МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2013
УДК 534.44
© 2013 г. Г. М. РОЗЕНБЛАТ О БЕЗОТРЫВНЫХ ДВИЖЕНИЯХ ВОЛЧКА НА ГЛАДКОЙ ПЛОСКОСТИ
В статье рассматривается задача о безотрывных движениях тяжелого волчка (динамически и геометрически симметричного твердого тела) на гладкой горизонтальной плоскости. В случае, когда поверхность волчка является шаровой (волчок Томсона), приведены необходимые и достаточные условия для параметров, начальных положений и скоростей тела, при которых его движение является все время безотрывным. Эти условия представлены явными аналитическими формулами, пригодными для практического использования.
Ключевые слова: волчок Томсона, гладкая плоскость, условия отрыва.
1. Уравнения движения и постановка задачи. Рассмотрим движение динамически и геометрически симметричного твердого тела по гладкой горизонтальной плоскости в поле силы тяжести. Тело ограничено выпуклой поверхностью вращения, ось симметрии которой совпадает с осью его динамической симметрии, а центр тяжести О тела лежит на этой оси.
Пусть Охуг — неподвижная система координат, причем ось Ог направлена по вертикали, против силы тяжести, а плоскость Оху совпадает с опорной. Введем систему координат О С, жестко связанную с телом, начало которой совпадает с центром тяжести тела, а оси направлены по его главным осям инерции, причем ось О £ направлена по оси симметрии. Положение тела определяется тремя координатами х, у, г его центра тяжести О и тремя углами Эйлера 0, ф, у, где 0 — угол нутации (угол между осью симметрии О С и вертикалью Ог), ф — угол собственного вращения, у — угол прецессии. В силу симметрии координата г, представляющая собой расстояние от центра тяжести О до опорной плоскости Оху, является функцией только угла 0:
г = /(0) (1.1)
которую будем считать известной. Уравнение (1.1) представляет собой голономную (одностороннюю, в случае знака неравенства) связь в данной задаче. Таким образом, в случае безотрывного движения тела его положение (конфигурация) определяется пятью обобщенными координатами {х, у, 0, ф, у} и связью (1.1). Начальными условиями при изучении движения является набор:
{х(0), у(0), 0(0), ф(0), у(0), х(0), у(0), 0(0), ф(0), у(0)}
Внешними силами, приложенными к телу во время его безотрывного движения по плоскости, являются: сила тяжести mg, направленная вертикально вниз и приложенная в его центре тяжести О; сила нормальной реакции Ж, направленная вертикально вверх и приложенная в точке контакта тела с опорной плоскостью. Поэтому, полагая в дальнейшем т = 1 для массы тела, имеем следующее уравнение для движения центра масс по вертикали:
z = N - g
Отсюда, учитывая (1.1), получим для силы нормальной реакции N: N = g + f ,,(9)(é)2 + 0/2)/ ,(0)[(0 )2]' (1.2)
где штрихом обозначается дифференцирование по 0.
Следуя [1], запишем функцию Лагранжа в данном случае:
L = 2[(х)2 + (У)2 + (A + f ,2)(é)2 + A(vj/)2 sin2 9 + C(p+ v¡/ cos 9)2] - gf (1.3)
где A = B — главные центральные моменты инерции тела относительно осей G G п; C — главный центральный момент инерции тела относительно оси G Z. Из (1.3) следует, что x, у, ф, у — циклические координаты, т.е. имеем следующие четыре интеграла:
2
x = Рх, У = Ру, Aifsin 9 + C(p + icos9)cos9 = pi, C(p + icos9) = p2 (1.4)
где px, py, pi, p2 — константы, определяемые начальными условиями. Без ограничения общности можно предполагать, что px = py = 0, т.е. центр тяжести G движется только по вертикали. Кроме того, в данном случае имеется еще пятый интеграл — интеграл энергии, который имеет вид:
pxX + pyj + pi¥ + p2<p + (5L/59)9 - L = H (1.5)
где H — константа полной механической энергии. Интеграл (1.5), с учетом (1.4) и высказанных предположений относительно px, py, приводится к такому виду:
1 (A + f '2)02 + g + pÍ + (pi - p2 c.os 9)2 = H (1.6)
2 2C A sin2 9
Из (1.6) находим следующее уравнение для функции 0:
92 = 2hi - 2gf - f(u), P(u) = (pi - p2u)2, u = cos9, h1 = H-p2 = const (1.7)
A + (f f A(i - u2) 2C
Отметим, что константа h1 в соотношении (1.7) определяется равенством
2 ■ 2 ■ ■ 2hi = (A + [f (00)21)00 + P(Uo) + 2gf(0o), 0o = 0(0), 0o = 0(0), Uo = cos0o (1.8)
Область возможных движений по углу 0 определяется неравенством
2gf(9) + P(u) - 2hi < 0 (1.9)
где h1 дается формулой (1.8).
Таким образом, для изучения безотрывного движения тела необходимо задать начальные условия для величин 0,0, ф, у:
{0(0), 0(0), ф (0), у(0)} (1.10)
по которым определяются, в соответствии с (1.4) и (1.8), константы (параметры) pi, p2, hi, а затем уже решать дифференциальное уравнение (1.7) в области возможных движений (1.9). Пользуясь тем, что параметры ф(0), vj/ (0) линейно и однозначно (при 9(0) ^ 0, п) выражаются через параметры pi, p2, можно вместо набора начальных значений для величин (1.10) использовать такой набор начальных условий:
{0(0), 0(0), pi, p2} (LU)
В работе решается следующая задача. Найти все такие наборы начальных условий (1.11) (или же (1.10)), чтобы при всех 0, удовлетворяющих неравенству (1.9) (т.е. из области возможных движений), нормальная реакция, определяемая уравнениями (1.2) и (1.7), являлась неотрицательной величиной. Решение этой задачи определяет область безотрывных движений в пространстве параметров (1.11) (или же, соответственно, (1.10)).
Замечание 1. Явное интегрирование уравнений движения тяжелого симметричного волчка на гладкой горизонтальной плоскости восходит к С.Д. Пуассону, А. Курно, В. Пю-изье и Ф. Клейну. Подробный библиографический список этих работ приведен в [1].
Замечание 2. Задача об определении области параметров безотрывных движений волчка рассматривалась в статье [2] для некоторых частных случаев задания начальных условий.
Замечание 3. Отметим, что начальные условия (1.10) (или же (1.11)) являются "наблюдаемыми", в отличие от задания в качестве начального условия константы полной механической энергии H, которая, вообще говоря, трудно "наблюдаема" в реальных условиях. Обсуждение этих вопросов содержится в [3].
Формулировка результата для сферического волчка. Аналитические результаты в решении поставленной в п.1 задачи удается получить для сферического тела (волчок Томсона или "тип-топ"). В этом случае, следуя [1], имеем
f (0) = R - dcos0, f '(0) = dsin0, f "(0) = dcos0
где R — радиус сферической поверхности волчка, d — расстояние от центра тяжести G до геометрического центра сферической поверхности волчка. Для упрощения записи дальнейших выкладок введем безразмерные время и параметры по формулам
т = tjg/d, 2hi = 2hi /(gd), p = p^d^gd), p2 = p2(d^gd)
C = C / d2, A = A/d2, R = R/d
(2.1)
Далее верхнюю черту будем опускать, а дифференцирование по т также обозначать точкой. Тогда формула (1.7) принимает вид
е2 =2h +2u - P2(u), u = cos е, P{u) =(pi-
A + 1 - u2 A(1 - u2)
где h = h1 - R = const определяется формулой
2 * 2
2h = (A +1 - u0)9o + P(u0) - 2u0, u0 = cos 9o Область возможного движения (1.9) дается неравенством ¥(u) = P (u) - 2u - 2h < 0, u = cos 0e [-1,1]
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Вычислим нормальную реакцию N используя (1.2) и (2.2). Имеем из (1.2) в данном случае:
(2.5)
N = i + uQ2 -1(1 - u2)* 2 du
Из (2.2) получим
d(8)2 2du
1 -
(Pi - P2u)(upi - P2) A(1 - u 2)2 ,
2h + 2u - fo - p2u A(1 - u 2)
5 = A + 1-u2 > 0
Подставляя в (2.5) и используя выражение для 0 из (2.2), находим N = S"V(A2 - P1P2) + u[2hA2 + P12 + (1 + A)p22] + (A + 1)(A2 - pp)}
Таким образом, неотрицательность нормальной реакции N обеспечивается неравенством
2
Ф(и) = а2и + аи + а0 > 0 (2.6)
ао = (А + 1)(А2 - р\Р2), а1 = 2НА2 + р2 + (1 + А)Р2; а2 = А2 - РР Основной результат содержится в следующей теореме.
