= ЯДРА
НОВЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ЯДЕР В МОДЕЛИ ЖИДКОЙ КАПЛИ
© 2004 г. Р. С. Курманов1), Г. И. Косенко*
Омский государственный университет, Россия Поступила в редакцию 22.07.2003 г.; после доработки 16.12.2003 г.
Ранее развитый нами метод для перехода от двойных объемных интегралов к двойным поверхностным при расчете кулоновской энерги ядер с резким краем обобщен на случай ядер с конечным радиусом действия ядерных сил и диффузным краем. В нашем подходе получены новые формулы для расчета кулоновской и ядерной энергий деформированных ядер. Случай сферически-симметричного ядра допускает аналитическое решение. Результаты наших расчетов для этого случая совпали с приведенными в литературе. На основе данного подхода предложена дифференциальная формулировка метода, развитого ранее в работах Краппе, Никса и Сирка для перехода от двойных объемных к двойным поверхностным интегралам.
Модель жидкой капли (МЖК) [1, 2] до сих пор очень часто используется для расчета потенциальной энергии деформированного ядра. В последнее время вместо модели с резким краем ядра [3] все чаще используют более реалистичную модель с диффузным краем [4, 5]. Потенциальная энергия ядра в МЖК включает в себя кулоновскую, ядерную и вращательную компоненты, зависящие от его формы. В предыдущей работе [6] была выведена новая формула вычисления кулоновской энергии в МЖК с резким краем. Для нахождения куло-новской энергии необходимо вычислять двойной объемный интеграл, нами был получен новый регулярный способ перехода от таких интегралов к двойным поверхностным интегралам для произвольной подынтегральной функции, отличный от метода, используемого в [4, 7, 8]. Подынтегральная функция в двойном поверхностном интеграле в нашем подходе проще, чем аналогичная в [7]. В настоящей работе метод, разработанный в [6], применяется к расчету потенциальной энергии в МЖК с диффузным краем. Наша основная цель — получить формулы для расчета потенциальной энергии ядра, а именно кулоновской и ядерной ее частей с учетом конечного радиуса действия ядерных сил и диффузности ядерной поверхности.
1. ФОРМАЛИЗМ
Кратко напомним суть нашего метода. Задача состоит в переходе от двойных объемных интегра-
мский государственный университет путей сообщения, Россия; E-mail: kurmanovrs@mail.ru E-mail: kosenko@phys.omsu.omskreg.ru
лов к двойным поверхностным:
У (IV(IV'р(а) = J(dS ■ dS,)f (а), (1)
где р(а) — объемная подынтегральная функция (а = |г — г'|), f (а) — поверхностная подынтегральная функция.
Математическая постановка задачи формулируется следующим образом: для известной функции р(а) найти функцию f (а). Суть метода состоит в том, что, используя интегральную теорему о градиенте, можно преобразовать правую часть (1):
У ((Б ■ dS,)f (а) = У dV'(dS ■ gradr/ )f (а). (2)
Затем, используя интегральную теорему о дивергенции вектора, получаем
У dV,(dS ■ gradr/)!■ (а) = (3)
= У (У(У/divrgradr/ f (а).
Заметим, что подынтегральная функция в правой части — это скалярное произведение двух операторов "набла", дифференцирующих по разным переменным неизвестную функцию. Поскольку соотношение (3) должно выполняться для любого объема интегрирования, то подынтегральные функции в левой части (1) и правой части (3) должны быть равны, т.е.
divrgradr/ f (|г — ^1)= р(|г — т^1). (4)
Заменим переменные г, г', по которым производится дифференцирование, на вектор разности
2094
НОВЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
2095
двух радиусов-векторов а = г — г'. В результате получим лапласиан от искомой функции:
divrgradr, f (|r - r>\) = -Af (a),
(5)
которая должна быть равна "электростатическому потенциалу". Напомним, что такое уравнение в электростатике называется уравнением Пуассона:
-Af (a) = p(a),
(6)
где р(а) играет роль произвольного распределения "заряда". Например, для точечного заряда, имеющего ¿-образное распределение, уравнение Пуассона выглядит следующим образом:
= 4тг 5{а).
