ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 6, 2014
УДК 531.36
© 2014 г. А. А. Буров, И. И. Косенко
О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ ЛАГРАНЖА
Уравнения Лагранжа рассматриваются в случае, когда функция Лагран-жа не зависит от части скоростей. Исследуются свойства возникающих дифференциально-алгебраических уравнений. Доказывается, что при выполнении условий невырожденности возникающие уравнения сводятся к дифференциальным уравнениям Лагранжа меньшей размерности. В качестве примера рассматривается задача о плоских колебаниях упругого маятника.
Дифференциально-алгебраические уравнения — предмет активного изучения прежде всего в связи с исследованием сингулярно возмущенных систем, возникающих в различных задачах механики, в частности, механики длинных молекул. Особое внимание уделяется вопросам численного исследования таких систем, а также задачам теории управления (см., например, [1—4]). Однако исследование дифференциально-алгебраических уравнений Лагранжа и Гамильтона именно методами лагранжевой и гамильтоновой механики остается несколько в тени [5—7].
Настоящая работа мотивирована многочисленными исследованиями, посвященными задачам динамики твердых тел с упруго присоединенными подвижными элементами, а также движению упругих систем в квазистатическом приближении [8—15] (см. также [16]).
1. Постановка задачи и основное утверждение. Под системами дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ) понимают системы вида
0 = Р (X, У), У = О (X, У), X е кт, У е
Р : Кт х ^ Кт, О : Кт х ^
При выполнении условий невырожденности
дР * о д X
первую, алгебраическую, подсистему ДАУ из (1.1) по крайней мере локально можно разрешить относительно X. Подстановка найденного решения X = X(Y) в правую часть второй, дифференциальной, подсистемы ДАУ (1.1) приводит к системе
У = О (X (У), У) (1.2)
замкнутой относительно У Для ДАУ (1.1) ставятся задачи о существовании и единственности решений, а также о существовании частных решений и их устойчивости, о наличии первых интегралов и т.д.
Подстановка выражения X = X(Y) в алгебраическую подсистему ДАУ (1.1) и дифференцирование получившегося тождества по Y дает
(Ж ^ д Р- 1 дР (13)
дУ д X дУ
Дифференцирование алгебраической подсистемы ДАУ (1.1) позволяет найти скорость изменения переменных X. Имеем
0 = д-*± + дРу
дХ дУ
откуда при выполнении того же условия невырожденности следует, что
X = -дР-1 дРо (1.4)
Х У
Рассмотрим систему уравнений Лагранжа
| дг = дг, ч = уч, ч = (х' У)е х)х У) (1.5)
dtд\q дч 4
с функцией Лагранжа
Г = Ь(х, у, уу) (1.6)
не зависящей от скоростей X = Ух. В этом случае уравнения (1.5) принимают вид
0 = ^, X = Ух (1.7)
х
1 ду- = дг, у=Уу (1.8)
dtдУy ду '
Первая подсистема уравнений (1.7) — алгебраическая по всем входящим в нее переменным: х, у и Уу, т.е. система (1.7), (1.8) представляет собой частный случай системы (1.1). Это позволяет называть уравнения (1.7), (1.8) в целом системой ДАУ Лагранжа. В развернутом виде уравнения (1.8) записываются так:
д2 г Ух+д2Г у у+Уу = дГ, у = Уу (1.9)
дуудх х дУ2 у дууду у ду'
Уравнения (1.7), (1.9) образуют систему из 2€ + k обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и k алгебраических уравнений.
Выразим из первой подсистемы (1.7), представляющих собой алгебраическую составляющую изучаемых уравнений, переменные х:
X = х(Уу, у) (1.10)
В дальнейшем будем считать, что это может быть сделано единственным образом.
Замечание. ДАУ Лагранжа хорошо известны в механике голономных систем — это так называемые уравнения Лагранжа первого рода. Если L = L(y, Уу) — функция Лагранжа, /¡(у) = 0 (¡' = 1, ..., к) — уравнения связей, то движение описывается "уравнениями Лагранжа с множителями", для которых функция Лагранжа имеет вид
(X, у, Уу) = Г + £ Х1/1, X = (Х1}...,Хк )т
Вместе с тем возникающая в этом случае алгебраическая подсистема ДАУ не содержит X и поэтому не может быть разрешена относительно X по типу (1.10). Поэтому в дальнейшем "уравнения Лагранжа с множителями" рассматриваться не будут.
