ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2007, том 102, № 2, с. 199-207
СПЕКТРОСКОПИЯ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ
УДК 539.19
НОВЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ МОЛЕКУЛ В СИЛЬНОМ ИМПУЛЬСНОМ
СВЕТОВОМ ПОЛЕ
© 2007 г. А. В. Штофф, Ю. Ю. Дмитриев
Институт физики Санкт-Петербургского государственного университета, 198904 Петергоф, Санкт-Петербург, Россия E-mail: shtoff@pobox.spbu.ru Поступила в редакцию 12.05.2006 г.
Предложен новый подход к решению нестационарного уравнения Шредингера для квантовой системы, находящейся под действием сильного электромагнитного поля лазера, модулированного по амплитуде и частоте. Подход основан на применении в рамках (t, t')-формализма теории Флоке и аппроксимации ступенчатыми функциями параметров гамильтониана, "медленно" зависящих от времени. Продемонстрирована связь между развитым методом и представлением оператора эволюции в виде Г-упорядоченного произведения операторов, действующих на малых временнЫх интервалах. Предлагаемый метод применен к описанию отклика молекулы LiH на действие импульса излучения и вычислению заселенностей электронных состояний молекулы, возникающих под действием импульса. Проанализирована эволюция заселенностей и динамической восприимчивости молекулы, ее связь с вероятностями ландау-зинеровских переходов между квазиэнергетическими электронными состояниями молекулы.
PACS: 33.80, 31.15
ВВЕДЕНИЕ
Электромагнитное излучение лазера переменной частоты в импульсном режиме привлекает все большее внимание исследователей как средство, позволяющее осуществлять и контролировать разнообразные процессы, связанные с изменением состояний атомно-молекулярной системы. В качестве примера можно упомянуть селективное возбуждение колебательно-вращательных состояний молекул, вынужденные процессы диссоциации и рекомбинации молекул, вынужденное комбинационное рассеяние. Теоретический анализ таких процессов достаточно сложен, поскольку он требует решения нестационарного уравнения Шредингера для систем с многими степенями свободы. Как правило, в этих случаях приходится иметь дело с весьма сильным излучением, частота которого изменяется в области одно- и многофотонных резонансов, что делает невозможным непосредственное применение методов теории возмущений. Эффективным средством решения таких задач является метод Флоке, первоначально предназначенный для строго периодических процессов [1-4]. Впоследствии он был расширен введением двухвременного t')-формализма [5], что дало возможность произвести разделение "быстрого" и "медленного" времени в задачах, где параметры, характеризующие поле излучения, изменяются адиабатически медленно. Такое разделение переменных позволило
развить адиабатическую теорию возмущений и установить предел применимости адиабатического описания отклика атомно-молекулярной системы на воздействие импульсного электромагнитного поля переменной частоты [6]. Одновременно такой подход был использован для анализа переходов Ландау-Зинера между квазиэнергетическими уровнями квантовой системы, процессов переноса заселенности, туннелирования и диссоциации молекул, индуцированных излучением лазера в нано- и пикосекундной областях [6-10]. Параллельно с привлечением адиабатической теории возмущений в ряде задач с модельным потенциалом было произведено прямое численное решение нестационарного уравнения Шредингера с использованием современных численных методов [8, 9]. В [11] показано, что вычисление динамики состояний Флоке, связанной с медленным изменением параметров гамильтониана, полностью эквивалентно решению задачи в квазиклассическом приближении.
В настоящей работе предлагается новый метод приближенного решения нестационарного уравнения Шредингера для молекулы в поле импульса лазерного излучения с переменной частотой, характеризующегося произвольной зависимостью его амплитуды и частоты от времени. Данный подход позволяет проанализировать последовательность неадиабатических переходов в процессе действия импульса и проследить за эво-
люцией заселенностей уровней и поляризации атомно-молекулярной системы. Для иллюстрации представлены результаты применения метода к молекуле гидрида лития и анализу ее отклика на сильное резонансное излучение на границе видимой и ультрафиолетовой областей вблизи частоты первого электронного перехода.
АДИАБАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФЛОКЕ
В качестве квантовой системы рассмотрим молекулу в приближении Борна-Оппенгеймера и будем считать, что произведено разделение электронного, колебательного и вращательного движений. Обращаясь к электронной части задачи, предположим, что молекула находится во внешнем электромагнитном поле, модулированном по амплитуде и частоте, которое можно описывать классически, и запишем гамильтониан взаимодействия молекулы с полем в виде
V(q, t) = -|m(q)F(t)sm(w(t)t), (1)
где m(q) - часть оператора дипольного момента молекулы, зависящая от электронных координат q. Амплитуду поля удобно представить в виде F(t) = F0 f(t), где огибающая импульса f(t) и циклическая частота w(t) зависят от времени адиабатически медленно. Будем предполагать, что функция f (t), равная нулю в начальный момент времени t0, плавно возрастает, достигая в некоторый момент максимального значения, после чего медленно убывает, обращаясь в нуль в момент времени t = t0 + T , где Tp - длительность импульса. Пусть в момент t0 включения поля молекула находилась в состоянии
V(q, to) = exp (-iekto)ф*(q), (2)
представляющем собой одну из собственных функций гамильтониана невозмущенной молекулы H0(q):
Ho(q )фк( q) = (q).