а
Данное выражение можно использовать для вычисления следующего интеграла:
-дД)= (7.
16п2Я0
J(dS-dS')^ = J dVdV'
= j dVdV' • 4n5(a) =
3
где К0 — радиус сферического ядра. Далее мы будем часто использовать значение этого интеграла.
При выводе (6) не предполагалась сферическая симметрия; учтем теперь, что распределение "заряда" р(а) в (6) является сферически-симметричным, тогда и "потенциал" / (а) должен иметь такую же симметрию. Переходя к сферическим координатам, получаем дифференциальное уравнение второго порядка для искомой функции
a2 da
= P(a)■
Сделаем замену
f (a) =
u(a)
a
(10)
в результате (8) приобретает вид 1 d2
Интегрированием найдем общее решение уравнения (10)
и(а) = Е(а)+С\а + С2 (11)
или
аа
где Я(а) — результат двойного интегрирования "плотности" р(а), С2 — константа интегрирования, которая определяется из регулярности функции f (а) в нуле. С\ = 0, так как интеграл в правой
части (1) от константы равен нулю (если в (6) подставить f (a) = C\, то p(a) = 0).
Итак, мы нашли поверхностную функцию по данной объемной и можем перейти от двойного объемного интеграла к двойному поверхностному. Применим теперь наш метод к расчету кулоновской и ядерной энергий в модели ядра с конечным радиусом действия ядерных сил и учетом диффузности края ядра [4, 5, 8]. Напомним, что потенциальная энергия ядра с точностью до константы, зависящей от выбора начала отсчета, определяется по формуле
Epot = En + 40) BCharp + ABC) + ErBr,
где En — ядерная энергия, eC0) =3Z2e2/(5R0) — кулоновская энергия однородно заряженного сферического ядра с радиусом R0 = r0A1/3, ErBr — вращательная энергия (далее мы ее не рассматриваем).
В нашей предыдущей работе о кулоновской
sharp
энергии ядра с резким краем для величины Bc уже было получено выражение (см. [6], формула (16))
B
sharp
15
64n2R5
(dS • dS')a. (12)
Выпишем теперь кулоновскую поправку, учитывающую диффузность края ядра, и ядерную энергию в виде двойных объемных интегралов согласно определениям, принятым в работе [5]:
(8)
(9)
ABc = -
15
64n2R5
8тг2 R%a3
— + 2
ac
0-a/ac
a
-dVdV',
(13)
a
-2
—а/а
a
-dVdV', (14)
где е3, ас, а — константы, определенные в [5].
Применим наш метод расчета для нахождения подынтегральных функций f (а) в поверхностном интеграле (1) для следующих подынтегральных функций р(а) в объемных интегралах: для ехр(—ка) — экспоненты и ехр(—ка)/а — функции Юкавы.
Мы получаем следующие формулы перехода от двойных объемных к двойным поверхностным интегралам (см. разд. 3). Для функции Юкавы
dVdV'-
16тг 2Rl "Ъж2
a
(15)
j{dS-dS' f
к2
a
C
a
— ка
где введено обозначение к = 1/а. Соответствующая формула для экспоненты:
У с/Ус/У'е-"* = ^з с1Б') х
(16)
а
-(ко + 2)
1 Г 2
— I • ¿в')- -
[(¿Б-¿Б ')е
К'
— ко
к3
а
-(жа + 2).
Используем (7) и проинтегрируем первое слагаемое в правой части (16). Мы сразу получаем константу, аналогичную константе в выражении (15):
32тг 2П1 3 х3
■(х<7 + 2)
dVdV 'е-ко =
-Дг [(¿Б-¿Б О-6
к3
(17)
а
64-/Г2Дд 15
АБс = 2 1
ас
р-о/Ис
дУдУ'-+
а
+ — I г1УдУ'е-а/а%
ас
проведем замену 1/ас = к, и тогда с помощью (15) и (17) правая часть выражения (18) сводится к
2
+ к
1б7Г2Дд
1 • £®')-е
к2
а
+
(19)
^ [^Б- — + 2)
3к3 к3 / а
Упростим (19) и, вернувшись к обозначениям к = = 1/ас, окончательно получим
64п2Е0 Л „ 64п2ЯЗа; ДБС =
2 Е>3„2
15
3
(20)
Г Г р-о/о,с
- ас / (с® • £®')е-<7/°с - 4а2 / (с® • (¿в')-
а
Здесь не получилось упрощения подынтегральной функции по сравнению с функцией исходного объемного интеграла, но нет и усложнения. Кроме того, по сравнению с функциями, приведенными в [5], мы получили менее громоздкое выражение. Однако если провести интегрирование в формуле (20), то получим особенность при а ^ 0 во втором интеграле. Выделим эту особенность, добавим и вычтем единицу от экспоненты, получаем
У («¿в • <гв
1 + 1) =
(21)
= У(с1Б • (ИБ')^(е
1) + у ((Б ■ (б')
а
Подставим теперь (21) в (20) и, используя представление (7), получим для АБс
— формула преобразования для экспоненты.
В выражении (15) подынтегральные функции в обоих интегралах оказались одинаковыми, и преобразование свелось к дополнительному постоянному слагаемому. Для случая (17) ситуация иная, подынтегральная функция усложнилась: добавилась функция Юкавы, а это дает особенность в нуле и требует корректного интегрирования. Заметим, что формулу преобразования для экспоненты (17) можно получить из формулы для потенциала Юка-вы (15) простым дифференцированием по параметру к.
Рассмотрим, наконец, кулоновскую и ядерную энергии. Перепишем выражение для поправки к кулоновской энергии (13) в виде
в,
15 е
а
У ((Б ■ (Б')е-о/ас — (22)
- -1).
Теперь при аналитическом интегрировании во втором интеграле функция конечна при а ^ 0. Более того, если вместо единицы вычитать и прибавлять
еще два члена разложения е-о/ас, то для кулонов-ской энергии можно получить новое выражение.
Учитывая выражения (12) для Б^1^ и (22) для АБс имеем для Бс:
32тг 2П1 : 15
Б
= (Б^ + АБС)
32тг 2П1 15
(23)
= ^ д£')<т + у У • д£')е-а/ас +
<18> +2а2/<«
а
-о/ас
1-- + —
ас 2а2
Здесь мы использовали, что в силу (1) и (3) /((Б ■ ■ (Б') ■ 2ас = 0. В формуле (23) сходимость функции в последнем интеграле при а ^ 0 порядка а2, что увеличивает точность численного интегрирования по сравнению с (22).
Аналогичное рассмотрение можно провести и для ядерной части:
, Р-о/а = 2 / дУдУ'--(24)
8п2Е'2а3
Е,
А2/3
а
1
dVdV 'е-о/а.
Проводим замену 1/а = к и, используя (15) и (17),
получаем
16-/г2Дд
1 • с®О-6
к2
а
(25)
— ко
е
х
1
а
2
новый метод расчета потенциальной энергии
Сравнение расчетных формул, полученных в новом формализме, с формулами из [5]
2097
Новый подход Старый подход
§ §(dS • dS')f(a) j> <f(dS • a)(dS' • a)g(a)
/И 9(°)
15
15ac 1 64^2 Д5 —
647Г2Дд
—4 + е-Ус (yc +4)]
Be
ABc
64тг2сгД^
15
32n2acЩ y4
2у'с - 5 + e~v° ( -yi + Зус + 5
En/ES0)
8n2R20a?
1 1
[2 - e-y" (y2 + 2yn + 2)]
Примечание. В верхней части таблицы приведены общие выражения для рассчитываемых функционалов, в нижней — подынтегральная функц
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.