ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ .л-. >■-' t -нщ. , ,
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА .1 . <■ : Г w.vify. . i , . .tjt •.„
Том 144,1ft 2 > ада.-:- »а имкн. « 'мкь... ^ .j -к%
август, 2005 . ¡/ >, ;.•.;. у
•г.
'••feWVil-SFB^,^;, -„г. .<•■>>, .Л5
■Mjf;r.v>-> • .-¡¿.л >
©2005 г. К. Конно*, X. Какухата'
НОВЫЙ ТИП РЕШЕНИЙ С РАСТЯЖЕНИЕМ ЛОКАЛЬНОГО ИНДУКЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ, ! ВОЗБУЖДЕННЫХ ПЕРВОНАЧАЛЬНО РАСТЯНУТЫМИ ВИХРЕВЫМИ НИТЯМИ
Решается задача Коши для локального индукционного уравнения; начальные данные представляют собой растянутую вихревую нить. Новый тип решений с растяжением, возникающих при численном моделировании, получен аналитически.
Ключевые слова: локальное индукционное уравнение, вихревые нити, растянутые нити.
. м Х- , _
,. " * " ...... ' 1. ВВЕДЕНИЕ '
Динамика эластичной струны (нити), демонстрирующей растяжение и/или стягивание, является очень интересной задачей. Нерастянутая струна не описывается линейным уравнением, а подчиняется нелинейному уравнению [1]. С другой стороны, растянутая струна также описывается нелинейным уравнением [2], которое обладает интересными уединенными решениями. В своих недавних работах авторы исследовали движение растяжимых струн в трехмерном пространстве с точки зрения того, как ведет себя растянутая струна. В работе [3] был проведен численный анализ движения вихревой нити в случае, когда нить подчиняется локальному индукционному уравнению (ЛИУ) с поправками, порождающими ее растяжение. В работе [4] было рассмотрено интегрируемое уравнение, учитывающее два нелинейных эффекта, растяжение и стягивание. Это уравнение обладает соли тонным решением, имеющим форму растяжимой петли. Было показано, что первопричиной устойчивости солитона является конкуренция двух упомянутых эффектов.
В настоящей работе рассматривается (численно и аналитически) движение растянутых вихревых нитей, описываемых ЛИУ
"' т - '
ь-, rt=r,xrSJ, (1)
'Department of Physics, College of Science and Technology, Nihon University, Tokyo 101-8308, Japan. E-mail: konno@phys.cst.nihon-u.ac.jp
t Toyama University, Toyama 930-8555, Japan
где время, в - параметр вдоль нити и г - радиус-вектор, . •
......... т = (Х,¥,г). (2)
ЛИУ часто переписывают с использованием репера Френе в виде я ^ *
(3)
где Ь - вектор бинормали, к - кривизна. Заметим, что при использовании этого репера касательный вектор должен удовлетворять условию = 1. Однако уравнение (1), как видно, дает = 0, поэтому мы имеем условие
Я : I' . , .'-г: _ "<
, ' г2 = /(в)_ ^ , ^ . ^ , (4)
Следовательно, величина /(в) не обязана быть константой, но может быть функцией переменной в. Если /(в) зависит от в, то (3) не эквивалентно (1).
Нас интересует проблема временной эволюции вихря, движение которого задается ЛИУ (1), в случае, когда в качестве начального условия выбирается локально растянутый вихрь, т.е. |г3| есть функция от е. Одной из причин, побудивших нас провести численное моделирование, является желание исследовать различие между уравнениями (1) и (3). Мы рассматриваем три вида начальных условий: 1) растянутый вихревой солитон в трехмерном пространстве, 2) вихревая нить петлевого типа в двумерном пространстве и 3) вихревая нить кускового типа в двумерном пространстве.
Используя определенное в разделе 2 локальное растяжение, мы наблюдаем следующее. В случае начальных условий первого вида, после того как вихревой солитон удалится на большое расстояние, возникает растянутая нить нового типа, которая создает растяжение в той же области пространства, где оно было локализовано первоначально. В случае начальных условий второго вида вихревая нить петлевого типа вращается без распространения в пространстве, так что растяжение нити с течением времени остается локализованным в одной и той же области. В случае начальных условий третьего вида кусок нити быстро исчезает и вместо нее возникает растянутая нить нового типа, отвечающая первому случаю.
