научная статья по теме О ДИНАМИЧЕСКОМ ПРОЦЕССЕ РАЗДУВАНИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК ИЗ ЭЛАСТОМЕРОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗБЫТОЧНОГО ДАВЛЕНИЯ Математика

Текст научной статьи на тему «О ДИНАМИЧЕСКОМ ПРОЦЕССЕ РАЗДУВАНИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК ИЗ ЭЛАСТОМЕРОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗБЫТОЧНОГО ДАВЛЕНИЯ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 78. Вып. 2, 2014

УДК 539.3

© 2014 г. Р. Ш. Гимадиев, Т. З. Гимадиева, В. Н. Паймушин

О ДИНАМИЧЕСКОМ ПРОЦЕССЕ РАЗДУВАНИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК ИЗ ЭЛАСТОМЕРОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗБЫТОЧНОГО ДАВЛЕНИЯ

Для тонких оболочек, выполненных из резиноподобных эластомеров и находящихся под действием изменяющегося во времени гидростатического избыточного давления, в безмоментном приближении сформулирована задача о динамическом процессе их деформирования. Для случая произвольных перемещений и деформаций составлена система нелинейных уравнений движения, в которых в качестве искомых неизвестных функций приняты истинная деформация поперечного обжатия оболочки, соответствующая использованию предложенной ранее модифицированной модели Кирхгофа—Лява, и координаты точек деформированной срединной поверхности относительно неподвижной декартовой системы координат. Физические соотношения, связывающие компоненты истинных внутренних усилий с кратностями удлинений и мерой сдвиговой деформации, построены на основе соотношений, предложенных ранее К.Ф. Черныхом. Разработан конечно-разностный метод решения сформулированной начально-краевой задачи, на основе которого при различных скоростях нарастания давления исследован динамический процесс раздувания оболочек вращения с произвольной формой образующей, установлены неустойчивые этапы их деформирования с определением соответствующего предельного (критического) значения давления, после достижения которого дальнейший рост деформаций происходит при уменьшающихся значениях внутреннего давления.

Изделия, представляющие собой тонкостенные оболочки из высокоэластичных материалов (синтетический эластомер, латексная пленка, натуральная резина) и подвергающиеся в процессе эксплуатации значительным деформациям (относительное удлинение до 1000%), находят широкое и разнообразное применение: катетеры, применяемые в медицине, подушки безопасности автомобилей, воздушные шары и др. Расчеты на прочность таких элементов конструкций, как правило, должны базироваться на использовании соотношений нелинейной механики деформируемых твердых тел и тонких оболочек при конечных перемещениях и деформациях. Построению таких соотношений в тех или иных вариантах посвящена обширная литература [1—12]. Примеры их применения к решению некоторых задач механики эластомеров приведены, в частности, в монографии [3]. Построенные в ней физические соотношения, связывающие компоненты истинных напряжений с компонентами истинных деформаций в виде кратностей удлинений, были использованы [11] для постановки и решения задачи о раздувании и статической неустойчивости закрытой по торцам цилиндрической оболочки, изготовленной из резины и находящейся под действием статического внутреннего давления. Характерная особенность этой задачи — разделение процесса нагружения оболочки на два этапа: на первом этапе увеличение диаметра и длины оболочки происходит только при нарастающем давлении; на втором этапе дальнейшее увеличение указанных размеров оболочки и уменьшение ее толщины происходит путем накачивания в оболочку воздуха при уменьшающемся давлении. Механическое объяснение этого процесса заключается в наступлении статической неустойчивости оболочки из резины в условиях двухосного несимметричного растяжения, аналогичное процессу образования шейки в цилиндрических образцах из упругопластичных материалов в условиях их растяжения [10] в осевом направлении при статическом нагружении.

Цель данной работы — исследование описанного выше процесса нагружения внутренним давлением тонких оболочек из эластомеров в рамках динамической постановки задачи, обобщающей результаты проведенных ранее [4, 7, 10, 11] исследований. При ее формулировке принципиальное значение, как это следует исходя из анализа полученных ранее [11] результатов, имеет учет деформации обжатия оболочки в поперечном направлении, конечности компонентов истинных деформаций, введение в рассмотрение истинных напряжений по В.В. Новожилову [1] и использование определяющих соотношений [3], связывающих между собой истинные напряжения и истинные деформации.

1. Уравнения движения безмоментной оболочки. Предположим, что в момент времени t = t° пространство V0 недеформированной оболочки отнесено к системе криволинейных координат а1, а2, z, которая нормально связана со срединной поверхностью а0, имеющей основные базисные векторы г/5 = дг°/да' и компоненты основного мет-

0 0 -D

рического тензора Gy = r¡ г-. В принятой системе координат радиус-вектор произвольной точки M0 е V0 определяется равенством (здесь и в дальнейшем латинские индексы пробегают значения 1, 2, а греческие — 1, 2, 3)

rV,z) = Г0(а') + ze°, -h/2 < z < h/2 (1.1)

где г0 = г °(а') — радиус-вектор точки на поверхности а0, h — начальная толщина обо-

0

лочки, e 3 — вектор единичной нормали к поверхности а0, составляющий правосто-

- 0 0 ¡ /7^0

ронний триэдр с единичными векторами e¡ = г / s¡GH.

