МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 4 • 2014
УДК 539.3
© 2014 г. М. Я. БРОВМАН О ДЕФОРМАЦИИ ПОЛЗУЧЕСТИ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ ИЗГИБЕ БАЛОК
Методы расчета деформации ползучести при продольном изгибе балок рассмотрены во многих работах (см. например [1]). В результате расчетов определяют изменение прогиба как функцию времени и критическое время, за которое балка подвергаемая сжатию силами, направленными вдоль ее оси, теряет устойчивость.
В данной работе рассмотрена деформация ползучести балок различных сечений и показано, что критическое время можно увеличить за счет некоторых изменений конструкции балок.
Ключевые слова: деформация ползучести, продольный изгиб, критическое время, увеличение долговечности.
1. Основные уравнения. Балки, подвергаемые сжатию силами, направленными вдоль их осей, могут терять устойчивость, причем при ползучести малый прогиб, имевшийся в балке до деформации, монотонно возрастает. В результате расчетов определяют не предельную силу, соответствующую потере устойчивости, а критическое время, за которое прогиб достигает таких значений, при которых дальнейшая эксплуатация балки недопустима. В ряде случаев это время, за которое прогиб стремится к бесконечности. Ниже рассмотрены вопросы, связанные с возможностью увеличить критическое время для балки заданных величин массы, длины и усилия.
Примем как обычно [1—3], что скорость деформации при продольном изгибе имеет вид
é = Ky = V ХХт y (1.1)
где К — кривизна оси балки, K = Кт = дК/дт; т — время, y — расстояние от нейтральной оси, V(x, т) — прогиб балки; x — координата вдоль длины ее оси.
Примем, что при высоких температурах можно не учитывать упругих деформаций и применять формулу [1]:
а = C(é)1/n (1.2)
где C — величина постоянная при заданной температуре [4]; а — напряжение; n — постоянная величина, равная обычно n = 3—9. С приближением к температуре плавления n приближается к единице (для сталей при температуре свыше 1420°C) см. [4].
Изгибающий момент, например, для балки квадратного сечения размерами b ■ b равен
0.5b _ , .
Cnb3 +1/n iA/n
M(x) = 2 Г а bydy = —-C-nb—------ K
J (2 n + 1) 21 +1/n
Таблица 1
п 1 3 5 7 9
РМ) 12 5.9 5.1 4.7 4.6
Р2(п) 20.4 9.2 7.8 7.2 6.9
При К = V,ххт получим [1—3]:
+акУ = о, (1.3)
Л = (1.4)
съг +1 щ ( )
п) = 2п+- 21 +1 /п (1.5)
п
причем ^ 12 при п ^ 1, далее Fl(n) монотонно убывает и ^ 4 при п ^ да.
Краевые условия для балки на двух шарнирных опорах, как обычно, имеют вид: V = 0 при х = 0 и х = I, а Vх = 0 при х = 1/2.
Удобно записывать уравнения (1.3) и для других сечений, но вместо Р1(п) согласно (1.5) надо использовать другие функции. Например, для балки круглого сечения диаметром ё:
А = —(п)
СсТ /п
р2 (п) = 2
1-0.5 п -|-1 (1.6)
1 + 1 / п
| (БШф)1 + 1 /пС082ф^ф
где ф — вспомогательная переменная.
Этот интеграл можно выразить через гамма-функцию (см. [5, с. 765]):
0.5
1
0
(ф)1 •1 /п<*■Ф^Ф = 2^г (1 1+.;./< 2п )). г( 1.5) = =
2 Г( 2.5 + 1 /(2 п))
Таблицы и графики гамма-функции Г приведены в литературе, например в [5]. С учетом изложенного
) = ^ г( 2.5 + 1/ ( 2 п ) ) (1.7)
ТП Г( 1 + 1 / (2п)) ( )
Некоторые значения функций Fl(n), Р2(п) приведены в таблице 1. Случай п = 1 рассмотрен ниже отдельно.
На практике чисто применяют для несущих конструкций, эксплуатируемых при высоких температурах, полые тонкостенные балки, что позволяет уменьшить расход материала. Полезный эффект несколько снижается из-за более высокой стоимости полых профилей.
о
Таблица 2
п 1 3 5 7 9
Fз(n) 2.55 1.39 1.21 1.16 1.13
F4(n) 1.5 0.88 0.79 0.76 0.73
Рассмотрим круглые и квадратные тонкостенные сечения. Такие сечения можно изготовить формовкой из тонких листов на профилегибочных станах со сваркой одним продольным швом (или формуют две П-образные части сечения и сваривают их двумя продольными швами).
Для сечения балки в виде круглого кольца диаметром d и толщиной h d получаем уравнение (1.3) при
А = - Р' - - (п) (1.8)
Сй2 +1 /пн
г0.5л
^з (п) = 21/п
( бш ф)1 +1 /пйф
1
= 21 +1 /п Г ( 1. 5 + 1 /( 2 п ) )
ТЛГ( 1 + 1 / ( 2 п)) '
где Г— как и ранее, гамма-функция.
Для сечения тонкостенной квадратной балки Ь ■ Ь, толщиной h Ь в формуле (1.8) надо вместо d подставить Ь, а функцию F3(n) заменить на F4(n):
(п ) = 2 ^ } 2 п + 1 ) (1.10)
3 п + 1
Некоторые значения функций F3(n), F4(n) приведены в таблице 2. Все функции: F1(n), F2(n), F3(n), F4(n) убывают с увеличением п и при п ^ да, F1 ^ 4; F2 ^ 6; F3 ^ 1,0, F4 ^ 2/3.
Подставив в уравнение (1.3) функцию V(x, т) = у(т)/(х), и разделив оба члена уравнения на АххУ"(т), получим у >т/у" + А"///^ = 0.
Поскольку первый член зависит только от т, а второй только от х, то можно приравнять их некоторой, (пока неизвестной), постоянной С0 и записать
/ V = C0, А"/п//хх = —С0
Из первого уравнения можно определить
у(т) = [ 1 - Со(п - 1 )т]1 /(п-1} (1.11)
При т0С0(" — 1) ^ 1 величины у и У(х, т) бесконечны и т0 — называют критическим временем. Поэтому можно записать
Со(п - 1) = 1/То, у(т) = (1 - Т/То)-1 /(п -
Фукнция/х) определена уравнением
/,XX + То(п - 1 )АпГ = 0 (1.12)
0
Таблица 3
п 0 1 3 5 7 9 да
/(п, 1) 2.0 1.57 1.12 1.05 1.033 1.02 1.0
После первого интегрирования получаем функцию /, х:
/х = л/С - 2 (п - 1) /(п + 1КАУ +1
где С постоянная.
Обозначим максимальный прогиб в начале процесса деформации/0 и примем, что он имеет место при х = 0.5/, где /х = 0. Это определяет постоянную
= 2(п - 1 )ТоАп/"0 +1
(п + 1)
поэтому начальное значение функции у(т) при т = 0 принято равным у(0) = 1. Поскольку
Л = ^ 1 - (0п+1
то учтя, что /(0) = 0, получим решение в виде функции
х I2(п - 1 ) х оА?о+1 = , и=т
п + 1 ¡ , п + 1
0 л/1 - и
Условие/=/0, и = 1 при х = //2 дает уравнение для определения неизвестной величины т0. Обозначив функцию
и
г ёи т/ \
= J(п, и)
! л/ 1 - и"
п + 1
0 ' ' ' '
получим
I 2 (п - 1 )т А/ 0
п гп + 1
= J(n, 1) (1.13)
2Ц п + 1
2х/1 = J(п, и)/J(n, 1) (1.14)
Некоторые значения /(п,1) приведены в таблице 3.
С точностью, достаточной для практических расчетов, можно определять /(п,1) по формуле
J(n, 1) = 1 + 0.57/пл/п (1.15)
(при п = 1 /(п,и) = агс8Ши , /(1.1) = я/2, но для п = 1 данное решение неприемлемо, о чем указано в литературе, например, в [6]).
и
0 0.2 0.4 0.5 0.6 0.8 1.0
х//
Фиг. 1
На фиг. 1 приведены графики прогибов балки согласно уравнению (1.14). По оси ординат отложены величины безразмерного прогиба и = ///0 для нескольких величин п, указанных индексами у соответствующих кривых (при п = 1 — это синусоида, но этот случай рассмотрен ниже).
С увеличением п кривая и (х/1) все более приближается к линии, состоящей из двух прямых, соединяющих точки: х = 0, и = 0, и х = 0.5/, и = 1 и точки х = 0.5/; и = 1 и х = /, и = 0 (с увеличением п изменение кривизны оси балки все более сосредоточено в ее центре).
В начальный момент времени, т.е. при т = 0 величина прогиба определена формулой (1.14). Возможны и другие функции для описания начального прогиба балки. Кроме того, решение можно использовать только в том случае, если кривизну прирав-
2
нять второй производной Кхх, т.е. при V х 1.
2. Анализ результатов расчета. Формула (1.13) позволяет определить критическое время
= 2(п±1)/(«Л) (2.1)
0 (п - 1) уп0 +112Ап )
Например, для квадратного сечения
Т = 2 ( п + 1) / ( п , 1 )( С п Ь3 п + ' 0 " ( п - 1 ) ^ IУо+1
Для круглого сечения в эту формулу надо подставить вместо Ь — диаметр d, а вместо F1(n) функцию F2(n).
Можно сравнить два сечения балки, оценив какое из них, при равных условиях, предпочтительнее, (чтобы увеличить время т0). Отношение величин критического времени для квадрата и круга обозначим В и эта величина, исходя из (2.2), равна
' = ^ (!)3' +1 <2.3)
¥ 1 (п) а
Сравнивать два сечения следует при равных величинах С, Р, /, /0, п. Массы двух балок (квадратного и круглого сечений) должны быть равными, а поэтому Ь = л/Л /2d и формула (2.3) имеет вид:
в = —
2
л Г ( 2.5 + 1 / ( 2 п )) ■ .4 (1 + 1 / ( 2 п ) ) Г ( 1 + 1 / ( 2 п) ).
(2.4)
Имеем В = 1.18 при п = 3, В = 1.46 при п = 7, т.е. по данным приведенного расчета квадратное сечение несколько лучше круглого (см. фиг. 2). Однако различие относительно невелико: при В = 1.18—1.46 оно может быть незаметным из-за разброса данных (можно показать, что В(п) ^ 0.89 • 1.043п с увеличением п ^ ад).
Критическое время для квадратной тонкостенной трубы толщины Н1 равно
= 2 ( П + 1) /(П , 1 )^ Пь2п + 1 п
(п - 1) % ^ *
(2.5)
Для круглой тонкостенной трубы толщиной Н2 надо заменить в (2.5) Н1 — на Н2, Ь на d и на
Если принять площади сечений равными и Ь = d, то Н1/Н2 = п/4 и отношение величин т0 для квадратной и круглой труб равно
вг = И) "е =
г 4
УЛ( 3 п + 1) Г ( 1 .5 + 1 / ( 2 п ) ) 1_ 2 2 п + 1 Г( 1 + 1 / ( 2 п ) ) J
(2.6)
Имеем В' = 1.84 при п = 3; при п = 5; В' = 2.6 при п = 7; В' = 3.6 (при п ^ ад В' ^ ^ 1.18п). На фиг. 2 приведены графики функций В(п) (сплошная линия) и В(п) (штриховая линия).
Видно, что для тонкостенных труб изменение конструкции с переходом от круглой трубы к квадратной той же массы может увеличить критическое время в 2—5 раз, что позволит увеличить и долговечность конструкции.
Если взять круглую и квадратную трубы равной толщины Н = Н1, но Ь ф d, то из равенства площадей сечения следует Ь/d = п/4 и коэффициент
"п УЛ( 3 п + 1) Г (1 .5 + 1 / ( 2 п ) ) ■ _ 8 ( 2 п + 1) Г( 1 + 1 / ( 2 п) ) _
В =
Эта формула описывает изменение В(п) при равенстве толщин сравниваемых сечений балок.
Видно, что В = 0.76 при п = 3, а с увеличением п В(п) убывает, (В ^ 0.785(0.924)п при п ^ ад). Поэтому такое изменение конструкции приведет к уменьшению критиче-
т
0
ского времени, т.е. долговечности конструкции. Целесообразно заменять, где это возможно, балки в виде круглых тонкостенных труб на квадратные трубы при Ь = d и меньшей толщине.
3. Особый случай линейной зависимости о( б ). Если в формуле (1.3) п = 1, то имеем уравнение:
Гххг + AV = 0 (3.1)
где для квадратного сечения А = 12Р/СЬ4, а для круглого численный множитель равен 20.4 и Ь надо заменить на d. Для квадратной трубы толщиной к и стороной квадрата Ь, А = 1.5Р/(СЬ3к), а для круглой трубы
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.