Для того чтобы объяснить результаты численного моделирования, мы ищем некоторый класс решений ЛИУ с помощью метода разделения переменных. Мы получаем зависящее от времени решение, вращающееся в определенной области пространства, а также решение, не зависящее от времени. Последнее решение описывает динамику нити, у шторой координаты X и У в (2) принимают постоянные значения, а величина 2 — 8 имеет форму кинка, что и создает растяжение нити.
Работа организована следующим образом. Во втором разделе определяется локальное растяжение вихревой нити. В разделе 3 представлены результаты численного моделирования. В разделе 4 получены точные решения уравнения (1) с помощью метода разделения переменных. В последнем разделе обсуждаются основные результаты работы.
356 ПЫНЯНЯАЧЧ СПОННО К. КОННО, X. КАКУХАТА ;н 5Ш.Т? ПМТ НЫ« ; -,
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОКАЛЬНОГО РАСТЯЖЕНИЯ
Локальная длина ¿/(в) вихревой нити задается формулой V ей = \/{йХ)2 + (¿Г)2 + .
Используя параметр вдоль нити в, можно переписать последнюю формулу в виде
dl(s) = ^/(Xs)2 + (Ys)2 + (Zs)2ds.
Тогда локальное растяжение 13 определяется формулой
: - п..'KißißU.. .t'Vjk-Ш tüT.^ilV- >■
Au'» !:
П инкl, = ^ = y/{X,)* + (Y.)2 + (Z,)2.
•T>TJi.'
(5)
(6)
(7)
Нить без растяжения отвечает случало = 1, нить с растяжением - случаю 13 > 1, а нить со стягиванием - случаю 13 < 1. Условие (4) предполагает, что существуют растянутые или стянутые вихревые нити.
Как будет видно из дальнейших рассуждений, такая мера локального растяжения дает мощное средство поиска новых мод, в то время как поиск модна основе наблюдения временной эволюции профилей нитей представляет собой очень трудную задачу.
»«'»вимоца лмз • <к«<р «»•£.<*«•. до л! • -. >г<} ооддо-и аэтт'-ь |ЖШ»1 3. ЗАДАЧА КОШИ и : « - и • * N1
3.1. Растянутый вихревой солитон. Введем растянутый вихревой солитон, динамика которого описывается уравнениями
Ai
....... vta» w ...-к. \
Y = -A Al
«ts r;s
X = А 2 2 sin(2fl + S) sch(2e + c), XR + Aj
2 A' ,2 cos(2fl + S) sch(20 + e), "R +
У1 Л-Т.' I
Ai
•j.fa
(8)
f-H l'-rf i-r
Ä^rth(20+e)'
- Sil Щ7М-..„ • • -r.a .er ■! X. 4'i»'. "Г .}->>!- -*t Z = s —
v • и ПчТИЫцЛЛЫ-
где Л - коэффициент, характеризующий растяжение. Если А = 1, то солитон (8) есть просто точное решение уравнения (1) в отсутствие растяжения. Величины П, © и постоянные 5, е задаются следующим образом:
М" ггч UM SHHMC
w-oir'^X п >
П = Ars — U>R<, 0 = Ajs — u>i<, 2ArAi
< sl!>>Ti-' *-l.»r
'<), " У
Är^^F' e=~2ln4Äp
(9)
где со - константа. Волновое число А = Ая + ¿А1 и частота и> = и>я + гш\ связаны дисперсионным соотношением
ы = 2А2. \,г , ^ (10)
ч} И .Р'мг»; -I -..•*< ¡ги
Локальное растяжение дается выражением
. wj.is-'ut vi mm-.»-, t н:
А?
sch (20 + е) - 2 г 2 sch (20 + е) Ar + Aj
(П)
НО)
Рис.1.
