АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 91, № 2, с. 87-95
УДК 524.882-423-425-43
НОВЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАССЫ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ
© 2014 г. А. А. Шацкий1*, И. Д. Новиков1-2, Л. Н. Липатова1
1 Астрокосмический центр Физического института им. П.Н. Лебедева Российской академии наук, Москва, Россия
2Международная академия им. Нильса Бора, Институт им. Нильса Бора, Копенганен, Дания Поступила в редакцию 19.04.2013 г.; принята в печать 11.06.2013 г.
Найдены характерные особенности в электромагнитном спектре от излучения свободно-падающего диполя при его радиальном падении в черную дыру Шварцшильда. Эти особенности могут быть использованы как еще один метод для определения массы черной дыры. Также они могут быть использованы для определения некоторых характеристик магнитосферы или характеристик аккреционного диска вокруг черной дыры.
001: 10.7868/80004629914020066
1. ВВЕДЕНИЕ
Как известно (см., например, [1, 2]), любая черная дыра в общей теории относительности характеризуется только тремя параметрами: массой, угловым моментом и электрическим зарядом. Все остальные характеристики коллапсирующей в черную дыру материи должны полностью "излучаться" (см., например, [3]). Это свойство черных дыр называется "отсутствием волос", и благодаря этому свойству все мультипольные моменты от электромагнитных полей должны исчезать по мере приближения системы зарядов к горизонту черной дыры1 .
Мы рассмотрим здесь следствия этого свойства для шварцшильдовских черных дыр, т.е. невраща-ющихся и незаряженных. Рассмотрим излучение, возникающее при ускоренном движении диполя, свободно падающего вдоль радиуса в черную дыру. Обратным влиянием частицы на черную дыру мы пренебрегаем.
Для нахождения излучаемых компонент поля при существенно непериодическом движении заряда можно воспользоваться двумя способами.
1. Извлечение корня квадратного из мощности релятивистского тормозного излучения заряда (см., например, [4] или [5, § 76]).
2. Преобразование поля от локально-инер-циальной системы отсчета (сопутствующей заряду) к системе Шварцшильда в точке наблюдения излучения.
*E-mail: shatskiy@asc.rssi.ru
1 Строго говоря, если черная дыра и вращается, и элек-
трически заряжена (решение Керра—Ньюмана), то она
обладает собственным магнитным моментом.
Оба способа дают одинаковый результат. В наших предыдущих работе [6] мы подробно описали второй способ.
Оба этих способа отличаются от предложенного ранее: решения общерелятивистского волнового уравнения (типа Даламбера) для поля [7—9].
Найденное для спектра решение показало, что максимум излучения приходится на частоты порядка с/гд (здесь и далее с — скорость света и гд — радиус горизонта событий черной дыры). Поэтому, скажем, для черной дыры в центре Млечного Пути с массой Ыьн ~ 106Мс^ почти вся электромагнитная энергия диполя излучается на длинах волн Хт ~ гд & 106 км. Такие волны технически невозможно зарегистрировать на Земле. Более того, даже для черной дыры с массой порядка массы Солнца максимум излучения приходится на длину волны порядка одного километра, что крайне затрудняет регистрацию таких волн.
Поэтому возникла наблюдательная необходимость — определить асимптотику электромагнитного спектра от такого излучения при больших частотах. Если эта асимптотика окажется экспоненциально-убывающей, то экспериментально зарегистрировать это излучение окажется технически невозможно. А если асимптотика окажется степенной, то при небольших (по модулю) показателях степени будет возможно зарегистрировать такое излучение (в "хвосте" распределения) и по характерным особенностям этого излучения определить параметры черной дыры и характеристики падающего диполя.
Как будет доказано в разд. 3, асимптотика спектральной плотности энергии излучения окажется именно степенной, с показателем степени к = -2.
2. ОСОБЕННОСТИ СПЕКТРА ИЗЛУЧЕНИЯ ДИПОЛЯ
Характерной особенностью спектральной плотности энергии излучения Е% падающего в черную дыру диполя является его периодическая немонотонность (затухающие осцилляции; рис. 1). При этом соответствующий промежуток частоты Дш между локальными экстремумами спектра оказывается порядка с/т0, где т0 — начальный радиус, с которого диполь начинает свое радиальное падение из состояния покоя. Причиной этих осцилляций спектра является явная непериодичность у скорости движения диполя (частица двигается только в одном направлении и вдоль радиуса) и то, что движение начинается с конечного радиуса (см. далее).
Спектральная плотность энергии излучения, как известно, является квадратом компонент фурье-образа поля [5, § 66], поэтому она является положительно определенной функцией. Сами фурье-компоненты излучаемого поля точно так же осциллируют, одновременно убывая по амплитуде (рис. 1). Если величина т0/тд стремится к бесконечности (т.е. падение происходит с бесконечного радиуса), то промежуток частоты между осцилля-циями спектра Дш стремится к нулю, а частота осцилляций стремится к бесконечности. Поэтому на бесконечности такой спектр является монотонно убывающей функцией2 , асимптотика которой будет найдена в следующем разделе. При этом вблизи частоты ш ~ с/гд спектр имеет характерную форму колокола, что совпадает с результатами работ [7— 11]. В этих работах вычисления спектров проводились только для случая т0/тд — о, а графики спектров строились только для квадрупольного излучения (и мультиполей высших порядков). В то же время в работе [6] нами было показано, что излучение падающего в черную дыру диполя в главном приближении является дипольным.
