ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 2, с. 288-301
УДК 519.634
О ЧИСЛЕННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ ВЕЩЕСТВ И НЕФТЯНЫХ РАЗЛИВОВ СТОХАСТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ ДИСКРЕТНЫХ ЧАСТИЦ
© 2007 г. Б. В. Архипов, В. Н. Котеров, В. В. Солбаков, Д. А. Шапочкин,
Ю. С. Юрезанская
(119991 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) e-mail: arhip@ccas.ru; koterov@ccas.ru Поступила в редакцию 15.08.2006 г.
Переработанный вариант 28.08.2006 г.
Рассматриваются особенности применения стохастического метода дискретных частиц для моделирования переноса и диффузии загрязняющих веществ турбулентным потоком и растекания тонкой пленки вязкой субстанции (нефти) по поверхности воды. Первая задача характеризуется зависимостью тензора диффузии от масштаба облака загрязнения, а вторая - нелинейной зависимостью коэффициента диффузии от искомой функции. Для задачи рассеивания загрязняющих веществ турбулентным потоком построен алгоритм стохастического метода дискретных частиц в случае тензора диффузии, соответствующего закону "4/3" Ричардсона. Показано хорошее совпадение численных и аналитических результатов. Для задачи растекания нефтяной пленки, описываемой квазилинейным уравнением переноса и диффузии, построен алгоритм случайных блужданий частиц, в котором величина дисперсии шага блуждания зависит от искомой функции. Решение стохастическим методом дискретных частиц, как для залпового сброса субстанции, так и для непрерывного вытекания хорошо совпадает с аналитическим и/или численным решением рассматриваемых тестовых задач. Библ. 27. Фиг. 7.
Ключевые слова: стохастические процессы, метод дискретных частиц, уравнение переноса и диффузии, турбулентное перемешивание, нефтяные разливы, загрязнения.
1. ВВЕДЕНИЕ
Интерес к задачам расчета распространения загрязняющих веществ в водной среде в последнее время значительно повысился в связи с необходимостью проведения оценок влияния разнообразных антропогенных воздействий на окружающую среду. Потребность в таких оценках возникает, например, при планировании строительства буровых платформ на океаническом шельфе, при прокладке подводных трубопроводов, при проведении дноуглубительных работ, при прогнозах перемещения нефтяных пятен в случае аварийных разливов нефти и т.п.
Математическое моделирование ряда физических процессов, входящих в упомянутый круг задач, может быть выполнено на основе следующего уравнения переноса и диффузии:
^ + div[Fu - KgradF] = f (1.1)
dt
Здесь F - физическая величина, определяемая в результате расчетов (например, концентрация загрязняющих веществ или толщина нефтяной пленки), u - заданная скорость переноса (адвекции); K - тензор диффузии, компоненты которого, вообще говоря, не являются мгновенными и локальными функциями состояния потока, а также в некоторых случаях оказываются нелинейными (т.е. зависящими от F); f - функция источника.
Далее мы ограничимся рассмотрением двумерных задач, связанных с распространением загрязняющих веществ в водной среде, когда размеры ареала загрязнения существенно превосходят глубину акватории, и задач, связанных с распространением тонкой пленки нефти по поверхности воды.
При расчете распространения загрязняющих веществ в морской среде на практике, по-видимому, исходя из соображений простоты реализации, часто отдают предпочтение статистическим методам, связанным с рассмотрением ансамбля дискретных "блуждающих частиц" (см., например, [1]-[5]). В контексте данной статьи важно отметить, что при конкретной реализации подоб-
ных методов часто не обращают внимание на то, что в этом случае необходимо использовать специальный закон случайных блужданий частиц, обеспечивающий выполнение надежно установленной особенности турбулентного перемешивания - закона "4/3" Ричардсона (см. [6], [7]). Игнорирование этой особенности может приводить к неадекватному описанию рассматриваемого процесса (см. [1], [8]).
Численные стохастические методы, объединяемые далее термином "стохастический метод дискретных частиц", являются, по-видимому, наиболее удобным инструментом для моделирования процесса растекания нефтяных пятен в реальных условиях (см., например, [9]-[12]). Это связано с наличием резко выраженных фронтов, отделяющих области, занятые нефтяными пятнами, от незагрязненной поверхности акватории1"*, а также с относительной простотой параметризации разнообразных физических процессов, сопровождающих растекание нефти (испарение, диспергирование, турбулентное перемешивание, эмульсификация, фотоокисление и т.п. см., [13]).
В настоящей работе рассматриваются особенности применения данного метода для расчета уравнения переноса и диффузии в том случае, когда коэффициент диффузии не является мгновенной локальной функцией состояния потока (перенос загрязняющих веществ турбулентным потоком), и в случае нелинейного коэффициента диффузии (растекание тонкой пленки нефти по поверхности воды). Обсуждается физическая постановка соответствующих задач. Проведено сравнение численных и аналитических решений.
2. РАССМАТРИВАЕМЫЕ ЗАДАЧИ
В данном разделе формулируются две физически обоснованные задачи, которые будут использоваться для тестирования стохастического метода дискретных частиц.
