ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 6, с. 1007-1014
УДК 519.634
НОВЫЙ МЕТОД УСКОРЕНИЯ СХОДИМОСТИ ВНЕШНИХ ИТЕРАЦИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ РЕАКТОРНЫХ ЗАДАЧ
ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ КОЭФФИЦИЕНТА РАЗМНОЖЕНИЯ1-*
© 2007 г. Г. И. Курченкова*, В. И. Лебедев**
(* 123182 Москва, пл. Курчатова, 1, РНЦ Курчатовский ин-т;
** 119992 Москва, ул. Губкина, 8, ИВМ РАН) e-mail: lebedev@inm .ras.ru Поступила в редакцию 22.12.2006 г.
Для ускорения внешних итераций предложен новый циклический итерационный метод с переменными параметрами для ускорения итераций по нахождению Кэфф в многогрупповых задачах, основанный на применении специальных, учитывающих специфику задач экстремальных многочленов, отличных от многочленов Чебышёва. Для ускорения сходимости по Кэфф предложено использовать три ортогональных функционала, по значениям которых определяются сразу три максимальных собственных значения. Метод был внедрен в программы нейтронно-физических расчетов реакторов ВВЭР. Библ. 11. Фиг. 3.
Ключевые слова: многогрупповое диффузионное приближение, ускорение внешних итераций на ^эфф, экстремальные многочлены специального вида, итерационные параметры.
ВВЕДЕНИЕ
Основным и наиболее трудоемким классом задач при нейтронно-физических расчетах реактора являются многогрупповые задачи по определению коэффициента размножения Кэфф и соответствующего ему поля нейтронов. Математически задача сводится к решению частичной проблемы на собственные значения по нахождению максимального собственного значения (Кэфф).
Трудоемкость решения подобных задач связана с их трехмерностью, большим числом групп нейтронов, наличием групп термализации и особенно близостью друг к другу двух старших собственных значений, которая наблюдается при расчетах реактора больших размеров.
В данной работе для ускорения внешних итераций предложен новый циклический итерационный метод с переменными параметрами для ускорения итераций по нахождению Кэфф в многогрупповых задачах, основанный на применении специальных, учитывающих специфику задач, экстремальных многочленов, отличных от многочленов Чебышёва.
Для ускорения сходимости предложено использовать три ортогональных функционала, по значениям которых определяются сразу три максимальных собственных значения.
Метод был успешно внедрен в виде программы для нейтронно-физических расчетов реакторов ВВЭР.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД ЕЕ РЕШЕНИЯ
Многогрупповую, содержащую g групп систему разностных диффузионных уравнений для определения групповых потоков нейтронов Ф = (Фх, ..., Ф^ и Кэфф, запишем в виде
ЬФ = ЯФ, (1.1)
K эфф
где ЬФ - многогрупповой оператор, состоящий из разностных операторов диффузии, поглощения и групповых переходов: U = ЯФ; U = (U1, ..., Un) - оператор источника деления, % = (%1, ..., х) -спектр нейтронов деления, n - число точек сетки, в которых ищется решение, а Фi = (Фя, ..., Oin), i = 1, 2, ..., g.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-01-00582) и по программе РАН "Современные проблемы теоретической математики" (оптимальные алгоритмы решения задач математической физики).
Уравнение (1.1) на определение собственных значений преобразуем к стандартному виду
Аи = X и, (1.2)
где А = 5Ь-1%. Пусть = Хх > Х2 > ... > Хп > 0 - неотрицательные собственные значения оператора А , фь ..., фп - соответствующие им собственные функции, образующие базис в пространстве Заметим, что при наличии отражателя и поглощающих областей в реакторе оператор Б, а следовательно, и оператор Ж1 будут вырожденными, имеющими ядро достаточно большой размерности (ему соответствуют X = 0 большой кратности, равной произведению g на число точек сетки, попавших в эти области).
Задача состоит в определении собственной пары (Хь фх) (тогда ^эфф = Хх). Будем считать, что фх > 0. Пусть
п
и = X и,Ро(/), Ро(/)> 0.
г = 1
Для нахождения (Хх, фх) рассмотрим следующий циклический (с периодом N итерационный метод с переменными параметрами (вк+К = вк).
По начальному приближению и0 = (и1, ..., и), и0 > 0, получаем
п
и = а?ф1 + а°ф2 + фз + Xа фi, (1.3)
г = 4
где а°° Ф 0; следующие приближения
п
и = а1ф1 + ак2 ф2 + а3 фз + X ак фi (1.4)
г = 4
находим по формулам
Vе = Аик-1-вкик-1, ик = , (1.5)
где
п
V = Х(Х - вк)ак-1 фг к = 1, 2, ..., N. (1.6)
г = 1
Тогда без учета промежуточных нормировок приближений получаем
иК = X Рк(Х ) а0 фг
N4
г = 1
X РК(Хг)а0 ф,
N
г = 1
(1.7)
где
N
Рк (X) = П(Х - вг ) . (1.8)
1 = 1
Эти итерации назовем внешними. Предполагаем, что оператор Ь-1 находится достаточно точно (включая и группы термализации) некоторым итерационным методом (внутренними итерациями).
п
п
2. ВЫБОР МНОГОЧЛЕНА РдД)
Для ускорения сходимости итераций при решении частичной проблемы на собственные значения эффективно использование параметров многочленов Чебышёва I рода Т^) (см. [1], [2]). Однако рассматриваемая задача имеет свою специфику.
1. Многомерное инвариантное подпространство N(0) собственных векторов, соответствующих нулевому собственному значению, является предельной точкой спектра. Размерность N(0) не меньше, чем gm, где т - число точек сетки, в которых отсутствует источник деления.
2. Оператор БЬ- есть аппроксимация соответствующего компактного оператора дифференциальной задачи. Поэтому в разложениях (1.3), (1.4) существенная доля слагаемых соответствует малым собственным значениям.
3. Оператор Ь-1 образуется не точно, а с помощью внутренних итераций. Из-за этого оператор перехода в реальных расчетах может иметь малые по модулю комплексные собственные значения.
4. Ошибки округления в итерационных приближениях порождают новые составляющие в ^0)-подпространстве.
5. Коэффициенты уравнения (1.1) могут зависеть от Ф, что приведет к изменению (Х, фг) и собственного подпространства N(0).
Поэтому для эффективного учета перечисленных особенностей в итерационном методе целесообразно время от времени употреблять простую итерацию (при = 0), подавляющую все ошибки в подпространстве N(0). Остальные параметры многочлена РДХ) надо выбрать такими, чтобы многочлен Ры- х(Х) наименее отклонялся от нуля на [0,М], где 0 < М < Хх, а РДХ) = ХР^_ х(Х).
Сделаем замену переменной г = 1 - 2Х/М, переводящую отрезок [0, М] в отрезок [-1, 1], точку Х = 0 в г = 1, а М в г = -1. Введем обозначения 5 = М/Хх, = 1 - 2Х/М; тогда 5 < 1 и ¿х = 1 - 2Хх/М < -1.
Пусть
N-2
ч2
Qn -1 (z) = (z -1 )2 П( z - z) (2.1)
i = 2
есть многочлен степени N - 1, наименее отклоняющийся от нуля на отрезке [-1, 1], имеющий двойной корень z = 1 и остальные корни z, i = 2, N- 2. Корни zt могут быть сосчитаны методом, разработанным в [3]-[5], по программе KLM-10.
Если z = cos0, 0 < Re 0 < п, то многочлен QN - 1(z) имеет вид
Qn-1 (z) = En cos [(N -3 )0 + ^ (0)], (2.2)
где - фазовая функция. Тогда многочлен
Qn (z) = (1- z) Qn -1 (z) (2.3)
имеет линейно сходящиеся к нулю максимумы модуля при z —► 1 (см. фиг. 3). Положим
Pn (X) = X Qn-! (1-2M) • (2.4)
Это будет многочлен, генерирующий три простые итерации. При N = 30 график Q29(z) (см. (2.2)) с точностью до множителя приведен на фиг. 1, график функции y30(arccos z) изображен на фиг. 2, нормированный единицей многочлен Q30(z) (см. (2.3)) приведен на фиг. 3.
