РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 10, с. 1205-1209
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 621.371.517.519
НОВЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ВОЗБУЖДЕНИЯ ИМПЕДАНСНОЙ ПЛОСКОСТИ © 2004 г. В. В. Черенков, В. С. Черенков, В. И. Гладких
Поступила в редакцию 11.11.2002 г.
Предложены рекуррентные формулы расчета плотности электрического тока на неоднородной импедансной полосе.
1. Рассмотрим бесконечную импедансную плоскость, совпадающую с координатной поверхностью Х0У. Пусть плоскость возбуждается двумерными магнитными токами, ориентированными вдоль оси х.
Пусть на импедансной плоскости распределен сторонний импеданс, величина которого не зависит от координаты х. Требуется найти электромагнитное поле в полупространстве г ^ 0. Строгое решение этой задачи получено для случаев, когда величина импеданса имеет вид ступеньки [1] и когда импеданс равен отношению двух многочленов первой степени [2, 3]. Для произвольного импеданса поставленная задача решается либо приближенными, либо численными методами [4]. При численном решении этой задачи распределение импеданса на плоскости обычно аппроксимируется кусочно-постоянной функцией. При этом задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Порядок системы определяется как необходимой точностью решения, так и структурой импеданса на плоскости (ширина импедансной полосы, скорость изменения импеданса).
В статье получены новые (рекуррентные) формулы решения интегрального уравнения рассматриваемой задачи, которые позволяют построить новые эффективные алгоритмы расчета плотности тока на импедансной плоскости.
2. Плотность электрического тока Д(у), возбужденного на импедансной плоскости, удовлетворяет следующему интегральному уравнению [4]:
Д(у) + 2 |р(у')Д(у')Н02)(к\у - у'1)dy = ^(у), (1)
где к - волновое число, р(у) - нормированный (к волновому сопротивлению свободного пространства) импеданс плоскости Х0У, Е(у) - известная функция, определяемая структурой токов, возбуждающих импедансную плоскость.
Пусть импеданс р(у) не равен нулю на конечном отрезке [0,7]. Разобьем этот отрезок на N
элементарных отрезков длиной Дп. Координату середины каждого отрезка обозначим через уп. Аппроксимируя функцию распределения импеданса кусочно-постоянной функцией, запишем ее в следующем виде:
Р( У) = Хр«1«( У)'
(2)
п = 1
где
f 1, У е A« ln(y) = \ , n = 1, 2,..., N,
10, У г An
P« = Р(Уп), П = 1, 2, ..., N.
(3)
(4)
При численном определении плотности тока Д(у) необходимо вычислить его значения при у = = у„ (п = 1, 2, ...,
Запишем уравнение (1) в следующем виде:
J (У) + H
Хр«1«(У) J (У)
I = 1
= F( У),
(5)
где оператор H определяется равенством
H [ J (У)] = 2 J J (У') н02)( к\У - У'|) dy.
(6)
Ради простоты будем считать, что длины всех элементарных отрезков равны. В этом случае An = A = Т/N, а Уп = A(« + 0.5), п = 1, 2, ..., N.
Пусть число N таково, что функция J^) в пределах элементарных отрезков мало меняется. В этом случае уравнение (5) можно записать в виде
J (У) +
Xpnhn ( У ) J ( Уп )
-n = 1
= F( У),
(7)
N
N
T
0
N
1206 где
ЧЕРЕНКОВ и др. где
(8)
яА
К(У) = Н[!„(у)] = 2 | н02)(к|у - у|)¿у',
(я -1)А
я = 1, 2, ...,
Положим в уравнении (7) у = уш, тогда получаем известную систему алгебраических уравнений, которая обычно используется при численном решении уравнения (1) [4]. Эта система имеет вид
N
1(ут) + Хр я-1 (уя) К(ут) = р(ут),
я = 1
т = 1, 2, ..., N.
-я(у) + н
Х Рт1т ( у ) -я (у )
т = 1
я = 1, 2, ..., N.