растяну
Если А = 1 жение, а пр Вычисл< На рис. 1 п] моменты В1 изначальнс тяжения ос робный ана натХ,Г,2 того как ви буждение \ форму кит от времени А = 1.2.
3.2. Ви;
двумерную
Коэффицие
нием
г
ЖЕНИЯ
(5)
формулу в виде
(6)
(V)
;м - случаю ls > 1, а что существуют рас-
сального растяжения ta основе наблюдения эудную задачу.
ихревои солитон, ди-
(8)
, то солитон (8) есть Зеличины П, 0 и по-
<•• v
О)
ц + tLJi связаны дис-
2© + е)
(10)
(П)
,1 - Л -
0.5
1.5
I, '
-ЯГ
"То
1.5
/
-10
10
1.5
I.
-10
10
Л'.!
Рис.1. Временная эволюция (слева) и соответствующее локальное растяжение (справа) растянутого вихревого солитона в моменты времени t = 0, б, 12 при А = 0.8 и А = 1.5 + г.
Если А — 1, то растяжение отсутствует, при А > 1 в (8) имеет место локальное растяжение, а при А < 1 - стягивание.
Вычисления производились для трех значений Л = 1,0.8,1.2при Л = 1.5-И и со = 1. На рис. 1 представлены профили и соответствующие локальные растяжения вихрей в моменты времени t = 0,6,12 для случая А - 0.8. Мы видим, что если вихревая нить изначально растянута, то вихревой солитон движется вдоль луча, однако область растяжения остается на одном и том же месте, как "замороженная". Чтобы провести подробный анализ растяжения нити, на рис. 2 представлено поведение каждой из ее координат X, Y, Z около точки s = 0 в случае А — 0.8 при больших временах. Видно, что после того как вихревой солитон покинул рассматриваемую область, можно наблюдать возбуждение моды с постоянными значениями координат X, Y и величиной Z — s, имеющей форму кинка в области первоначальной локализации растяжения. Этот не зависящий от времени кинк создает растяжение нити. Сходная ситуация имеет место и в случае Л = 1.2.
3.2. Вихревая нить петлевого типа. В качестве начальных условий рассмотрим двумерную вихревую нить петлевого типа
л: = о,
Y — A sch ks, Z = s - th ks.
l? О ■
(12)
Коэффициент А задает параметр растяжения. Локальное растяжение дается выражением
I2 = 1 +{А2к2-2к)5сЪ2 кв-к2{А2-1)5сЪ4 кз. (13)
358 ' <Ь!?/ ? •' ОЧ К. КОННО, X. КАКУХАТА
Рис.2. Временная эволюция растянутого вихревого солитона в области — 20 < з < 20 в моменты времени Ь — 6,18,30 при А = 0.8.
/
I,
1.5
-20
1.5.
20-1.5 1.5 X
1.5 V
■Г(г
1. 5|
;-20 20
-1.5 1.5 X
-10
1.5 V
2-20 20
1.5|
I..
1.5 1.5 X
-10
10
10
10
Рис.3. Временная эволюция (слева), вид сверху (в центре) и локальное растяжение (справа) вихря петлевого типа в моменты времени Ь = 0,6,12 при А = 0.8 и к = 2.
Вычисления производились при А = 0.8,1.2 и к = 2; на рис. 3 представлены результаты для случая А = 0.8. В обоих случаях петля вращается в определенной области пространства с постоянной угловой скоростью как "пришпиленная", так что область растяжения неподвижна ("заморожена") в пространстве. Вид сверху показывает, что форма петли в случае А = 0.8 не испытывает деформаций.
3.3. Вихревая нить кускового типа. Двумерная вихревая нить кускового типа задается следующим образом:
X = 0,
Г = АзсЬЬ, (14)
£ = е.
Локальное растяжение дается выражением " * .
12а = 1 + &2А28сЬ2ЬШ2Ь. "" (15)
На рис.4 представлены результаты численного моделирования для случая А — 1, к — 2. С течением времени кусковая часть нити становится малой и наблюдается испускание малых вращающихся волн, которые распространяются в обоих направлениях. Отметим, что направления вращени
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.