2.1. Распространение загрязняющих веществ в турбулентном потоке
Эта задача, с теоретической точки зрения, является простейшим примером явления, связанного с таким важным и до конца не изученным понятием, как турбулентность.
В 1926 г. Ричардсон (см. [6], [7]), анализируя разнообразные экспериментальные данные, сформулировал представление о турбулентности как о каскаде вихревых структур уменьшающихся масштабов, в котором энергия передается от больших масштабов к меньшим, а также обнаружил, что в широком диапазоне пространственных масштабов I, подвергающихся турбулентной диффузии объектов для коэффициента турбулентного обмена К0 выполняется эмпирический закон "4/3":
К0 = Б/4/3, (2.1)
где Б, м2/3/с, - постоянная, зависящая от свойств турбулентного потока (один из так называемых структурных параметров турбулентности).
Дальнейшее развитие представлений Ричардсона было дано в [14], [15], где введена, в частности, модель инерционного интервала в спектре иерархии взаимодействующих вихревых структур. Если размер компактного объекта, подвергающегося пассивной дисперсии за счет турбулентного перемешивания среды, не выходит за пределы диапазона размеров вихрей инерционного интервала, то, согласно (2.1), использование размерностей позволяют заключить, что Б = Ь£1/3, где £ - скорость диссипации энергии турбулентности, а Ь - безразмерный универсальный параметр, составляющий по экспериментальным данным величину Ь ~ 0.1 (см. [16, ч. 2, с. 501]).
В [17] на основе экспериментов с красителями в поверхностном слое океана проведен анализ наблюдений в соответствии с изложенными выше представлениями. Установлено, что в диапазоне масштабов до 1 км, от 1 до 10 км и свыше 10 км большое количество наблюдений можно интерпретировать в виде зависимости, соответствующей закону "4/3" Ричардсона.
Можно полагать, что в случае компактного "облака" загрязняющих веществ, подвергающегося горизонтальной турбулентной дисперсии, зависимость в уравнении переноса и диффузии (1.1) тензора диффузии К от размера диффундирующего облака эквивалентна зависимости компонент тензора диффузии от времени. Подобные модели рассматривались в ряде работ (см., например, [18], [19], [20]). В них поле горизонтальной скорости потока предполагается полностью турбулентным, изотропным и стационарным на масштабах размеров облака примеси. Движения жидкости больших масштабов ответственны за перенос облака как целого, а более мелкие вих-
Расчет подобных задач методом конечных разностей хотя и возможен, но в общем случае достаточно сложен.
8 ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 47 < 2 2007
ревые движения вызывают турбулентную диффузию примеси относительно центра масс облака. Эти модели достаточно аккуратно описывают распространение примеси в случае мгновенных (залповых) выбросов загрязняющих веществ. Однако априори неясно, каким образом в уравнении переноса и диффузии (1.1) можно за счет подходящего определения функциональной зависимости тензора горизонтальной турбулентной диффузии от координат, времени или от каких-либо дополнительных параметров задачи учесть эффект зависимости скорости горизонтального турбулентного обмена от размера диффундирующего объекта при достаточно протяженном во времени (непрерывном) сбросе примеси.
Нам представляется, что в рассматриваемом далее случае длительно действующего источника загрязнения можно использовать "фундаментальное" решение уравнение переноса и диффузии для компактного "облака", порождаемого мгновенным точечным источником, и принцип суперпозиции.
Введем в рассмотрение следующую функцию, описывающую динамику изменения усредненной по глубине акватории h концентрации загрязняющего вещества, порождаемого мгновенным изотропным источником загрязнения единичной массы, действующего в момент времени t = 0 в точке x = 0, у = 0 в неподвижной турбулентной среде:
G(x, y, t) =-—2—exp
2nhс 2(t)
2 , 2-x + y
L 2c2(t).
(2.2)
Здесь величина c2(t) представляет собой дисперсию распределения вещества, а c(t), соответственно, определяет характерную полуширину облака загрязнения2-*.
Нетрудно проверить, что функция (2.2) будет удовлетворять двумерному (в плоскости x, y) и однородному (f= 0) уравнению переноса и диффузии (1.1) с зависящим от времени тензором диффузии K = K0(t)E (E - единичный тензор), если
dc2(t)/dt = 2K0(t). (2.3)
Примем в рассматриваемом случае зависимость коэффициента турбулентной диффузии от времени в виде K0 ~ tn - n = const. Тогда c2(t) ~ tn и K0 ~ c2(n - 1)/n. Отсюда видно, что закон "4/3" Ричардсона (K = K0 ~ с4/3) будет выполняться, если n = 3. В этом случае
c2(t) = [27/3Bt/3 + с2/3 ]3, (2.4)
где с0 - характерная полуширина источника загрязнения. При точечном источнике загрязнения с0 = 0.
Отметим, что в случае не зависящего от времени коэффициента диффузии K0 (этот случай далее будет называться "обычной диффузией") параметр n = 1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.