= Р( у),
где
т=1
(15)
Ая-11я (у) + ря-я (уя) К (у) = р (у),
я = 1, 2, ..., N. Подействуем на (15) оператором [Ая - 1]-1 и уч
тем равенство (13), тогда
-я( у) + ря-я( уя) /я-1( я; у) = -я-1( у ^
я = 1, 2, ..., N,
/я-1 (я; у) = [Ая-1 ]-1 [Ня(у)], я = 1, 2, ..., N. (17) Положим в уравнении (16) у = уя, тогда
1я -1 ( у я )
1я ( у я ) =
1 + ря/я-1( я; уя У
(18)
Подставляя соотношение (18) в уравнение (16), получаем формулу вида
(9)
-я( у) = -я-1(у) -
Ря1я-1(уя) Г ( )
1 + Р я/я - 1 ( я;уя)/я 1 (я ;у), (19)
3. Рассмотрим систему уравнений следующего вида:
(10)
Из сравнения уравнений (5) и (10) следует, что решение уравнения (5) совпадает с решением уравнения (10) при я = N, т.е. -(у) = -(у).
Запишем систему (10) в следующей форме:
Ая-я(у) = Р(у), я = 1, 2, ..., N. (11)
Ая = I + н Хрт1т(у), я = 1, 2, ..., N, (12)
я = 1, 2, ..., N,
Пусть функции /я _ 1(я; у) нам известны. В этом случае формула (19) является рекуррентной для нахождения решения уравнения (1).
4. Найдем выражения для функций /я _ х(я; у). Для этого рассмотрим следующие уравнения
Ая-1 [/я-1 (V; у)] = ЛУ(у), я = 1, 2, ..., N-1, (20)
где величина V может принимать любые целочисленные значения.
Из сравнения формул (17) и (20) видно, что функция /я _ 1(я; у) является решением уравнения (20) при V = я. Уравнение (20) подобно уравнению (11). Используя этот факт и формулу (19), получаем, что
где I - единичный оператор.
Решение (11) формально можно записать в виде
-я(у) = [Ая]-1 {Р(у)}, я = 1, 2, ..., N, (13)
где [А„]-1 - оператор, обратный оператору Ап. Представим уравнение (11) в виде
Ая-11я (у) + РяН [ 1я (у) 1я (у)] = Р (у),
я = 1, 2, ..., N.
Учитывая (8) и тот факт, что функция /я(у) в пределах элементарных отрезков практически не меняется, последнее уравнение можно записать в следующем виде
/я^; у) = /я-1 ^; у) -
ря/я-1^; уя)
1 + ря/я-1(я; уя)
я = 1, 2, ..., N-1.
/я-1( я; у),
(21)
(14)
(16)
Отметим, что формула (21), как и формула (19), является рекуррентной для нахождения функций /„(■V; у) по заданной функции/ (V; у).
Очевидно, что формулы (19) и (21) имеют смысл только в том случае, когда величина [1 + + р^ - 1(я; уя)] отлична от нуля. Покажем, что эта величина отлична от нуля, если распределение импеданса в уравнении (1) удовлетворяет условию физической реализуемости, т.е. если Ке[р(у)] > 0.
При выполнении условия физической реализуемости уравнение (1) имеет единственное решение [4]. Отсюда следует, что и уравнения (20) при любых значениях я и V имеют единственные решения, а значит, равенство (17) имеет смысл. Для
я
я
функций fn _ 1(n; y) имеет место соотношение, аналогичное соотношению (16):
fn (n ;y ) + pnfn( n;yn ) fn-i (n ;y ) = fn-1 (n ;y ). n = 1, 2, ..., n.
Положим в последнем равенстве y = yn, тогда
fn( n; y)[ 1 + pnfn-i( n; Уп )] = fn-i( n ; УП ).
n = 1, 2, ..., n.
