ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2004, № 4, с. 3-11
УДК 550.37
О ДЕКОМПОЗИЦИИ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ ГЕОЭЛЕКТРИКИ НА ОСНОВЕ АЛГОРИТМА ШВАРЦА
© 2004 г. М. Н. Юдин, В. М. Юдин
Московский государственный геологоразведочный университет, г. Москва e-mail: judin@msgpa.msgpa.ru Поступила в редакцию 17.10.2002 г.
Рассмотрены актуальные проблемы численного моделирования электромагнитных полей. Предложена модификация декомпозиционного решения задач геоэлектрики на основе альтернирующего метода Шварца, которая обеспечивает высокую скорость сходимости итерационного процесса и уменьшает количество решаемых подзадач. Кроме того, алгоритм обеспечивает минимально возможные размеры сеточной области, в которой одна из подзадач решается численно. На простых моделях исследована сходимость описанного в работе итерационного процесса. Построены алгоритмы декомпозиции задач произвольной размерности и экономичные способы согласования численного и аналитического решений подзадач. Приведены результаты расчетов по полуаналитическому решению двумерной задачи МТЗ и данные о скорости сходимости итерационного процесса.
ВВЕДЕНИЕ
Типичной моделью среды в геоэлектрике является локальная неоднородность, содержащаяся в относительно простой по структуре неограниченной среде с регулярным распределением свойств. Чаще всего вмещающая среда является горизонтально-слоистой (электромагнитные зондирования на постоянном и переменном токе) или цилиндрически-слоистой (задачи каротажа или наземной электроразведки с источником поля в скважине). Решение для таких относительно простых моделей может быть найдено аналитически и представлено в виде несобственных интегралов (интегралов Фурье или Фурье-Бесселя). Задача состоит в изучении влияния достаточно сложно построенной локальной неоднородности на поле в слоистой среде.
Как известно, применение универсальных численных методов решения задач (метод конечных разностей или метод конечных элементов) в неограниченных областях требует решения ряда проблем. Основные из них состоят в следующем.
1. Нужно вместо неограниченной области перейти к области конечных размеров. Как ее выбрать?
2. На границе сеточной области нужно вместо условий на бесконечности задать краевые условия. Как это сделать, если граничные значения будут известны только после решения задачи?
Обе проблемы можно решить посредством алгоритмов, базирующихся на идеях альтернирующего метода Шварца. Декомпозиция сложных задач на ряд более простых подзадач и "сшивание" их решений посредством альтернирующего метода Шварца обсуждаются в работах [Канторович,
Крылов, 1962; Завадский, 1972; Юдин, 1982; Вань-ян и др., 1984]. Обобщение алгоритма Шварца на задачи геоэлектрики получили название декомпозиционного альтернирующего метода (ДАМ) [Юдин, 1985]. Один из многочисленных вариантов декомпозиции является алгоритм глобальной декомпозиции (ГДАМ). Суть его состоит в последовательном решении внешних и внутренних краевых задач, связанных между собой в итерационном процессе через краевые условия. Для обеспечения связи между задачами необходимо иметь непустое пересечение областей, в которых решаются задачи, участвующие в итерационном процессе Шварца. В нем одновременно строится решение задачи и краевые условия на границе сеточной области. Скорость сходимости последовательных приближений к искомому решению зависит от величины перекрытия (наложения) областей.
Развиваемые нами декомпозиционные подходы к решению прямых задач математической физики, базирующиеся на использовании альтернирующего метода Шварца, нашли применение при численном моделировании процессов распространения загрязнений в атмосфере [Filatov и др., 2001; Alexandrov, Filatov, 2002].
ГДАМ в сочетании с численным решением краевых задач методом вейвлет-Галеркина [Юдин и др., 2001] позволяет справиться с проблемами, возникающими при аппроксимации граничных условий в вейвлет-базисе с большим числом коэффициентов фильтра быстрого дискретного вейвлет-преобразования [Юдин и др., 2002].
Одним из недостатков алгоритма глобальной декомпозиции является необходимость решения ряда внешних краевых задач [Юдин,1985]. Цель
Рис. 1. Двумерная модель среды. Горизонтально-однородная слоистая среда содержит локальную двумерную неоднородность.
обсуждаемой в настоящей статье модификации ГДАМ состоит в достижении высокой скорости сходимости итерационного процесса Шварца за счет максимально возможной площади наложения областей, уменьшении количества решаемых подзадач и минимизации размеров области, в которой задача решается численно. Основные идеи этого варианта ГДАМ изложены в статье [Юдин М.Н., Юдин В.М., 2002].
Когда нормальная модель представляет собой слоистую среду, применение преобразования Фурье или Фурье-Бесселя к таким задачам понижает их размерность и обычно приводит к одномерным задачам для слоистых моделей среды с кусочно-постоянным распределением свойств. Поэтому сначала изучена сходимость модифицированного алгоритма Шварца на одномерных задачах, допускающих аналитические решения. Затем построен алгоритм вычислений применительно к стационарным и квазистационарным 2О и 3О задачам геоэлектрики и приведены результаты расчетов для двумерной задачи МТЗ (Е-по-ляризация).
ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим следующую математическую модель (рис.1).
1. Имеется неограниченная область О с относительно простым распределением свойств среды. (Классическим примером является слоистая модель с кусочно-постоянным распределением свойств).
