ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2013, том 47, № 3, с. 260-270
УДК 541.1:544.4
НОВЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НА ОСНОВЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
© 2013 г. М. Ю. Шаталов, С. И. Федотов, Ю. М. Шаталов
Технологический университет Цване, Претория, Южная Африка Совет по научно-промышленным исследованиям, Претория, Южная Африка shatalovm@tut.ac.za, mshatlov@csir.co.za Поступила в редакцию 05.10.2011 г.
Развиты интегральный и интегродифференциальный методы определения неизвестных характеристик кинетического эксперимента, в качестве которых выступают скорости химических реакций, начальные концентрации веществ, константы Михаэлиса и т.п. Данные методы могут быть применены к широкому классу реакций, но наиболее эффективно они работают в случаях, когда рассматриваемая система дифференциальных уравнений линейна по отношению ко всем или группе неизвестных параметров. Для открытой полиферментной системы, описываемой системой уравнений Михаэлиса—Ментен, нелинейной по отношению к неизвестным параметрам, продемонстрирован метод преобразования исходной системы к новой системе, линейной по группе новых неизвестных, функционально зависимых от исходных параметров. Разработан метод, позволяющий переформулировать исходную нелинейную задачу определения неизвестных параметров в линейную, путем ее погружения в более общую задачу идентификации коэффициентов дифференциального уравнения, когда исходная формула является одним из решений полученного уравнения. Предлагаемый метод также применим для определения кинетических параметров теоретических моделей, которые записаны не только для концентраций, но и для активностей. Проанализирован способ полной идентификации задачи химической кинетики при неполной наблюдаемости отдельных компонентов реакции и сделан вывод о возможности качественного и количественного восстановления информации о кинетике субстрата и интермедиатов по продукту многостадийной последовательной реакции при точной регистрации концентрации продукта реакции.
Б01: 10.7868/80040357113020103
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время современные математические методы все шире применяются в химии и биологии. Возникшая на стыке этих наук биохимическая кинетика эффективно использует аппарат дифференцальных уравнений для моделирования динамики реакций. В ходе кинетических экспериментов регистрируются временные зависимости концентраций взаимодействующих реагентов, из которых необходимо определить наиболее существенные характеристики процесса, например, скорость реакции, ее порядок и т.д. В тех случаях, когда на протяжении малого начального интервала времени реакция не охватила весь объем взаимодействующих веществ, необходимо исключить этот временной промежуток из имеющихся экспериментальных данных и определять характеристики процесса по оставшимся данным. При этом возникает задача уточнения новых начальных концентраций реагирующих веществ. Наконец, встречаются случаи, когда
часть реагентов являются ненаблюдаемыми, т.е. их концентрации не могут быть измерены в ходе кинетического эксперимента. В этом случае важной является задача не только определения характеристик процесса, но и восстановления качественной и количественной информации о ненаблюдаемых компонентах процесса.
В предлагаемой статье описаны некоторые новые методы определения характеристик биохимических процессов. Под словом "новые" подразумеваются такие методы, в которых для поиска неизвестных характеристик используются сами уравнения, а не их решения. В этом случае, помимо экспериментальных кинетических кривых, необходимо использовать дифференциальные и/или интегральные кинетические кривые. Соответствующие методы мы называем дифференциальными, интегральными и интегродифференци-альными методами. Получение дифференциальных и интегральных кривых означает численное дифференцирование и интегрирование кинетических кривых. Общие методы планирования и
обработки результатов кинетических экспериментов рассмотрены в [1]. Необходимость разработки новых критериев для проверки эмпирических формул обоснована в [2]. Прямые и дифференциально-инвариантные методы обработки экспериментальных данных обсуждены в [3]. Графические методы определения характеристик, описанные в литературе [4—11], фактически эквивалентны упомянутому численному дифференцированию. Эта операция приводит к большим погрешностям в тех случаях, когда экспериментальные данные содержат существенные ошибки. Интегрирование и связанные с ним интегральные методы, наоборот, ведут к сглаживанию ошибок и, как показано в приведенных в статье примерах, дают более точные оценки по сравнению с дифференциальными методами.