Дифференцируя соотношение (1.10) по времени, имеем равенство
дх^ . дх.
позволяющее переписать уравнения (1.9) в виде
V = -V Ч--V
¥х дVyVy + д yVy
+ дх|V + + -^ЬЗх^ = ЗЬ, у = V (1.11)
д^ д^хд^/ у 'дvyдy с^у3х3у^ у ду у
Благодаря выполненной подстановке (1.10) система уравнений (1.11) замкнута. С другой стороны, дифференцируя, соответственно, по у и по v тождество
дЬ ( х ( Уу, у ) , Уу, у) =
дх
= 0
справедливое в силу того, что (1.10) — решение уравнений (1.7), имеем два равенства, из которых можно выразить величины дx/дy и с^/д^. Подстановка этих величин в уравнения (1.11) позволяет представить их в виде
(,, 2Т ~2Т 2Т !-1 ~2
д Ь д Ь
д-Ь| -дЬ+
дх2/ ^^у/ у
(1.12)
( ~22т ~2Т 2Т!-1 ~2,
Ь Ь
дvyдy дvyдx
д ЬI д Ь I дЬ
^ = у = ^
V дх2/ дхду/ у ду' у
Здесь предполагается, что во все выражения для частных производных подставлено решение (1.10). Пусть
Л( vy, у) = Ь(х(V у), vy, у)
Тогда в силу того, что (1.10) — решение уравнений (1.7), имеем выражения
зл = зь дх + дЬ = дЬ дЛ = дЬ дх + дЬ = дЬ (113)
ду дхду ду ду' дvy дxдvy дvy дvy
подстановка которых в уравнение (1.8) показывает, что справедливо
Утверждение. Уравнения (1.7), (1.8) совпадают с уравнениями Лагранжа
± з^ = Зл , у = ^у (1.14)
dtдvy ду
2. Первые интегралы уравнений движения. Циклические переменные и понижение порядка по Раусу. Функция У = У(Х, Y) — первый интеграл уравнений (1.1), если она сохраняет свое значение на любой траектории системы. В этом случае в силу равенства (1.4) производная функции У в силу системы ДАУ, имеющая вид
^ = ЗУх + ЗУ у = ЗУ (_зе1 ЗРС + ЗУ с = (- ЗУ ЗР + ЗУ! с (21)
dt дх ЗУ дх 'V дх ЗУ ) ЗУ V дХ дХ ЗУ дУ^ (.)
+
обращается в нуль. Функция в правой части равенства (2.1) считается ограниченной на поверхность в пространстве (X, У), определяемую алгебраической подсистемой системы (1.1). Рассмотрим также функцию
!'(У) = !(Х(У), У)
Дифференцирование этой функции в силу уравнений (1.2) с учетом тождества (1.3) дает
d!L = д! о = Г д! дХ + д! о = Г- д! дР-! дР + д! о (22)
dt дУ V дХдУ дУ^ V дХ дХ дУ дУ^ (.)
Тогда из обращения в нуль правой части равенства (2.1) следует обращение в нуль правой части равенства (2.2). Таким образом, если ! — первый интеграл уравнений (1.1), то функция !' — первый интеграл уравнений (1.2).
По предположению, функция Лагранжа L не зависит явно от времени. Тогда функция
дГ
дуу
будет первым интегралом уравнений (1.7), (1.8). Действительно, d! =
V d t д У
ууу
О
! = 1дт, УyJ - Г (2.3)
^ = Г ± дг I + Г дг у;| - Г дг | - Г дг, о - Г дг, У.
dt Vdtдy' ^ду' ^ду' ^ду' ^дх'
■ - дГ _ дГ У Л + Г -д_г
^д Уу ду. _дх.
так как в силу уравнений (1.7), (1.8) выражения в квадратных скобках обращаются в нуль.