Теорема. Для безотрывного движения сферического волчка при начальных условиях (1.11) необходимо и достаточно соблюдение следующего неравенства:
¥(и*) > 0 (2.7)
где ¥(и) дается формулой из (2.4), а и* е [-1,1] — формулой
Р2 + Р2 -"^/А . , 2 2Ч2 . Л п оч
и* 1 /2-, А = (Р1 - Р2) + 4А > 0 (2.8)
2( А + Р1Р2)
Явное выражение условия (2.7) имеет вид
■ 2 2 I— 2
(А +1 - ио2) 90 + Р(щ) - 2ио < Р1- Р2 + + 4(А -2Р1Р21 (2.9)
2А Р2 + Р22 + >/А
где Р (и) определяется из (2.2), а А — из (2.8).
Доказательство сформулированной теоремы приведено далее в работе. Пример. Положим 90 = 0, и0 = 0 (90 = ±п/2). Тогда неравенство (2.9) принимает вид
2(А2 - Р1 Р2)(А2 + 2А + Р1Р2) > 0 (2 10)
А(Р12 + Р22 + л/Л) '
В силу положительности знаменателя дроби неравенство (2.10) эквивалентно следующему двойному неравенству
-(А2 + 2А) < Р1Р2 < А2
Таким образом, область безотрывных движений в пространстве параметров (Р1,Р2) ограничена двумя гиперболами: рр = рр = —(^2 + 2^). Вне второй гиперболы отрыв происходит не в начальный момент, а вне первой — в начальный момент (нормальная реакция становится отрицательной уже в начальный момент времени).
Если 00 = 0, и0 Ф 0, то, как нетрудно показать, неравенство (2.9) приводит к результату, полученному для этого случая в статье [2].
Из формул (2.1) следует, что при 1 ^ 0 (центр тяжести совпадает с геометрическим центром волчка) неравенство (2.9) выполнено заведомо при любых начальных условиях.
3. Обоснование результата. Доказательству теоремы предпошлем следующие три леммы.
Лемма 1. Пусть Р1 ф Р2 и функция ^(и) задается формулой из (2.3). Тогда график функции ^(и) является выпуклым книзу и справедливы следующие утверждения.
2
1) Если 2НЛ > Р1, то уравнение ^(и) = 0 имеет на отрезке [—1, 1] два корня щ < 0, «2 > 0, и область возможных движений задается неравенствами щ < и < и2.
2
2) Если 2кЛ < Р1, то уравнение ^(«) = 0 имеет на отрезке [—1, 1] два корня щ < щ, и область возможных движений задается неравенствами: 0 < «1 < « < «2 < 1 при и0 > 0 или-1 < и1 < и < и2 < 0 при и0 < 0.
Доказательство леммы 1 следует из соотношений:
^(+1) = + ^(-1) = +«,, ¥(и0) = -(Л + 1 - и02)92 < 0, ¥(0) = Р1 - 2М (3.1)
Л
Кроме того, нетрудно установить выпуклость книзу графика функции ^(и) на отрезке [—1, 1]. Действительно, несложные вычисления приводят к следующим формулам:
1 й¥ = (Р1 - Р2и)(Р1и _ Р2) _ 1
2 йи Л(1 _ и2)2 '
1 4 =-^ГГ^2 + Р22)(1 + 3и2) - 2Р1Р2(и3 + 3и)]
2 йи2 Л(1 - и2)3
Квадратичная форма по переменным рь р2 в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.