научная статья по теме О ЧИСЛЕННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ Математика

Текст научной статьи на тему «О ЧИСЛЕННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2014, том 459, № 3, с. 285-287

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

УДК 519.63

О ЧИСЛЕННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ

© 2014 г. Член-корреспондент РАН И. Б. Петров, А. В. Фаворская, А. В. Васюков, А. С. Ермаков, К. А. Беклемышева, А. О. Казаков, А. В. Новиков

Поступило 18.06.2014 г.

БО1: 10.7868/80869565214330044

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время появляется научный и прикладной интерес к исследованию влияния анизотропии геологических сред на прохождение в них сейсмических волн. Также задачи о распространении упругих волн в анизотропной среде возникают, например, при исследовании композитных материалов. В качестве математической модели рассматривается гиперболическая система уравнений сплошной линейно-упругой среды с анизотропией [1—5], используется сеточно-характе-ристический метод [6—10] на неструктурированных тетраэдральных сетках [9, 10]. Реализована точная постановка граничных условий заданной скорости границы, заданной внешней силы и контактных условий полного слипания и свободного скольжения.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Состояние бесконечно малого объема сплошной линейно-упругой анизотропной среды подчиняется следующим уравнениям [1—5]:

рд^, = £ д]а1], у

д!Оц = ££Сум (д+д )•

(1) (2)

В системе (1), (2) индексы варьируются от 1 до 3, символом р обозначена плотность материала, ,Чк) — скорость движения, а — симметричный тензор напряжений Коши. Сук1 — тензор

Московский физико-технический институт (государственный университет), Долгопрудный Московской обл.

упругих постоянных четвертого ранга, который дается выражением

С1]М = С1,к^1Ц ^ к1 +

£ Сг,ш+3§у Iе шк\ +

ш=1

£ Ст+3,к |е шу к1 + ££ Сш+3, п+3 |е шу| |е пк11:

ш=1

ш=1 п=1

где 8 у — компоненты единичного тензора второго ранга, а б шу — компоненты абсолютно антисимметричного единичного тензора третьего ранга.

Коэффициенты тензора упругих постоянных четвертого ранга часто записывают в виде таблицы размером 6 х 6:

С11 С12 С13 С14 С15 С16^

С12 С22 С23 С24 С25 С26

С13 С23 С33 С34 С35 С36

С14 С24 С34 С44 С45 С46

С15 С25 С35 С45 С55 С56

VС16 С26 С36 С46 С56 С66]

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Исследовались две задачи: прохождения упругих волн через однородную анизотропную среду и прохождения упругих волн через двухслойную среду с различной анизотропией. Область интегрирования представляла собой параллелепипед со сторонами 1 км х 1 км х 500 м. В обеих задачах на всех сторонах области интегрирования ставилось условие свободной границы. Плоскость раздела двух сред во второй задаче лежала перпендикулярно короткому ребру параллелепипеда. На границе раздела двух сред стояло контактное условие полного слипания. В обеих задачах исследовалась среда с плотностью р = 2500 кг/м3, в качестве начального условия рассматривался

3

286

ПЕТРОВ и др.

удар в центр параллелепипеда сверху вдоль направления г со скоростью 300 м/с. В первой задаче рассматривался случай горизонтально-трансвер-

На рис. 1 представлена волновая картина в четверти области интегрирования в момент времени 0.107 с, а на рис. 2 изображен срез перпендикулярно оси г в момент времени 0.134 с.

и также представлял собой случай горизонталь-но-трансверсальной анизотропии, но уже с выделенным направлением у.

сальной [1—5] анизотропии с выделенным направлением вдоль оси х со следующей таблицей компонент тензора упругих постоянных (в паскалях):

(3)

Во второй задаче тензор упругих постоянных верхнего слоя также описывался таблицей (3), в то время как тензор упругих постоянных нижнего слоя задавался таблицей (в паскалях)

(4)

На рис. 3 представлена волновая картина в четверти области интегрирования в момент времени 0.107 с, а на рис. 4 — в момент времени 0.134 с.

5.625 109 4.375•109 4.375 • 109 0 0 0

4.375 109 2.25 • 1010 1.75 • 1010 0 0 0

4.375 109 1.75 • 1010 2.25 • 1010 0 0 0

0 0 0 2.5 • 109 0 0

0 0 0 0 2.5 • 109 0

V 0 0 0 0 0 2.5 •

'2.25 • 1010 4.375 • 109 1.75 • 1010 0 0 0

4.375•109 5.625•109 4.375•109 0 0 0

1.75 • 1010 4.375 • 109 2.25 • 1010 0 0 0

0 0 0 2.5 • 109 0 0

0 0 0 0 2.5 • 109 0

ч 0 0 0 0 0 2.5 • 109

Рис. 1. Волновая картина, возникающая при распространении упругих волн в среде с горизонтально-трансверсальной анизотропией. Момент времени 0.107 с. Четверть области интегрирования.

Рис. 2. Волновая картина, возникающая при распространении упругих волн в среде с горизонтально-трансверсальной анизотропией. Момент времени 0.134 с. Срез перпендикулярно оси г.

О ЧИСЛЕННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

287

Рис. 3. Волновая картина, возникающая при распространении упругих волн в двухслойной анизотропной среде с перпендикулярными выделенными направлениями. Момент времени 0.107 с. Четверть области интегрирования.

Рис. 4. Волновая картина, возникающая при распространении упругих волн в двухслойной анизотропной среде с перпендикулярными выделенными направлениями. Момент времени 0.134 с. Четверть области интегрирования.

На рис. 1—4 градациями серого изображен модуль скорости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработан сеточно-характеристический метод для системы уравнений анизотропной линейно-упругой среды на основе выполненного математического исследования параметров данной системы уравнений [1]. В данной работе приведены результаты численного моделирования распространения упругих волн в среде с горизон-тально-трансверсальной анизотропией, а также в гетерогенной анизотропной среде.

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда 14—11—00263.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фаворская А.В. В сб.: Тр. LIV научн. конф. МФТИ. Проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном информационном обществе. М., 2011. Т. 2. С. 55-56.

2. Lisitsa V., Vishnevskiy D. // Geophys. Prospecting. 2010. № 58. P. 619-635.

3. Thomsen L. // Geophys. Prospecting. 1995. № 43. P. 805-829.

4. Hsu C.-J, Schoenberg M. // Geophysics. 1993. V 58. № 7. P. 964-977.

5. Thomsen L. // Geophysics. 1986. V. 51. № 10. P. 19541966.

6. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001. 608 с.

7. Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характе-ристические численные методы. М.: Наука, 1988. 287 c.

8. Иванов В.Д., Кондауров В.И., Петров И.Б., Холодов А.С. // Мат. моделирование. 1990 Т. 2. № 11. C. 10-29.

9. Петров И.Б., Фаворская А.В., Муратов М.В., Санников А.В. // ЖВМиМФ. 2014. Т. 54. № 5. С. 85-96.

10. Favorskaya A.V., Petrov I.B., Sannikov A.V., Kvasov I.E. // Math. Models and Comput. Simulations. 2013. V. 5. № 5. P. 409-415.

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком