УДК 536.46
О ДИФФУЗИОННОМ ИСПАРЕНИИ (СУБЛИМАЦИИ) КРУПНОЙ АЭРОЗОЛЬНОЙ ЧАСТИЦЫ ПРИ ЗНАЧИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕПАДАХ ТЕМПЕРАТУРЫ В ЕЕ ОКРЕСТНОСТИ © 2015 г. Е. Р. Щукин, Н. В. Малай, З. Л. Шулиманова, Л. А. Уварова
Объединенный институт высоких температур РАН, Москва E-mail: evgrom@yandex.ru Поступила в редакцию 31.03.2014 г.
Проведено математическое моделирование установившегося процесса диффузионного испарения (сублимации) неподвижной крупной несферической частицы при значительных перепадах температуры в ее окрестности. Найденные формулы позволяют оценивать температуру и скорость изменения массы частицы с учетом формы ее поверхности, термодиффузии и зависимости коэффициентов переноса от температуры. Проведенный анализ показал, что скорость испарения (сублимации) частицы может сильно зависеть от формы ее поверхности. Заметное влияние на скорость испарения частицы может оказывать и термодиффузия.
Б01: 10.7868/8004036441503014Х
ВВЕДЕНИЕ
В реальных аэрозолях на характер распределения температуры и концентраций газообразных компонентов значительное влияние могут оказывать диффузионно испаряющиеся при больших перепадах температуры крупные частицы [1—8]. В этом случае, проводя математическое моделирование протекающих в аэрозоле теплофизических процессов, нужно учитывать и присутствие этих частиц в несущей газообразной среде [2—10]. У большей части встречающихся на практике аэродисперсных систем, содержащих и диффузионно испаряющиеся крупные частицы, среднее расстояние между частицами значительно превосходит их характерные размеры, а числа Рейнольдса и Пекле частиц много меньше единицы [3—5, 11—15]. В таких системах математическое моделирование связанных с испаряющимися частицами теплофизи-ческих процессов проводится с учетом закономерностей испарения в бесконечной среде одиночных неподвижных частиц [3—5, 11—15]. Поэтому изучение закономерностей протекающего и при значительных перепадах температуры процесса диффузионного испарения одиночных неподвижных крупных частиц представляет значительный научный и практический интерес.
Испаряющаяся частица считается крупной, если на процесс ее испарения слабое влияние оказывают поверхностные скачки температуры и концентрации паров [11—15]. При этом температура газа и концентрация паров вещества частицы у ее поверхности соответственно равны температуре поверхности частицы и концентрации насыщенных паров [11—15]. При испарении частиц с
коэффициентами испарения, близкими к единице, к крупным частицам относятся частицы с числом Кнудсена Кп < 0.01 [12]. Коэффициенты испарения, близкие к единице, имеют капли многих металлов [16]. В двухкомпонентном газе число Кп= к5/ат [12], где — максимальная из двух средних длин свободного пробега молекул газа у поверхности частицы, ат — минимальный из характерных геометрических размеров частицы.
Следует отметить, что в состав аэрозолей могут входить испаряющиеся крупные несферические частицы [11—14, 17]. На интенсивность переноса молекул пара в окрестности диффузионно испаряющихся частиц оказывает влияние и термодиффузия. Но результаты опубликованных ранее теоретических работ [2—8, 18] позволяют оценивать при значительных перепадах температуры диффузионное испарение только одиночных крупных неподвижных частиц с формой поверхности, близкой к сферической, причем без учета влияния на процесс переноса молекул пара термодиффузии.
С учетом влияния термодиффузии в квазистационарном приближении приведен вывод формул, описывающих и при значительных перепадах температуры установившееся диффузионное испарение одиночных неподвижных высокотеплопроводных крупных частиц как со сферической, так и несферической формой поверхности. При выводе формул были учтены сжимаемость среды и зависимость от температуры коэффициентов теплопроводности и диффузии. Проведен численный анализ полученных результатов.
