ВОДНЫЕ РЕСУРСЫ, 2014, том 41, № 3, с. 325-329
КАЧЕСТВО И ОХРАНА ВОД, ЭКОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ
УДК 551.481+551.482.214+556.18:626/628
НОВЫЙ СПОСОБ ВЫЧИСЛЕНИЯ БПК И СКОРОСТИ БИОХИМИЧЕСКОГО ОКИСЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ МОДИФИЦИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ СТРИТЕРА-ФЕЛПСА1
© 2014 г. А. В. Готовцев
Институт водных проблем РАН 119333 Москва, ул. Губкина, 3 E-mail: gotov44@mail.ru Поступила в редакцию 27.05.2013 г.
Приведено аналитическое решение модифицированной системы уравнений Стритера—Фелпса в отсутствие аэрации водного объема. Подобное решение представляет интерес при расчете динамики биохимического окисления органического вещества в водоеме или речном русле, покрытых льдом. Это же решение может быть применено для описания процессов, происходящих в герметичной колбе, при определении биохимического потребления исследуемой пробы воды за определенный период времени. На основе аналитического решения модифицированной системы уравнений Стритера—Фелпса предложены формулы для вычисления биохимической потребности в кислороде и коэффициента скорости биохимического окисления.
Ключевые слова: математическое моделирование, качество воды, биохимическая потребность в кислороде, биохимическое потребление кислорода, коэффициент скорости биохимического окисления.
DOI: 10.7868/S0321059614030079
Биохимическая потребность в кислороде (БПК) характеризует величину органических веществ (ОВ), содержащихся в единице объема воды, т.е. концентрацию ОВ. БПК — универсальный измеритель степени загрязнения воды смесью ОВ, причем эта смесь может содержать одновременно десятки видов различных ингредиентов. Например, в источниках водоснабжения г. Москвы обнаружено более 120 видов ОВ [7]. Именно поэтому разработка новых, более точных способов определения БПК и скорости биохимического окисления становится особенно актуальной.
До настоящего времени для вычисления БПК и константы неконсервативности рекомендуются (например, в [9]) выведенные на основе классической системы Стритера—Фелпса [10] формулы
,2
БПК = L0 = —X-,
2 Xt — X2 T
k1 = Iln-^, (1)
VT — X2T T X2T — XT
где T — период инкубации пробы воды;
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-06-00002).
L0 - БПК на начальный момент времени (момент изъятия пробы из водного объекта);
k1 — константа неконсервативности (в классической системе Стритера—Фелпса), характеризующая скорость процесса окисления;
XT и X2T — биохимическое потребление кислорода за периоды времени T и 2T соответственно.
Символы XT и X2T, используемые в формульной записи, в тексте обычно записываются в виде аббревиатур БПКт- и БПК27- (в русской транскрипции) или BODT и BOD2T (в английской).
Обратим внимание на принципиальное различие аббревиатур БП^ и БПК (BODT и BOD). Аббревиатура без нижнего индекса обозначает "биохимическую потребность", а с индексом — "биохимическое потребление". Биохимическая потребность не зависит от времени, а потребление — зависит. Именно нижний индекс указывает на продолжительность периода времени, за который проведено измерение биохимического потребления кислорода анализируемой пробы воды. Этот период времени, называемый периодом инкубации, обозначатся числом, помещенным в
нижнем индексе аббревиатуры. Как правило, это число обозначает количество суток, если не оговорена другая размерность. Биохимическое потребление зависит не только от времени (периода инкубации), но и от условий инкубации. Для сравнимости результатов эти условия стандартизированы, а именно: пробу воды помещают в затемненную герметичную склянку (с притертой пробкой) при температуре 20°С на весь период инкубации.
Вывод формул (1), а также возможности их применения в практике мониторинга водных объектов можно найти, например, в [2—4]. В [5] отмечен существенный недостаток классической системы Стритера—Фелпса, обусловленный отсутствием связи между скоростью окисления ОВ и концентрацией растворенного кислорода (РК). Было показано, что классическая система Стритера—Фелпса может приводить к физически некорректным решениям, в которых дефицит РК превышает концентрацию кислородного насыщения (концентрация РК становится отрицательной величиной), что физически невозможно [5]. Для устранения этого недостатка в [5] была предложена "модифицированная система Стритера—Фелпса":
йС йг
йЬ = -кЦ йг
= -кЦ + к2(С, - С),
(2)
к\ = кс
С_ С,
где ? — время; Ь — концентрация растворенного ОВ, выраженная в кислородных единицах (масса РК, которая потребовалась бы для полной нейтрализации содержащейся в единице объема растворенной органики); С, — концентрация РК при 100%-ном насыщении, С — текущая концентрация РК; кс и к2 — константы, характеризующие скорость биохимического окисления и скорость реаэрации соответственно.
Модифицированная система (2) получается из классической системы Стритера—Фелпса [10] добавлением третьего уравнения. Это уравнение отражает гипотезу, состоящую в том, что к1 — не константа, а величина, пропорциональная безразмерной концентрации РК.
В классической системе Стритера—Фелпса решение имеет следующий вид:
Ь(г) = Цв
к
С(г) = (в-к' - в-к2') + с,(1 - в-к2') + Ссв к1 -к2у 1
при к1 Ф к2,
-к2г
С(г) = Ссв~к1 + С,(1 - в~к1) - Ьск1гвпри к1 = к2,
здесь ЦС) = Ьс, С(С) = Сс — начальные условия.
Отсутствие связи между скоростью окисления и концентрацией РК, а именно — третьего уравнения в системе (2), позволяет последовательно интегрировать вначале первое уравнение, а затем второе — после подстановки в него решения первого. Таким образом, недостаток классической системы Стритера—Фелпса оказался одновременно и достоинством, облегчающим получение простого аналитического решения, на основе которого были выведены формулы (1). Однако это "простое решение" имело ограниченную область применения, поскольку в некоторой области параметров, как было показано в [5], оно приводило к физически некорректному результату.
Добавление третьего уравнения усложняет решение системы, в частности при определении БПК и кс. При выводе формул (1) на основе классической системы Стритера—Фелпса требовалось решение только первого уравнения (о втором уравнении можно было временно "забыть"). При добавлении третьего уравнения требуется решать уже всю систему.
Для вывода новых, более совершенных формул по определению БПК и к0, альтернативных формулам (1), необходимо найти решение системы (2) при к2 = С, т.е. в отсутствие аэрации водного объема. Такой режим биохимического окисления органики реализуется в водоеме или речном русле, покрытом льдом, а также в лабораторной колбе с притертой пробкой. При к2 = С система (2) примет следующий вид:
йЬ , т — = -кЬ,
йг
йС = -кЦ йг 1
к1 = кс С.
1 С С,
(3)
Найдем решение системы (3) при начальных условиях
С(С) = С,, Ь(С) = Ь0. (4)
Первое начальное условие соответствует полному насыщению воды РК. Это насыщение, в соответствии с методикой [1], требуется выполнить перед герметизацией колбы с пробой воды, взятой на анализ биохимического потребления. Полное насыщение РК достигается тем, что колбу с водой несколько раз встряхивают, а затем некоторое время ожидают, пока выйдут пузырьки воздуха, иначе возможно перенасыщение объема воды кислородом.
Второе начальное условие выражает равенство начальной концентрации растворенной органики и БПК: Ь(0) = Ь0 = БПК. Величины Ь0 и к0 — априори не известны — они находятся по двум измерениям концентраций РК: С(^) и С(?2). Введем безразмерные переменные
/ = Ь /С, с = С/С, /о = Ьо/С,, Со = Со/С,
хТ = Хт/С5, = Х2Т/С.
В безразмерных переменных система (3) примет следующий вид:
dl , , — = -Ы,
dt
dc , , dt
(6)
k1 = k0c. Поскольку из (6) следует, что
dl _ dc dt dt
то функции I = l(t) и c = c(t) должны различаться лишь аддитивной постоянной а:
l(t) = c(t) + а. (7)
Значение константы а найдем из начальных условий (4) с учетом (5):
а = l0 - 1. (8)
Из соотношений (6)—(8) получим нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:
di dt
= -k0 (( + 1 - 10)l,
решение которого следуюее:
l( t) = ( l0 — 1 } l0 - , при l0 * 1,
l0 — e
(9)
l( t) =
1 + k01
при l0 = 1.
гидрохимических измерения), соответствующие двум различным промежуткам времени: t1 и t2.
С математической точки зрения задача может быть решена при произвольной паре значений t1, t2, однако, как будет показано ниже, для вычислений удобно, когда соотношение этих величин — целое число, не равное единице, например 2. Тогда удобно обозначить: t1 = T, t2 = 2T — и вынести
переменную в нижний индекс: C(t1) = C(T) = CT, C(t 2) = C(2T) = C2T.
Значение БП^ определяется как разность между концентрациями РК в начальный и конечный моменты времени:
БП^ = Xt — C0 CT .
Наиболее используем в практике гидрохимического анализа вод период инкубации Т= 5 сут. Соответствующая этому периоду величина обозначается X5 или БПК5 (в англоязычной литературе BOD5).
К сожалению, в научных статьях по мониторингу водных объектов часто встречается путаница в обозначениях (и понятиях): пишут БПК (BOD), подразумевая БПК5 (BOD5), что совершенно недопустимо и о чем уже неоднократно упоминалось в публикациях [2 — 4].
Биохимическое потребление кислорода за период времени Т и концентрация ОВ на момент времени Т связаны балансовым соотношением БП^ = XT = L0 - LT, из которого с использованием безразмерных переменных (5) получим:
l(t) = It = l0 - Xt .
Составим систему из двух уравнений для нахождения двух неизвестных величин: l0 и k0. С этой целью запишем первое равенство (9) для двух значений xT и x2T:
Вторая искомая функция — безразмерная концентрация РК получается из (7)—(9):
с(1) = ¡(1) + + 1 — ¡0 при любом /0.
Возвращаясь к физической постановке решаемой задачи, цель которой — определить две априори неизвестные величины: Ь0 (начальное значение БПК) и к0, напомним, что именно концентрация РК (С(0) — непосредственно измеряемая величина в гидрохимическом анализе пробы воды.
Очевидно, что для определения неизвестных параметров Ь0 и к0 требуются два значения С(0 (два
(1 — x t) lp = 1 — h)T
l0 — XT
(1 — X2 T) - = 4 1 — 10) 2T l0 — X2T
(10)
Для нахождения значения ¡0 исключим из системы уравнений (10) переменну
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.