Функция
дл
У
!0 = V д--, УyJ - л (2.4)
у
представляет собой первый интеграл уравнений (1.14). В силу второй группы соотношений (1.13) она получается из функции !0 подстановкой в нее соотношений (1.10).
Кроме того, если из переменных у можно выделить переменные у = (у:, ..., ук)т, такие, что функция L от у явно не зависит, то оставляя за прочими переменными из у прежнее обозначение, можно указать семейство из к интегралов
! = дг~ = Р^ 1 = к (2.5)
системы уравнений (1.7), (1.8). При этом, как обычно, координаты у можно именовать циклическими.
Заметим, что если функция L не зависит явно от у, то и функция Л не зависит от этих переменных и функции
! = М., г = 1.....к
д<
представляют собой первые интегралы уравнений (1.14).
Наличие циклических координат позволяет осуществить понижение порядка по Раусу. Если соотношения (2.5), записанные в векторном виде как
дЬ т т
ЗУ = р^, % = (^1, --у*) , р^ = (р^, -,
и У
можно единственным образом разрешить относительно v¥:
% = % (x, y, vy; р¥ )
то стандартные рассуждения позволяют представить уравнения (1.7) и (1.8) в виде
а дЯ ■ 0 = х = vx
дх х
dдR = ЗЯ, у = v
dt дvy ду' у
с функцией Рауса
Я(х, у, vy; ) = [Ь - • %^ = yv(xJ у, vy. р¥)
3. Дифференциально-алгебраические уравнения Гамильтона. От ДАУ Лагранжа с помощью преобразования Лежандра несложно перейти к ДАУ Гамильтона. Пусть ^ = = у, py) — предполагаемое единственным решение системы алгебраических уравнений
3L
= Py
y
Введем функцию Гамильтона
Щ X, У, Vy; Py ) = [ Py • Vy - Z]Vy = Vy( X> y, py)
Тогда
дщ = dVy _ dL dVy - dL = - dL
dy y dy dvy dy dy dy
dH = dVy - dL dVy _ dL = - dL
dx y dx dVy dx dx dx
dH dVy dL dVy
- = Vy + py-y----y- = Vy
py py Vy py
и уравнения (1.7) и (1.8) можно представить в виде
0 = дЩ, x = Vx (3.1)
x
• dH • dH „ оч
у = Р у = - Т (3.2)
Py y
В силу предполагавшейся независимости функции Лагранжа от времени функция Гамильтона = H — первый интеграл уравнений движения.
Если же функция Лагранжа не зависит явно от координат у = (у..., ук)т, то функция Гамильтона также не зависит от этих координат, и соответствующие им импульсы
Т
! = (Ру,, • • •, Рук) — первые интегралы уравнений движения.
Пусть x = x(y, py) — единственное решение первого уравнения (3.1). Рассмотрим функцию
Ж = Н(х(у, ру), у, ру) (3.3)
Далее, в силу равенств (3.1) и (3.3) справедливы соотношения
дЖ = дНдх + дН = дН (34)
у х у у у
дЖ = дН дх + дН = дН (35)
ру х ру ру ру
учет которых в уравнениях (3.2) позволяет заключить, что справедливо
Утверждение. Уравнения (3.1), (3.2) совпадают с уравнениями Гамильтона
у = дЖ р = - дЖ дру' у ду
с функцией Гамильтона (3.3).
4. Установившиеся движения и их устойчивость.
Существование. Согласно теории Рауса [17] (см. также [18]) наличие у системы первых интегралов позволяет найти ее установившиеся движения и исследовать достаточные условия их устойчивости. Установившимся движениям отвечают критические точки первых интегралов. Пусть !(Х, У) — первый интеграл уравнений (1.1). Так как эта предполагаемая гладкой функция неизменна вдоль траекторий системы, то, как следует из равенств (2.1), выполняется соотношение
А(Х(У), У)в(Х(У), У) = 0; А = V- — — — + —1 (4.1)
\ \ ь > \ \ >,> , V дХ дХ дУ дУ1
Дифференцируя тождество (4.1), имеем
дА'6' + А'ддУ' - 0, О'(У) = О(Х(У), У), А'(У) = А(Х(У), У)
В критиче
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.