В большинстве случаев системы уравнений, описывающие кинетические эксперименты, являются нелинейными [4]. Среди этих нелинейных моделей можно выделить частный случай, когда нелинейные системы являются линейными по отношению к неизвестным параметрам или группам параметров. В качестве примера нами рассмотрена модель Лотки, описываемая известными уравнениями Лотки—Вольтерры. В случае подобных систем особенно эффективным оказывается применение интегрального метода в сочетании с методом наименьших квадратов, поскольку в результате задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. В качестве примера линейной системы рассматривается двухстадийная последовательная реакция, ранее рассмотренная, например, в [12—21]. В [12] предложен компенсирующий ошибки алгоритм, использующий линеаризованные решения. В [13] проанализирован, основанный на нелинейном методе наименьших квадратов, алгоритм определения субстрата и скоростей реакции по измерениям интермедиата. В [14] предложен компенсирующий ошибки алгоритм для определения кинетических параметров двойных смесей. В [15] дан компенсирующий алгоритм для определения субстрата и скоростей реакции по измерениям продукта, образующегося при одновременных реакциях первого и второго порядков. В [16] для определения начальных концентраций и скоростей реакции по данным измерения интермедиата использован метод фильтра Калмана. В [17] для определения кинетических параметров использованы искусственные нейронные сети. В [18] приведен компенсирующий алгоритм, основанный на нелинейном методе наименьших квадратов. В [19] для идентификации неопределенной кинетической модели использован итерационный факторный анализ. В [20] определение механизма и скоросей реакции проведено нелинейным регрессионным методом наименьших квадратов. В [21] для определения скоростей реакции ис-
пользован метод среднего центрирования диапазона спектра.
Современные аспекты моделирования кинетики сложных реакций в квазистационарном приближении обсуждены в [22—24]. Проблема неединственности решения задачи о восстановлении кинетических параметров, а также связанные с ней вопросы полноты экспериментальной информации и исключения концентраций промежуточных веществ рассмотрены в [25—29]. В случае последовательной реакции первого порядка структура решения известна, что позволяет нам восстановить информацию о субстрате и ин-термедиате по продукту реакции, т.е. решить задачу полной идентификации системы с ненаблюдаемыми компонентами. Для этой цели развит новый метод, состоящий в том, что по решению определенной структуры строится дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, общим решением которого является исходная формула. Затем, используя интегральный метод, с помощью метода наименьших квадратов идентифицируются неизвестные коэффициенты уравнения. Неизвестные характеристические параметры системы функционально связаны с коэффициентами уравнения и рассчитываются по ним. Пример использования этого метода приведен в той части настоящей статьи, которая посвящена численным примерам. Даже в случае нелинейной системы, которая также нелинейна по неизвестным параметрам, зачастую возникает возможность ее преобразования в систему, линейную по группе новых параметров, являющихся комбинациями первоначальных. Этот метод продемонстрирован на примере открытой полиферментной реакции, описываемой системой уравнений Михаэлиса— Ментен [4]. Для удобства практического применения все обсуждаемые методы проиллюстрированы на примерах.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ
В большинстве случаев кинетика биохимической реакции может быть описана системой обыкновенных дифференциальных уравнений:
^ = Л (4, Ь).
(1)
где I = 1, 2, ..., п,] = 1, 2, ..., т и к) — неизвестные параметры (например, константы скоростей реакций, константы Михаэлиса и т.п.). Приведем лишь некоторые примеры таких реакций.
Пример 1. Открытая полиферментная реакция [4]:
где субстрат 51 поступает в систему со скоростью у0, S2 — интермедиат реакции, отток продукта Р осуществяется по первому порядку со скоростью а; Е1 и Е2 — ферменты, концентрация которых постоянна. В этом случае реакция описывается системой уравнений Михаэлиса—Ментен:
йА1 _ к — к2 Л1 йг к3 + А1'
йЛ2
к2 Л1
к4 А
4^2
йг к3 + Л1 к5 + Л2
йЛ3
(2)
--к6 Л
йг к5 + Л2
6^3 >
где А1, А2, А3 — концентрации субстрата (51), ин-термедиата (52) и продукта (Р) реакции, к1 = у0, к6 = а, к2 = Ух, к4 = У2 — максимальные скорости реакции, а к3, к5 — константы Михаэлиса действия первого и второго ферментов.
В частном случае система уравнений (1) оказывается линейной по отношению к неизвестным параметрам (скоростям реакций):
сл
йг
1 = X ку/у (Л).
(3)
у=1
Пример 2. Рассмотрим реакцию Лотки, описываемую системой уравнений Лотки—Вольтерры:
йЛ1 йг йЛ2 йг
= кпЛ1 - киЛ1Л2,
= -к22 Л2 + к21Л2 Л1.
(4)
В данном случае нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений (4) линейна по параметрам к11, к12, к21 и к22.
Простейшим частным случаем (3) является линейная реакция:
йЛ = X куА. йг ^ 1 1
у=1
(5)
Пример 3. Рассмотрим двухстадийную последовательную реакцию [4, 10—21]:
Л к ) В —^ С,
которая описывается следующей системой линейных дифференциальных уравнений:
йЛ1
-Л = -к1 4,
—Л = к1 Л1 - к,Л2,
йг 1122
(6)
-Л
йг
-Л3 = к2 Л2,
где А1, А2, А3 — концентрации веществ А, В и С соответственно, а к1, к2 — скорости реак
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.