Допустим, что [1 + Pnfn - i(n; yn)] = 0, тогда из последней формулы следует, что fn _ 1(n; yn) = 0. Но если fn _ i(n; yn) = 0, то [1 + pf _ i(n; yn)] = 1. Имеем противоречие. Отсюда следует, что величина [1 + pnfn _ 1(n; yn)] не равна нулю, что и требовалось доказать.
Из изложенного следует, что если известны функции J0(y) иf0(v; y), то формулы (19) и (21) позволяют последовательно найти функции Jn(y), n = = 1, 2, ..., N. При этом функция JN(y) будет решением уравнения (1). Рассмотрим соотношения (11) и (20) при n = 0. Учитывая, что при n = 0 оператор An является единичным, получаем равенства
J0(y) = F(y), f0(v; y) = hv(y).
(22) (23)
Таким образом, формулы (19) и (21) (совместно с формулами (22) и (23)) являются рекуррентными для нахождения решения интегрального уравнения (1). При этом на первом шаге (вычисление функции У1(у)) решается уравнение (1), в котором заданный импеданс аппроксимируется функцией рх/х(у). На втором шаге импеданс аппроксимируется суммой функций р^Су) и р2/2(у) и так далее. Вычисление заканчивается на ^м шаге, на котором находится искомая функция -(у), которая, как уже отмечалось, является решением уравнения (1). Нетрудно видеть, что при этом решение уравнения (1) представляется в виде ряда по функциям Ня(у), я = 1, 2, ..., N.
В качестве примера использования рекуррентных формул найдем явное выражение для функции Jх(y). Подставляя (23) в (21), получаем, что
f 1 (v; У ) = hv( y ) -
P1hv(y 1) 1 + P 1 h 1 ( У 1)
h1( y ).
Подставим теперь (22) и последнюю формулу (при v = 1) в (19), тогда
Т ( ) EV ) P1F(У1) 7 ( )
1(y) = F(y) -1 + p 1 h1 ( У1 )h1(y).
(24)
5. Рассмотрим некоторые особенности рекуррентных формул.
Использование рекуррентных формул (19) и (21) для численного решения уравнения (1) имеет следующее очевидное преимущество по сравнению с методом, при котором уравнение (1) реша-
ется путем сведения его к системе (9). Это преимущество заключается в том, что при использовании рекуррентных формул уравнение (1) в принципе может быть решено при любой (сколь угодно большой) ширине импедансной полосы. При этом можно отметить следующее. Пусть уравнение (1) решено для импеданса р1(у), заданного на отрезке [0, Т]. Обозначим это решение через -Ту). Требуется найти решение -(у) уравнения (1) для отрезка [0, Т + Т1] с импедансом р1(у) на отрезке [0, Т] и импедансом р2(у) на отрезке [Т, Т1]. Нетрудно видеть, что в этом случае рекуррентный процесс можно значительно сократить, так как его можно начинать, используя уже найденную функцию -Т(у). Это, в свою очередь, приведет к уменьшению времени вычислений.
Структура формул (19) и (21) одинакова. В эти формулы входят функции
ря /я - 1 (я ; у ) 1 + р я/я-1 ( я; уя),
которые не зависят от правой части уравнения (1). Допустим, что уравнение (1) решено при возбуждении полосы заданными сторонними токами. При этом указанные функции также определены. Отметим, что эти функции можно в принципе рассчитать заранее (для различных распределений импеданса) и внести в базу данных. В этом случае решение уравнения (1) при других сторонних токах можно получить только с помощью формулы (21), что значительно сократит время и точность вычислений. Это свойство позволяет численно реализовать различные задачи оптимизации как по распределению импеданса, так и по распределению сторонних источников.
Из методики получения рекуррентных формул видно, что в них можно менять порядок следования величин ря. Например, на первых двух шагах можно зафиксировать начальную и конечную точки отрезка, на котором задан импеданс, затем середину отрезка, а затем промежуточные точки. В дальнейшем такой метод расчета будем называть модифицированным методом. Применение модифицированного метода поз
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.