ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 12, с. 2088-2100
УДК 519.642
О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ДВУМЕРНОГО ГИПЕРСИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
И О РАСПРОСТРАНЕНИИ ЗВУКА В ГОРОДСКОЙ ЗАСТРОЙКЕ1)
© 2007 г. В. А. Гутников*, В. Ю. Кирякин**, И. К. Лифанов***, А. В. Сетуха***, С. Л. Ставцев****
(*113093 Москва, Подольское ш., 8/5, РУДН, экологич. ф-т;
**129626 Москва, ул. 3-я Мытищинская, 10, ФГУП ВНИИ ж.-д. транспорта МПС РФ;
***125190 Москва, ул. Планетная, 3, ВВИА, каф. матем.;
****119991 Москва, ул. Губкина, 8, ИВМ РАН) e-mail: stav@inm.ras.ru Поступила в редакцию 07.07.2006 г.
Построена математическая модель распространения звука от шумового источника в условиях городской застройки. При этом внешняя задача Неймана для скалярного уравнения Гельм-гольца сведена к системе гиперсингулярных интегральных уравнений. Описан численный метод решения системы интегральных уравнений. Получены оценки сходимости квадратурных формул для построенного численного метода решения задачи. Приведены результаты расчетов конкретных практических задач. Библ. 12. Фиг. 9.
Ключевые слова: задачи акустики, гиперсингулярные интегральные уравнения, метод замкнутых дискретных вихревых рамок, оценки квадратурных формул.
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассматривается решение внешней задачи акустики, т.е. источник звука расположен вне зданий и расчет акустического давления производится вне зданий. В отличие от других методов расчета дифракции, основанных на полуэмпирических формулах или методе Кирхгофа (см. [1], [2]), в данной работе предложен метод, основанный на решении граничной задачи с помощью интегральных уравнений. Метод Кирхгофа или методы, опирающиеся на полуэмпирические формулы, основаны на дополнительных упрощениях граничной задачи, что уменьшает количество вычислений, но делает расчеты менее точными, а в ряде случаях ошибочными. Использование конечно-разностных методов для расчета внешних акустических полей также затруднено, так как для их применения необходимо строить мелкую сетку около источника и решать задачу для неограниченной области, что делает задачу громоздкой и подчас невыполнимой на персональных ЭВМ.
Исследование распространения звука в условиях городской застройки имеет существенное значение при размещении, строительстве или реконструкции объектов, зданий и сооружений, при проектировании и эксплуатации транспортных систем. Возрастающие потребности анализа звуковой обстановки определяются усложнением инфраструктуры города, например строительством магистралей, увеличением потоков городского транспорта, а также исследованием вопроса защиты от возникающего шума в соответствии с существующими строительными нормами и правилами (см. [1]).
Современные строительные нормативы предписывают выполнение расчета шумовых характеристик с помощью методов, основанных на эмпирических данных или использующих существенно упрощенные модели (см. [1]). В случаях, не подпадающих под стандартные ситуации, использование этих методов приводит к значительным искажениям результатов. В настоящее время в г. Москва развернуто интенсивное строительство зданий повышенной высотности по оригинальным проектам. В связи с этим представляется целесообразным для уменьшения стоимости работ и сроков их выполнения использовать более точные методы математического мо-делировния на ЭВМ при расчете уровня шума.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-01-00951).
2088
Традиционно задачи строительной акустики делятся на задачи внешней и внутренней акустики. Для решения задач внутренней акустики, т.е. когда источник звука расположен внутри здания и производится расчет акустического поля в помещениях, разработаны эффективные методики решения поставленых задач и как следствие созданы комплексы расчетных программ. Для задач внешней акустики эти методы неприменимы, так как они строятся на предположении о существовании множественности отражений от стен помещения и так называемой диффузности распространения звуковых волн.
В настоящей работе исследования проводятся на простой модели распространения звука, приводящей к решению краевой задачи Неймана для скалярного уравнения Гельмгольца при вещественном волновом числе к. Уравнение Гельмгольца сведено к системе граничных интегральных уравнений с гиперсингулярными интегралами, понимаемыми в смысле конечного значения по Адамару (см. [3], [4]). Для этих интегралов построены квадратурные формулы типа прямоугольников и доказана их сходимость. Далее на основе указанных квадратурных формул предложена численная схема решения исходной задачи дифракции, осуществлена ее апробация и указана сходимость при помощи численных экспериментов. Чтобы показать работоспособность численного метода решения задачи, приведены результаты расчетов давления от протяженного источника в условиях городской застройки.
Отметим, что предложенная численная схема решения задачи является обобщением численной схемы, построенной и обоснованной в частных случаях для уравнения Лапласа в работах [4], [5].
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим распространение звука от широкополостного источника в области В (см. фиг. 1). Область В ограничена поверхностями т зданий с, 1 = 1, 2, ..., т, а также плоскостью с0: г = 0, с помощью которой будем моделировать поверхность земли. Каждая из поверхностей с, 1 = 1, 2, ..., т, задается уравнениями
у = у(и, V), 1 = 1, 2,..., т, (и, V) е Ш2, (1)
где у,(и, V), 1 = 1, 2, ..., т, - непрерывные, кусочно-гладкие функции. Будем считать, что поверхности с, 1 = 1, 2, ..., т, попарно не пересекаются.
Известно (см. [6], [7]), что величина избыточного давления р (М, X), создаваемого источником р0 (М, 0 отраженной от поверхностей с, 1 = 1, 2, ..., т, звуковой волны, удовлетворяет волновому уравнению
2 ~
Э р(М Х-- с2Др(М, X) = 0, М е В, (2)
Эх2
где с - скорость распространения звука в среде. Будем считать, что приемник звукового сигнала работает в интервале частот от V! до v2. Будем полагать, что функцию источника р0 (М, X) можно представить в виде интеграла
ю2
Ро(М, X) = |Рога(М)^, (3)
Ю1
где 12 = -1, Ю = 2тсу, юк = 2пхь к = 1, 2, т.е. функция р0 (М, X) равенством (3) представлена как суперпозиция гармонических источников.
Заметим, что в силу линейности уравнения (2) его решение можно представить в виде
ю2
р(М, X) = |Рю(М, X)<3®, (4)
Ю1
Фиг. 1.
где рю (М, 0 - решение уравнения
2 ~
ЩМ-!- - с2Дрга(М, -) = 0, Ме Я. (5)
д-
Решение уравнения (5) для монохроматического источника будем искать в виде р ю (М, -) = = рю(М)ехр(-7'ю0. В результате задача для широкополостного источника сводится к совокупности задач для монохроматических источников р0ю(М)ехр(-7'юО при разных ю, а также к решению соответствующего скалярного уравнения Гельмгольца
Арю(М) + к2рю(М) = 0, М е Я, (6)
где к = 2тсу/с - волновое число.
В дальнейших рассуждениях (кроме окончательных результатов расчета в разд. 6) будем рассматривать решение краевой задачи для скалярного уравнения Гельмгольца для тонального источника и поэтому индекс ю в выражениях для р0ю(М) и рю(М) будем опускать.
Источник звука, идущий от дороги или глиссады, будем моделировать бесконечной прямой I с линейной мощностью источника д, которая не меняется вдоль прямой. В результате давление, создаваемое источником в отсутствие поверхностей а1, 1 = 0, 1, ..., т, вычисляется по формуле
Р0 (М) = д 4-Н 01-(крМ), (7)
где рМ - расстояние от прямой до расчетной точки М; н0) (г) - функция Ханкеля I рода нулевого порядка. В данной работе будем считать, что прямая I параллельна плоскости ХОУ и не пересекает ни одну из поверхностей а, 1 = 1, 2, ..., т, определяемых соотношениями (1).
Найдем функцию p(M), M е D, удовлетворяющую скалярному уравнению Гельмгольца (6). Будем считать, что поверхности ai, i = 0, 1, 2, ..., m, непроницаемы для звука, т.е. на них выполняется граничное условие
дp (M) д Ро( M) a
—¿ =—т-, Mе a„ i = 0, 1,..., m, (8)
dnM дum
где единичный вектор нормали nM к каждой поверхности ai, i = 0, 1, 2, ..., m, направлен в область D, т.е. nM = k для поверхности с0. Здесь и ниже i, j, k - орты координатных осей, вектор k направлен в сторону области D.
Так как область распространения звука неограниченна, то необходимо задать условия излучения на бесконечности - условия Зоммерфельда
Г-М, —p(M)l - iкр(M) = O(-L-1; (9)
'ms \rmmj
здесь RMM, - расстояние от точкиMдоM\ е ai, i = 0, 1, 2, ..., m, где rM = |rM| = |xMi + yMj + zMk| =
/2 2 2 = *4xM + yM + zM .
3. СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ К СИСТЕМЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Следуя [8], решение задачи (6)-(9) будем искать в виде потенциала двойного слоя, распределенного на каждой поверхности ai, i = 1, 2, ..., m:
m
p(M) = £jg,.(N)G(M, N)daN, Mе D, M* a}, j = 1, 2,..., m, (10)
i = 1 at
где gi(N), N е ai, - плотность потенциала двойного слоя, распределенного на поверхности ai.
В потенциалах (10) учитывается, что поверхность a0 - плоскость. При этом введено обозначение
Л s -Ч iK rMN -Ч iK rMN*\
G (M N) = —+дПТе—), (11)
•-tliyuriN ' MN urlN * ' MN* /
где N* - точка, симметричная точке N относительно плоскости a0. Если предположить, что nN = = (cos a, cos в, cos у), то nN* = (cos a, cos в, -cos y) (см. фиг. 2).
Так как искомую величину p(M) ищем в виде потенциала двойного слоя, в котором ядра содержат exp(iKrMN), то, согласно [9], для избыточного давления p(M), вычисляемого по формуле (10), выполняются условия на бесконечности (9).
Потенциал двойного слоя (10) является решением задачи (6)-(9), если его плотности gi (M), Mе ai, i = 1, 2, ..., n, удовлетворяют системе интегральных уравнений
дG(M, N)a (дpo(M) | дp*(M)
Г f /ЛАд G(M, N) , (opo(M ЛдРo (M)) is _ -IT /пч
L)g^^UMTdaN = -l^nnr J, Mеaj, j = 1,2'-'m, (12)
i = 1 a
где
Р* (М) = Р0 (М *), (13)
р0(М*) определено формулой (7), точка М* симметрична М относительно плоскости с0.
Все интегральные уравнения в системе (12) являются гиперсингулярными и понимаются в смысле конечного значения по Адамару (см. [4], [5]).
Функция G(M, А), вычисляемая по формуле (11), а также функция д(р0(М) + р* (М))/дпМ, стоящая в правых частях интегральных уравнений (12), позвол
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.