2. Ограниченная область О содержится в области О.
3. Существует алгоритм решения краевой задачи в области О. (Области О соответствует изучаемая относительно сложно построенная неоднородная часть модели).
4. Пусть известно решение в области О с О. Существует алгоритм решения задачи в области О, учитывающий решение в О.
Ясно, что в такой модели обеспечивается максимально возможное наложение областей О и О, т.к. О п О = О.
На начальном этапе вычислений решение задачи в О не известно. Для того, чтобы найти его первое приближение будем считать, например, что поле на границе дО этой области равно нормальному полю в слоистой среде в отсутствии не-однородностей.
Предлагаемый авторами алгоритм вычислений, базирующийся на альтернирующем методе Шварца, состоит в выполнении следующих шагов.
1. Найти решение задачи Дирихле в области О с приближенно заданными краевыми условиями.
2. Предполагая решение внутри области О известным, найти решение задачи в области О.
3. Используя решение в О, рассчитать поле на границе дО.
4. Если процесс не установился, перейти к пункту 1, иначе - к пункту 5.
5. Конец вычислений.
В зависимости от сложности модели среды решение задачи в ограниченной области О находится численно или аналитически. Ее численное решение здесь не будет обсуждаться, потому что оно рассмотрено в большом числе известных работ. Ниже сначала будет рассмотрено решение в кусочно-однородной слоистой среде (области О) в предположении, что каждый горизонтальный слой может содержать источники поля. Далее будет исследована сходимость метода Шварца применительно к одномерной модели среды.
РЕШЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ
Рассмотрим одномерную модель реальной среды с кусочно-постоянными свойствами, которые описываются функциями п(г) и у(г), определенными при г ^ 0, причем функция п(г) зависит от у(г). Пусть эти функции имеют разрывы в точках
0 = го<г\ < ... <гп-1 .
Далее потребуется решение следующей вспомогательной задачи. Найти функцию и (г), удовлетворяющую неоднородному дифференциальному уравнению
и"(г) - п2(г) и(г) = г), 0 < г <~, (1)
условиям сопряжения на границах разрыва функций п(г) и у(г)
[и] = 0, [у-1 и'(г)] = 0, (2)
краевому условию и условию на бесконечности
и | г = 0 = и о, и (г 0; г^ -. (3)
Задачи вида (1)-(3) возникают при расчете электромагнитных полей в слоистых средах. В этом
случае цт = ^Х2 + к2т, к2т = -г'юцат, где т - номер слоя, к - волновое число, ю - круговая частота, а -проводимость, ц - магнитная проницаемость, г -мнимая единица. В формуле (2) параметру у соответствует магнитная проницаемость (и соответствует компонента £-поля), удельная электропроводность (и соответствует компонента Н-по-ля) или удельное сопротивление (и соответствует потенциал постоянного тока). Вещественный параметр Х появляется, если для решения задачи в слоистой среде применяется преобразование Ханкеля (Фурье-Бесселя) или преобразование Фурье. В одномерных задачах МТЗ Х = 0, цт = кт.
Решение задач типа (1)-(3) рассмотрено в большом числе работ различных авторов (см., например, [Бердичевский, Дмитриев, 1992]). Здесь мы приведем ее решение в виде, удобном для дальнейшего использования в настоящей статье [Юдин,1985].
От(г, £; Лт, кт) =
Обозначим
?1, т ( г' Лт, кт ) •
[ П т ( К - I ) ] (Пт^т ) ,
е , К = —.
эИ (Птг)
к ф —
(4)
?2, т(г' Лт' кт) •= 4
(ЦтЬт )' 0, Ьт = —
Здесь кт := гт - гт - 1, г := г - гт - 1 - локальная координата, г е [гт - 1, гт] и г е [0, кт].
Интервал [гт - х, гт] с постоянными свойствами будем также называть т-тым слоем. Решение в т-том слое принимают вид
ит(г) = Ат-1 т + Ат?2, т + фт(г) , (5)
где фт( г) - частное решение неоднородного уравнения. Оно может быть представлено в виде
фт(г) = гт-1 + ООт('г, £; П тт
(6)
где От( г, £ Пт, кт) - функция Грина для уравнения (1) [Диткин, Прудников, 1972]
'?1,т(£)Пт «и(Птг), г <£,
-42, т (ОПт^И [Пт ( Ьт - г )], г > £
(7)
удовлетворяющая однородным краевым условиям на границах пласта.
В таком представлении решения автоматически обеспечивается непрерывность функций на границах разрыва свойств модели. Действительно, ит(гт) = ит + 1(гт) = Ат т.к.
фт(кт) = фт +1 (0) = 0; ?1, т(Ьт' '' • ) = 0, ?2, т(кт, •' • ) = 1; т +1 (0' • ) = 1, 42, т +1 (0' •' • ) = 0.
(8)
Выполнение второго условия сопряжения (2), граничного условия и условия на бесконечности (3) приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных значений коэффициентов Ат с трехдиагональной матрицей коэффициентов следующего вида :
А1( С1 + С2) + А2Ь2 = - и¿1 + 81,
Ат - 1 Ьт + Ат( Ст + Ст + 1 ) + Ат +1 Ьт +1 = 8т,
т = 2, 3, п - 2,
Ап-2 Ьп-1+ Ап-1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.