Тогда волновая функция y(q, t), определяющая отклик системы на действие светового импульса, является решением нестационарного уравнения Шредингера
iЭу(q, t)/дt = [Ho(q) + V(q, t)]V(q, t), (3)
удовлетворяющим начальному условию (2). Функция V(q, t) непериодична по времени, и, следовательно, уравнение (3) непосредственно не удовлетворяет условию применимости теоремы Флоке. Однако непериодические параметры m(t) и f (t) изменяются со временем значительно медленнее, чем гармонический множитель sinro0t, что позволяет преобразовать уравнение (3) к виду, удовлетворяющему этому условию. Для этого можно воспользоваться (t, t')-формализмом и об-
щими принципами, лежащими в основе теории адиабатического приближения [12].
Следуя [5], введем функцию ¥(q, t', t), зависящую от "быстрого" (t') и "медленного" (t) времен, являющуюся решением уравнения
i[dW(q, tt)/dt + q, tt)/dt'] = = [Ho(q) + V(q, f, t)Щq, t, t), (4)
где
V(q, tt) = -m(q)F(t)sin(ю(t)t').
Из (4) вытекает, что, поскольку на диагонали t = t', dt'/dt = 1, там справедливо уравнение
iд¥(q, t, t)/дt = = i[д¥(q, t\ t)/дt + д¥(q, t\ t)/дt']] = t = = [Ho(q) + V(q, t)Щq, t, t),
откуда заключаем, что y(q, t) = ¥(q, t, t). Следовательно, для решения исходного уравнения Шредингера достаточно решить уравнение (4) с периодическим потенциалом, в котором "быстрое" и "медленное" времена адиабатически разделены, и взять его решение на диагонали t = t'.
Перепишем уравнение (4) в виде
iдЧ(q, t', t)/дt =
= [-iд/дf + Ho(q) + V(q, f, t)Щq, f, t), ( а)
и будем его трактовать как нестационарное уравнение Шредингера, описывающее эволюцию системы при изменении "медленного" времени t. При таком подходе "быстрое" время t' вместе с координатами q следует рассматривать как совокупность динамических переменных, образующих расширенное по времени гильбертово пространство Ш © т [4]. Опуская для краткости обозначения динамических переменных, запишем последнее уравнение в общем виде
iдx¥( t )/д t = § (t Щ t),
где периодический по времени t' оператор
§(t) = §(q, t', t) = -iд/дt'+ Ho(q) + V(q, t', t)
представляет собой медленно меняющуюся функцию времени t. В соответствии с общими положениями адиабатической теории [12] будем считать, что в каждый момент времени t существуют собственные функции оператора §(t):
§(t)«;. (t) = Ei (t)u1 (t). (5)
В данном случае функциями ui(t) = u¡ (q, t'; t) являются периодические по времени t', параметрически зависящие от времени t квазиэнергетические волновые функции, описывающие состояния Флоке.
Общее решение уравнения Шредингера (4) удобно искать в виде разложения по волновым функциям и, (0 [13]:
¥(д, Л t) = £Л,(t)иг(д, t'; t)ехр -11Ег(т)йт
. (6)
Подстановка (6) в уравнение (4) с учетом (5) и начальных условий позволяет записать уравнение Шредингера в виде интегрального уравнения относительно неизвестных коэффициентов разложения Л():
Лг (t) = Лг (^) +
+
где
£|Л}(^)ехр -¡|ю;г(т)йт
<<д иг|и.»
поля на ход дисперсионной кривой динамической восприимчивости молекулы вблизи однофотон-ного резонанса. В предлагаемой работе такая аппроксимация используется сначала для приближенного представлении решения уравнения Шредингера с помощью оператора эволюции и в дальнейшем непосредственно в процессе решения уравнения.
Разбив время действия импульса Тр на Мр малых участков длительностью т,, определим оператор £ (0, аппроксимирующий гамильтониан £(0,
Мр -1
(7) £(t) = £ [£((к +1 )т,) - £(кт,)]0(t - кт,), (8)
к = 0
где функция 0(^ - t2) определяется следующим образом:
<<Эиг|и.» =
!Г/ диг(д, т; tl) Т1
д t1
и,(д, т; tl)\йт,
0( 11- t2 ) =
Г 0 при t1 < t2 I 1 при t1 > t2,
®ц(т) = Е,(т) - Ег(т),
Т - период поля излучения.
Применяя к уравнению (7) метод последовательных приближений, можно представить его решение в виде бесконечного ряда теории возмущений, который, однако, невозможно просуммировать, поскольку все члены этого ряда вносят одинаковый по порядку величины вклад [14]. Поэтому обычно в конкретных задачах используются иные итерационные схемы [6, 7] либо, если возможно, применяют квазиклассическое приближение [14, 15]. В последнее время, как уже отмечалось, появился ряд работ, где авторы прибегали к прямому численному интегрированию нестационарного уравнения Шредингера с модельным потенциалом.
СТУПЕНЧАТЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
В данной работе мы предлагаем новый подход к решению задачи определения отклика квантовой системы на импульсное поле излучения лазера. Этот подход имеет общий характер и может быть применен к широкому кругу задач теоретического
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.