В процессе динамического деформирования оболочки радиус-вектор указанной

точки M0 е V0, перешедшей к моменту времени t в точку M(a', z) е V, по модифицированной модели Кирхгофа—Лява [11] будем определять представлением

R = R0 + U = г + z(1 + ф)е3, U = u + z[(1 + p)e3 - e0] (1.2)

где u = uae°a — вектор перемещений точек срединной поверхности а0, ф(а') — введенная в рассмотрение функция поперечной деформации, через которую кратность удлинений А,3 и истинная деформация е3 в поперечном направлении z определяются по формулам [11]

Х3 = 1 + ф, Е3 = ф (1.3)

а ea — единичные векторы на деформированной поверхности а с радиус-вектором г, для определения которых имеем формулы

e ¡ = г/ A, A¡ =4Gi, e3 = ei x e2 VGIGÜ/4G (14)

G = G11G22 - Gi22, G/ = г— г = дг/да' '

Отметим, что векторы e: и e2 направлены по касательным к координатным линиям а' в деформированном состоянии, e3 — по нормали к поверхности а. Разностью компонент метрических тензоров G - и G° определяются ковариантные компоненты тензора деформаций

в- = (G- - G°) / 2 (1.5)

служащие для вычисления кратностей удлинений и Х2 в направлениях единичных векторов e: и e2 и меры сдвиговой деформации sin у12 [9, 11] в соответствии с выраже-

ниями (ф12 — угол между базисными векторами rf и г2 в недеформированном состоянии)

Xi = 1 + Si =J1 + 2£(и), sin Y12 = /£(12)-, £(ij) = -5== (l-6)

X1X2 sin Ф12 plG?

где s i — относительное удлинение, sj — безразмерное значение ковариантных компонент тензора деформаций.

Считая оболочку тонкой и безмоментной, в сечениях а' = const и z = const деформированной оболочки, имеющей в момент времени t толщину [11]

И* = И (1 + е3) = И (1 + ф) = ИХ3

введем в рассмотрение векторы истинных напряжений о' и о3, задав их представлениями

i ij 3 33 /л -74

а = a ej, а = a e3 (1.7)

в которых величины а' и а33 — физические компоненты.

Интегрируя выражения (1.7) по толщине оболочки h*, получим

Tг = TiJeJ, T3 = T 33e3 (1.8)

где

TiJ = ИХ 3cJ, T33 = ИХ 3G33 (1.9)

Предположим, что на выделенный из оболочки бесконечно малый элемент, имею-

1J 2

7*, ~ ------- ---„„„„,„„ .„„.„„ „„„„„„ -------------

щий толщину h*, а на поверхности а — бесконечно малую площадь d ст = 4Gd а V а2,

действуют поверхностные силы р и р+, приложенные в точках лицевых поверхностей I = - й*/2 и I = Н*/2, а также массовая сила Q. Считаем их заданными в виде

р = ре^а = ре3-IGdа dа , Р = gh*pdF = gh*p4Gdа 1d а2 (1.10)

где р = р— + р+ — избыточное давление, действующее на оболочку и отнесенное к единице площади й<з, р — плотность материала оболочки в деформированном состоянии, которую в дальнейшем будем считать неизменной при рассмотрении оболочек из несжимаемого эластомера, g — ускорение свободного падения.

В приближении безмоментной теории формирующееся в оболочке внутреннее поперечное усилие Г33 и проекция главного момента внешних сил на направление нормали е3, в рассматриваемом случае равная

М3 = (р + - р ")//*

в соответствии с ранее полученными результатами [11] должны удовлетворять уравнению равновесия вида

Т33 =-(р + - р-(1.11)

-Т, „ 11 12 22 33

В силу того, что для введенных в рассмотрение истинных напряжений ст , ст , ст , ст имеют место оценки

11__ 12 22 ^ 12 11__ 33 22 ^ 33 33 , - +ч

ст > ст , ст > ст , ст > ст , ст > ст , ст ~ (р - р )

равенство (1.11) допустимо заменить равенством Т33 « 0, что позволяет считать формирующееся напряженно-деформированное состояние (НДС) оболочки плосконапряженным. Прикладывая далее к выделенному из оболочки бесконечно малому элементу все указанные выше внутренние и внешние усилия, а также инерционные силы, исходя из принципа Даламбера в векторной форме можно составить уравнение движения следующего вида:

рк*4о ^ = Д- ((Т 11е1 + Т 12е 2)^) + ((Т 22е 2 + Т 21е1к/сЦ) + (р + р И*)4о (1.12)

дг да да

в котором, в отличие от ранее полученных уравнений [11], неизвестными являются вектор-функция г и компоненты истинных внутренних усилий Т'.

В дальнейшем вместо трех неизвестных функций перемещений и^а1, а2, 0 введем в рассмотрение новые неизвестные, принимая для г представление

3

г = г(а1, а2, г) = ^ ху{ у = ху 1 у, ху = ху (а1, а2, г) (1.13)

У=1

где ху (у = 1,2,3) — новые неизвестные, представляющие собой координаты произвольной точки на а относительно неподвижной ортогональной декартовой системы координат Ох1х2х3 с ортами 1 у. Тогда для определения основных базисных векторов г и компонент метрического тензора О' будем использовать соотношения

Гj = дг/ да1 = г]у1 у, г]у = дху/ да1, 0]т = г; гт = г]кгщк (1.14)

При этом

е, = гЛ/ё" = 11у 1 у, ез = е1 х е ^ОпОп/4о (1.15)

где /5у = cos (e g, i Y) — направляющие косинусы, определяемые выражениями

/ j Y = rj,Y /

/31 = (/12/23 - /13/22WGUG2ll№ (1 16)

/32 = (/13/21 - /11/23^G11G22lJG

/33 = (/11/22 - /12/21^VG11G2^/VG

При составлении скалярных уравнений движения в декартовой системе координат для вектора g считаем справедливым представление g = gi 3. Тогда, проектируя уравнение (1.12) на декартовы оси и учитывая соотношения (1.16), получим три уравнения движения

д 2 х

р^л/g^1 = a (T % + t % WG2) +

dt да

+ _д_ ((т22/2Т + T \ + р^уЩ1 - 53Tph*g) (1.17)

да

где 531 = 532 = 0,

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком