научная статья по теме O ДЕФОРМИРОВАНИИ КОНТУРА ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ФОРМУЛЕ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА Математика

Текст научной статьи на тему «O ДЕФОРМИРОВАНИИ КОНТУРА ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ФОРМУЛЕ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 7, с. 1118-1124

УДК 519.65

O ДЕФОРМИРОВАНИИ КОНТУРА ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ФОРМУЛЕ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

© 2015 г. А. В. Лебедева, В. М. Рябов

(198504 Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Университетский пр-т, 28, СПбГУ) e-mail: natulich@bk.ru, victor.ryabov@mail.ru Поступила в редакцию 03.09.2014 г.

Предложены формулы обращения интегрального преобразования Лапласа с помощью деформирования контура интегрирования в формуле обращения Римана—Меллина, последующего применения квадратурных формул и получения оценок погрешности. Библ. 18. Фиг. 2.

Ключевые слова: преобразование Лапласа, обращение преобразования Лапласа, квадратурные формулы, сходимость квадратурных формул.

DOI: 10.7868/S0044466915050142

1. ВВЕДЕНИЕ

Интегральное преобразование Лапласа F(z) функции-оригиналаf(t),

да

F(z) = Je-tf( t) dt,

0

представляет собой мощный инструмент для решения широкого класса прикладных задач математической физики. Одним из его главных достоинств является алгебраизация процедур математического анализа, с помощью которой удается свести интегральные и дифференциальные уравнения к более простым.

Как правило, при решении задач операционными методами наиболее трудным этапом является процесс обращения, т.е. определение оригинала по его изображению. Существуют таблицы соответствия функций-оригиналов и их изображений (см., например, [1]), теоремы разложения, формула обращения Римана—Меллина, позволяющие теоретически точно находить оригинал. Но решение практических задач часто приводит к изображениям, к которым не могут быть применены эти классические приемы обращения. Следовательно, возникает необходимость разработки и применения приближенных методов.

Возможные подходы к задаче обращения и их реализация описаны в [2]. Обзор других способов обращения, не вошедших в [2], приведен в [3] и [4], [5]. Теоретические основы операционного исчисления содержатся в классических работах [1], [6], [7], [8]. Вопросам приложения операционного исчисления к решению прикладных задач, среди прочих, посвящены фундаментальные труды [9], [10].

Не существует универсального метода обращения, дающего удовлетворительные результаты для произвольного изображения F(z). Любой конкретный метод обращения должен учитывать специфику поведения изображения (или функции-оригинала), что прежде всего находит отражение в выборе подходящих систем функций в пространствах оригиналов и изображений, с которыми легко работать и с помощью которых могут быть хорошо приближены заданные образы и оригиналы. Выбору методов обращения в зависимости от способа задания информации об изображении искомого оригинала и их описанию посвящена работа [3].

Цель настоящей работы состоит в рассмотрении методов обращения с помощью деформирования контура интегрирования в формуле обращения Римана—Меллина, последующего применения квадратурных формул и получения оценок погрешности.

2. ДЕФОРМИРОВАНИЕ ЛИНИИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ФОРМУЛЕ ОБРАЩЕНИЯ

В этом пункте исследуется метод вычисления интеграла Римана—Меллина

c + i да

f(t) = -П Г eztF(z)dz, (1)

2 я i J

c - i да

задающего обращение преобразования Лапласа, с помощью замены линии интегрирования и последующего применения специальных квадратурных формул.

Напомним, что интеграл (1) понимается в смысле главного значения, он не зависит от c, и в случае разрыва оригинала в точке t мы получаем полусумму предельных значений оригинала слева и справа в точке t.

Положим в формуле обращения (1) г = c + ix, тогда exp(zt) = ехр(сОехр(г'хО. При фиксированном t первый сомножитель постоянен, а второй пробегает единичную окружность на комплексной плоскости бесконечное число раз. К тому же в случае с > 0 с ростом t первый сомножитель неограниченно возрастает, так что попытка приблизить интеграл в (1) римановыми суммами вряд ли приведет к цели.

С целью уменьшения осцилляции сомножителя ехр(/тО и ограничения скорости роста сомножителя exp(ct) заменим линию интегрирования в (1) эквивалентным контуром L, начинающимся и заканчивающимся в левой полуплоскости так, что Re(z) —► —да на обоих его концах, внутри которого содержатся все особенности изображения F(z).

Предположим, что изображение F(z) удовлетворяет следующей лемме.

Лемма Жордана (см. [2]). Если на некоторой последовательности дуг окружностей CR :

|z| = Rn, Rez < a, Rn—► да, а фиксировано,

функция F(z) стремится к нулю равномерно относительно arg z, то для любого положительного t справедливо предельное соотношение

lim Г F(z) eztdz = 0.

n ^ да J

Ч

В этих предположениях интеграл (1) представим в виде

c + i да

f(t) = -П Г ez'F(z)dz = -П. \ezt F(z)dz. (2)

2ni J 2яiJ

c - i да L

В [11] был предложен контур

L = J z|z = 2nui u e [ i i] l 1 1 - exp(-2nui) ' J

Он состоит из двух симметричных относительно вещественной оси плоскости z ветвей, исходящих из точки z(0) = 1 налево и при u —»- ±1 стремящихся к асимптотам z = ±ni. После замены переменной в интеграле (2) получаем

1

f(t) = -1- I"exp(z(u)t)F(z(u))z'(u)du.

2 П i

2 п/

-1

Для приближенного вычисления этого интеграла в [11] применяется формула трапеций.

Заметим, что при малых и вещественная часть функции z(u) положительна и с ростом I сомножитель ехр(г(и)0 неограниченно растет по модулю, в отличие от остальных значений и. Эту особенность поведения интегрируемой функции надо учитывать при численном интегрировании. В [12] предлагается в представлении

яО = тП-^Дг!ойг, (> 0, (3)

2 П 1И

L

использовать контур

Ь = {z\z = I(и), и е(-да, +да)}, I(и) = 2 - еИ(и) - ф&(и).

Этот контур состоит из двух симметричных относительно вещественной оси плоскости г ветвей, исходящих из точки г(0) = 1 налево и при и —»- ±да стремящихся к асимптотам г = (ц — параметр контура).

В результате формула (3) принимает вид

да

Я О = 1О,( и) йи, (4)

—да

где

О, ( и) = -П-ехр (1( и)) Г( и) Д 1( и)/0. (5)

2я 11

Функция (5) не имеет особенностей как на линии интегрирования, так и в некоторой "полосе", содержащей внутри себя линию интегрирования. Как показано в [13], формула трапеций для вычислений интеграла (4) может давать хорошую точность, при этом скорость сходимости зависит от ширины полосы и шага численного интегрирования. К сожалению, приведенные выше две линии интегрирования оказываются неудачными — для них полоса имеет переменную ширину регулярности интегрируемой функции и даже стремится к нулю при неограниченном возрастании модуля переменной интегрирования.

Этого недостатка лишены предложенные в [14] параболические и гиперболические контуры — в плоскости переменной и им соответствуют полосы постоянной ширины. Для них погрешность применения формулы трапеций для вычисления интеграла (4) убывает при увеличении ширины полосы регулярности функции (5), порожденной изображением F(z) и выбранным контуром интегрирования 1(и).

3. НОВЫЕ КОНТУРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ФОРМУЛЕ ОБРАЩЕНИЯ

Если все особые точки изображения расположены в левой полуплоскости, то в формуле обращения (1) можно положить с = 0. В противном случае вместо F(z) будем работать с функцией F(z + а), а > 0 (соответствующей функции-оригиналу/(?)ехр(—Ш)) с особыми точками в левой полуплоскости.

Итак, считаем, что в формуле обращения (1) имеем с = 0.

В качестве контуров Ь в формуле (2) возьмем приведенные на фиг. 1, 2 кривые, состоящие из прямолинейных участков Ь1, Ь2, Ь3.

На участке Ь2 для обоих контуров параметр г изменяется по закону г = хЫ, х е [—1, 1], Ь > 0.

Очевидно, что первый контур является частным случаем второго (если углы наклона участков Ь1, Ь3 второго контура равны нулю), тем не менее, целесообразно его рассмотреть отдельно.

Ь3

Ь2

Ь1

Фиг. 1. Первый контур.

Ы

0

Фиг. 2. Второй контур.

1. Случай первого контура. На участке L1 имеем z = х — bi, x е (—да, 0], а на участке L3 z = —х + bi, х е [0, да). Равенство (2) записывается в виде

f{ 0 = 2Л- \ezF{z) dz = ¿1 1+ 1+ i J ez'F(z) dz. (6)

После замен переменной z получаем

да

ieztF(z)dz = e~'bt Je~xtF(- x - bi)dx,

L, 0

1

JeztF(z)dz = bi JeibtxF(ibx)dx, (7)

-i

да

г) йг = -е1" - х + Ы) йх.

о

Опишем эффективные методы вычисления интегралов (7). Начнем с интегралов вида

1

jвlaxg(x) йх. (8)

-1

Число ю = Ы может быть большим, так что подынтегральная функция в (8) сильно колеблющаяся, что затрудняет вычисление интеграла с помощью стандартных квадратурных формул.

Воспользуемся предложенным в [15] способом приближенного вычисления интегралов вида (8): дана квадратурная формула Гаусса (см. [16]) с п узлами алгебраической степени точности 2п — 1:

1

п

|^{х)йх - ^АV(Xj). (9)

1 j = 1

Ее узлы — корни многочлена Лежандра Рп(х).

Построим интерполяционный многочлен Ьп-1(х) для функции g(х) по значениям g(х1), ..., g(хn) и представим его в виде разложения по многочленам Лежандра:

п - 1

£п - 1(х ) = ^ СкРк {х ),

L

коэффициенты которого точно вычисляются с помощью формулы Гаусса (9):

п

2 к + 1-

ск =

£ (X) Рк (X) .

2

1 = 1

Погрешность интерполяции представима в виде

g(x) - Ьп 1 (х) = ¿-ш Рп (X), ^ 6 [-1, 1 ]. (10)

п! (2п)!

Полагая в формуле (8) g(х) ~ Ь„ _ х(х) и используя известное равенство

1

¡е*хРк(х)йх = I ^Jk +1/2(га),

1 П г— П-1

]У^(х)йх * £Б^га^), Я/га) = А^ £ 2к+-1 ^к +1/2(га)Рк(х,), (11)

М*) = ¡е"**^(х) - Ln- 1(х))dx

-1

где ,Д,(га) — функция Бесселя, придем к интерполяционной квадратурной формуле

1 п I- п -1

, !а х ч , ( ^ ^ ч ^ Ч ^Ч .12 П

-1 1 = 1 'к = 0 погрешность которой равна

1 -1

и в силу преставления (10) оценивается неравенством

К< (х)|. (12)

(2 п -1 )!!Т2пЛ [-1, и

В роли g(х) выступает функция Ш(1Ьх). Для вычисления коэффициентов Dj(гa) нужны значения функций Бесселя. Один из способов их вычисления указан в [15]. Современные математические пакеты (например Мар1е) позволяют находить их без всяких затруднений. Эффективный алгоритм нахождения корней многочленов Лежандра и построения формулы Гаусса (9) приведен в классической работе [17].

В случае недостаточной точности оценки (12) для избранного п можно поступить двумя способами: 1) построить формулу Гаусса с большим числом узлов; 2) применить составную квадратурн

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»