-
5. Другим способом вычисления АФ еИап(х) является итерационный алгоритм, основанный на том, что еЬщ„(х) как решение уравнения (9) будет неподвижной точкой следующего оператора:
( n
Л/ \ n+1~ -n Tn
A(y) = a 2 I
X Ckn (-1)ky(ax + n - 2k)
V k=0
F(t) = П slnen i О. 1 = П sine i £ 1 = (ha(t))n,
k=1 Ka У i k=1 Va V то функция eh an(x) представляет собой свертку n экземпляров функции h a(x). Вследствие этого АФ up(x), ha(x), cup(x) и Sn(x) являются частными случаями АФ ehan(x), а именно: eh21(x) = up(x),
eh2,2(x) = cup(x), eh^(x) = ha(x), ehnHn(x) = Sn(x). При этом уравнение (8) совпадает с уравнением соответствующей АФ. Кроме того, ehan(x) можно рассматривать как бесконечную свертку B-сплай-нов Шенберга степени n - 1.
Докажем некоторые свойства АФ eh (x).
1. Атомарная функция ehan(x) — неотрицательна как свертка неотрицательных функций h a(x).
2. Атомарная функция ehan(x) — четная как свертка четных функций.
3. Согласно условиям теоремы существования:
где I(у(х)) = Г уЦ)М.
¡-п/ (а-1)
Тогда еЬа,п(х) будет пределом равномерно сходящейся последовательности /(х)}, /к(х) = А (/к-\(х)). Различные варианты реализации алгоритма изложены в [13, 14].
6. Производные еИа п(х) порядка кратного п вычисляются последовательной подстановкой выражения (9) в само себя.
7. Атомарная функция еЬа,п(х) * еЬа,т(х) =
= еИа,п+т(х).
8. Сдвиги АФ еЬа,п(х) обеспечивают разложение единицы
ыт
2 X cha,n (x + 2k) - 1.
Доказательство. Обозначим S(x) =
- —). Тогда согласно уравнению (9) a )
= X.
^cha nIx +;
'k^T a,n I
(п)
Б (х) = 0. Из этого следует, что Б(х) — многочлен степени не выше п. Заметим, что Б(х) — ограниченная функция. Следовательно, Б (х) = Б — константа, значение которой равно а/ 2.
Отметим, что сдвиги функции еЬа,п(х) точно представляют не только единицу, но и многочлены любой степени вплоть до степени п - 1. Доказательство этого факта проводится аналогично приведенному выше доказательству разложения единицы. Свойство точного представления многочленов позволяет использовать сдвиги функций еЬа,п(х) в качестве эффективного аппарата интерполяции гладких функций. Алгоритмы одномерной и двумерной интерполяции сдвигами АФ еЬа,п(х) описаны в [15, 16].
9. Полезным свойством АФ является возможность вычислять их моменты по рекуррентным формулам, не прибегая к операции интегрирования.
Построим рекуррентные формулы для моментов еИа 2. Известно, что моменты функции связаны
со
да
n
n
да
с коэффициентами разложения в ряд Тейлора ее преобразования Фурье
2/(a-1)
где
J x2m eha>2 = (- 1)m(2m)! C2m.
-2/(а-1)
Преобразование Фурье сЬа,2 имеет вид (13). Для него справедливо равенство
F(t) = sine
(t) F (t
\a) \a,
(14)
Разложим обе части равенства (14) в ряды Тейлора в точке t0 = 0. Для этого представим sine2 (t/a) в виде
• 2 t sine - =
sin
(a)
1 - eos
(2t a
(-,)к (
a
2к+2
2 (
( 1)к +1f 2к
к=0 (2к + 2)! 21-a
t_\2 к=0 (2к + 2)!a
2к'
/ 1 \ l ^ 2l+1 ,21 Z C2nt* = Z ^^ I
C2^
2к
n=0
i=0(21 + 2)!a21к=0 a2k
(15)
Приравняем коэффициенты при ?2п (в правой части выражения (15) они получатся при I
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.