В данной работе мы рассмотрим более общий случай т0/тд ~ 10 (а не бесконечность, как в работах [7—11]). Как уже было сказано, в общем случае спектральная плотность энергии излучения имеет бесконечное число локальных максимумов и локальных минимумов (равных нулю). Это принципиально отличает его от вырожденного (асимптотического) случая т0/тд — оо, имеющего всего один локальный максимум около точки ш ~ с/тд.
Именно благодаря свойству квазипериодичности спектр для общего случая т0/тд ~ 10 можно будет в принципе отличить от других спектров и проанализировать.
'Поскольку среднее значение квадрата синусоиды равно 1/2.
Результаты, полученные нами для дипольного излучения, можно сопоставить с формой спектров из работ [8, 12], полученных для квадрупольного гравитационного излучения, также при радиальном падении пробной частицы на черную дыру Шварц-шильда (рис. 2). При этом авторы работы [12] (также как и мы) рассматривают падение с конечного радиуса то = 40тд. И в их спектре видны осцилляции, аналогичные нашим (рис. 2а). Однако в работе [12] делается вывод, что эти осцилляции могут быть следствием неправильно выбранного параметра в используемом численном методе вычислений (вычисления этих авторов основаны на методе функций Зерлини и проводятся методом последовательных итераций).
Что касается работы [8], то там падение происходит с бесконечности, и поэтому осцилляций уже нет (рис. 2б). Но что характерно для представленных также на рис. 2б спектров октупольного (Ь = 3) и гексадекапольного (Ь = 4) излучений — амплитуда следующего мультиполя примерно на порядок меньше амплитуды предыдущего. Отсюда видно, что амплитуда дипольного излучения должна быть гораздо больше амплитуды всех других мультиполей (которыми мы пренебрегаем в данной работе).
Откуда берутся осцилляции спектра? Чтобы ответить на этот вопрос, обратим внимание на то, что осцилляции спектра излучения также возникают при вычислении фурье-образа от непериодического движения заряда в плоском пространстве вдоль прямой линии (например, ускорение вдоль прямой в течение конечного промежутка времени). При этом промежуток частоты между осцилляциями спектра Аш = п/ДЬ уменьшается до нуля при бесконечном интервале времени изменения скорости (также как и в нашей задаче). Эта простейшая модельная задача (для плоского пространства-времени) легко может быть решена аналитически. Получаемый при этом фурье-образ от ускорения а(Ь) имеет вид: аш = = а0 [8т(шДЬ) — сов(шДЬ) + 1] /ш. Это и есть причина возникновения осцилляций спектра.
3. АСИМПТОТИКА СПЕКТРА ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ЧАСТОТАХ
Мы рассматриваем процесс радиального падения диполя (как точечной пробной частицы) по геодезической мировой линии на черную дыру Шварц-шильда.
В работе [6] мы нашли излучаемые тангенциальные электрические и магнитные поля, возникающие при радиальном падении заряженной частицы (или диполя) в черную дыру Шварцшильда. Эти поля были найдены в результате релятивистского
о о
к
оо
\
43
0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005
0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
новый метод определения массы
(а)
89
0.5
1.0
1.5
(б)
XX,
0.5
1.0
1.5
(в)
0.5
1.0
1.5
2.0
2.0
2.0
Г0 = 2гг
2.5
Г0 = 4Г„
2.5
Г0 = 10г?
2.5
Г0 = 20г?
ЮГ^/с
Рис. 1. Зависимость спектральной плотности энергии излучения в единицах-0т аргумента юг „/с при разных
48псг*
начальных радиусах г0 падающего диполя.
преобразования полей от локально-инерциальной системы отсчета, связанной с двигающимся зарядом, к системе отсчета неподвижного наблюдателя. После этого был рассчитан фурье-образ
от найденных полей излучения. Спектр излучения получается возведением фурье-образа в квадрат [5, § 66].
2Мю
Рис. 2. Зависимость спектральной плотности энергии излучения для квадрупольного гравитационного излучения: (а) — при го/гд = 40, из работы [12]; (б) — при го/гд = то, из работы [8].
Введем необходимые для дальнейшего обозначения:
а = \ 1 — тд/ть ь =л тд/та — тд/то, (1)
^ [вт(шЬ) + ««¡(шЬ)]
(И,
ъвг =
Ь в± =
с1о гда2(Ъ + с\)[а2с1 - 2Ь2(Ъ + сг)] й 4с1Г^[(Ь + с\)'2 — а,462]3/2 '
(3)
С1 = ^ 1 — тд/т0.
Выпишем выражение для фурье-образа поля из работы [6]:
(2)
Функция является тангенциальным элек-
трическим полем излучения диполя (0 в момент его нахождения на расстоянии т от черной дыры (для поперечной ориентации диполя).
При этом закон движения диполя Ь(та) определяется выражением, полученным в той же работе [6]:
Ct{rd) = ^rd(ro-rd)(r0/rg-l) + (r° + 2r9)Vro/r9 _1 arccos _ ^ + (4)
+ Гд 1П
í2\/rd(r0 - rd)(r0/rg -1)+
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.