6
561
Z
п = 0
Z
п = 0
s—
SZ
X
Т-
ЧП =
% = %0
Рис. 1. Вытянутый (a > b) и сплюснутый (a < b) сфероиды.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В двухкомпонентном газе с температурой Тх, концентрацией молекул п1аа, п2х, и давлением рх находится испаряющаяся в диффузионном режиме неподвижная крупная несферическая частица с площадью поверхности Бр. Молекулы первого компонента — это молекулы вещества, из которого образована частица. Молекулы второго компонента фазовый переход на поверхности частицы не испытывают. Внутри частицы может происходить выделение тепловой энергии [3—8]. Коэффициент теплопроводности частицы к; много больше коэффициента теплопроводности к газообразной среды. При этом температуру 7 поверхности частицы можно считать постоянной величиной [3—8]. Температура 7 сильно отличается по величине от Тх [1—8]. Все процессы в системе газ—частица протекают квазистационарно в силу малости характерных времен тепловой и диффузионной релаксации системы [3—8, 11—17]. Размеры частицы достаточно малы, чтобы можно было пренебречь влиянием гравитационной конвекции на скорость испарения частицы. Коэффициенты к и диффузии Б зависят от температуры среды Т. В окрестности частицы относительная концентрация паров с1 ^ 1. В неравенстве с1 = = п1/п, п = п1+ п2; п1 и п2 — концентрации молекул газа. Когда с1 <§ 1 основными механизмами переноса молекул пара в окрестности частицы являются диффузия и термодиффузия. При этом можно пренебречь влиянием конвективного движения среды у поверхности частицы на процесс ее испарения [7, 15]. Такой режим испарения называют диффузионным [15]. Влияние диффузионного переноса молекул и лучистого теплообмена на теплообмен частицы с окружающей средой пренебрежимо мало [3—8]. В окрестности частицы п = р„/кТ [3—8, 11—17]. Рассматривается установившийся режим процесса испарения, время выхода на который значительно меньше времени испарения частицы [6].
ФОРМУЛЫ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ПРОЦЕСС ИСПАРЕНИЯ ЧАСТИЦЫ
В рассматриваемых условиях распределения T и c1 в окрестности частицы описываются следующей граничной задачей [5—10, 18, 19]:
divqT = 0, divq1 = 0;
y\sp = yt, y» = 1 C1Sp = C1S(Ti), Cl|» = C1» (1)
где y = T/Tœ, уг = Tt/T^, Cis (T) = п^(7)/%, n1S(T) — концентрация молекул насыщенного пара при температуре T„ nS = n\ = nx(Tx/Ti); первое
и третье из граничных условий задачи (1) выполняется в каждой точке поверхности частицы. В (1) qT и q1 — плотности молекулярных потоков тепла и пара, равные
qt = -kVT, q1 = -nD
Vq + KTT VT
(2)
В (2) D — коэффициент диффузии [19—21], KT— термодиффузионное отношение [19, 20], которое
при с1 < 1 равно Кт = КТС [19, 20, 22]. Коэффициент К(Т) называют термодиффузионным фактором [20, 22]. Решая (1), получаем следующие выражения для Т и с1:
Г (Т) = Г (т)иХ), с = (с1оа + [си (т) X х Г (Т) - С1„ ] [[ (Т)/Гз (Т)//Г2 (Т),
в которых/!(7) = Г кёТ, 7,(7) = ехр Г ((/Т)ёТ,
т ж Т ж
-7(7) = |>/пБ)Е2 (Т) ёТ. Зависимость функции
и(х^) от координат х^(хь х2, х3) находится при решении граничной задачи: А и = 0, = 1, Щ^ = 0.
Наиболее простой явный вид функция и(х^) имеет в случае сферических частиц с радиусом Я и вытянутых и сплюснутых с полуосями а и Ь сфероидальных частиц (рис. 1) [17, 18, 23]:
Щ = т/В, и (б) = 1п [У{г)1Пг о)], ¥(е) = [[е + 1)/(сЬе -1)], а > Ь; (4)
Щ(е) = У(е)1 У(е0), У(е) = агс^Ие, а < Ь, где г — радиальная координата [17, 23]; координаты е — это сфероидальные координаты, фиксированным значениям которых соответствуют вытянутые (при а > Ь) и сплюснутые (при а < Ь) сфероидальной формы координатные поверхности с общим центром, совпадающим с началом соответствующей сфероидальной системы координат [17, 23]. Поверхностям рассматриваемых сфероидальных частиц с заданными полуосями а и Ь соответствуют строго определенные значения координат е = е0, которые связаны с длинами а и Ь следующими соотношениями: а = ссИе0, Ь = се0, а > Ь;
а = се0, Ь = ссИе0, а < Ь, где с = ^|а2 - Ь2|, е0 =
(3)
a
Ф
b
= [ln(a + b)/\a - b\]/2. У сферических и сфероидальных частиц объемы Vp и площади Sp равны
Vp = (4/3)nR3, Vp = (4/3)nab2; Sp = 4nR2;
Sp = 2п |b2 + (ab/ e) arcsin ej, c = 2 - b2|,
e = c/a, a > b; (5)
Sp = 2n|b2 + (a212e) ln [(1 + e) (1 - e)]j,
e = c/b, a < b.
У многих недиссоциированных газов зависимости к и D от температуры Т в широком интервале ее изменения можно представить в виде степенных функций [9, 24], а коэффициент K® от температуры зависит слабо [19, 20, 22]. При этом
к = к„ya; D = D„y1+ffi; K® = const, (6) где y = T/Tx. Подставляя (6) в Fl(T) (3) и отношение F1(T)/F3(T), получаем
Fi(T) = kotTco0(M\ F2(T) = yK™,
F3(T) = (d nmDme(T)(T)), Fi(T)/ f3(t ) = nmDme(T)(T)etM)(T), etM)(T) = (y1+a -1)/(1 + a), e(T)(T) = (1 + a - ш + K1yd™^ -1).
При подстановке (7) в формулы (3) получаем y = [1 + U(xf)(y- - 1)]^(1+a),
(7)
c1 = +
c^Ti )y-
- c
1«
, 1+a-ffl+kT" ,4 ]
(y T - 1) I
, 1+a-ffl+kT1' 1\
(yi - 1)J
При испарении частицы от ее поверхности от-
водятся молекулярные потоки тепла QT и пара QM = (|Qt^Sp, Q1(T) = (|q^Sp, (8)
Q1 , равные
где d 8 р — дифференциальный векторный элемент поверхности частицы Яр, направление которого совпадает с направлением внешней нормали. Преобразовав (8) с учетом формул (3), получаем
= Fl{Ti)Qu,
q(t) = мвд(г) - ^](т)/F3(T)]QU,
(9)
где Ои = -Э V Ш8р. Из сравнения выражений (9) следует, что
Ql(T) = [Ti)F2T,) - ^][VFз(T■)]QГ. (10)
При коэффициентах переноса (6) формулы для потоков (9) упрощаются
QT ) _ К »TCD
'2м )(T)Qu ,
Q(T) = n„D„[c1s(T)ykt - qjet )(T)em)(T)Qu.
В формулы для потоков QT
f)(
l(m)
л(м),
(11)
л(т)
(12)
и Q| ' входит поверхностный интеграл Ои. Его величина зависит от размеров и формы поверхности частицы. В случае сферических и сфероидальных частиц выражения для соответственно равны
Qu = 4пЯ; Qu = 4пс1а (а > Ъ), Qu = 4пс1ъ (а < Ъ), где 1а = 2/1п [(1 + е)/(1 - е)], 1Ь = 1/ аг^е, е = с/а.
В случае известных Тх, п1аа, п2х, и рх, величина Т при установившемся процессе испарения находится с помощью условия сохранения тепла
Qw = Q(тM) + ЦтО^, (13)
где — суммарная мощность внутренних тепловых источников, Ь1 — удельная теплота испарения при температуре Т, т1 — масса молекулы (атома) пара. Подставляя в условие (13) выражения для
^^) и Q((T) (11), получаем
Qw = {1 + (Цт^Бп
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.