Наилучшая сходимость итераций будет при M = X2, 5 = X2/X1. Оценим при этом условии уменьшение отношений sN = | aN/aN | в (1.4) при к = N по сравнению с s0 = | a0/a°11 в (1.3), здесь i = 2, 3, ..., n. Имеем
Л „ Л ^ , , 1 ^
N
Si =
XP- 1 ( X i ) 0 s= Xi Q n - 1 ( ti) s0 <X en
X 1 pn - 1 (X1 ) i X1 Qn - 1 ( t1 ) si X1 Qn - 1 ( t1 )
si
Предположим, что X1 близко к X2, тогда t1 будет близко к -1. Оценим QN- 1(z) в окрестности z = -1 или правую часть (2.2) в окрестности 0 = п. Для этого случая в [3], [4] показано, что при больших N функция (см. фиг. 2) такова, что
cos[(N-3)0 + yN(0)]~ cos[(N-3)0 + 20] = TN-1(z),
где TN- 1(z) - многочлен Чебышёва I рода. Тогда, пренебрегая неточностью в этом приближен-
Фиг. 1.
Фиг. 2.
ном равенстве, получаем
Итак, если
N < 5 О
5 = ^ < 1, = ц = (|-1)> 1, а = Ц + ^1 > 1,
то
гр ч 1, N-1 , - N +К N. 2 5 0 ^-1 () = 2 (о + а ) и я < я.
(2.5)
Таким образом, по сравнению со степенным методом, в котором ошибки уменьшаются в геометрической прогрессии со знаменателем 5, в предложенном методе средняя скорость сходимости оценивается величиной
с-1 5 при ^2/^1 ~ 1.
Для расчета реакторов типа ВВЭР было выбрано N = 30. Тогда отношения 530, , = 2, 3, ..., п, уменьшатся по сравнению с более чем в у = 2 5-1(с29) раз. Так, при 5 = 0.97 имеем с = 1.419 и у = 13179, а при 5 = 0.98 верно с = 1.329, у = 1949.
1 - Ъ
Пусть ъ, , = 1, ..., 30, - корни многочлена у30(г) (см. (2.3)), а у, = —у— , 0 < М < Л1.
Перенумеруем корни ъ так, чтобы у1 = у11 = у21 = 0, а остальные 27 значений у, перенумеруем для устойчивости счета алгоритмом, изложенным в [2], [6] при N - 3 = 33.
Тогда многочлен Р30(^) из (2.4) будет иметь корни
в = Му,, , = 1, ..., 30, (2.6)
где у, заданы рядами чисел:
0, 0.5522435, 0.1153057, 0.9415190, 0.7087638, 0.8432142, 0.2391296, 0.3900389, 0.0314653, 0.993384,
0, 0.6058870, 0.1526971, 0.9643438, 0.7567910, 0.8805971, 0.2871593, 0.4436831, 0.0543441, 0.9817008,
0, 0.4979634, 0.0823947, 0.9134939, 0.6582651, 0.8017836, 0.1941332, 0.3376597, 0.0139536, 0.999267.
Здесь у1 = у11 = у21 = 0, т.е. через каждые 10 итераций происходит простая итерация (в1 = рп = в21 = 0). Остальные в, = Му, > 0, и они выбраны так, чтобы многочлены, построенные по первым 10 корням, и многочлены, построенные по первым 20 корням, были почти оптимальными.
Еще раз напомним, что наилучшим выбором М было бы М = А,2, но неизвестно и будет находиться в процессе итераций.
Величину М будем определять по формуле
М = ГЭфф5, (2.7)
где 5 задается в начале итераций (например, 5 = 0.97). Величины Кэфф и 5 уточняются в процессе итераций (см. разд. 4).
В случае недостижения требуемой точности после 30 итераций расчет продолжается циклически с периодом 30 с использованием подправленного значения М.
3. ВЫБОР ТРЕХ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ И НАХОЖДЕНИЕ РЕШЕНИЙ МОМЕНТНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Для приближенного вычисле
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.