ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 6, с. 1008-1019
УДК 519.633.9
О ДИНАМИЧЕСКОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ ПРАВОЙ ЧАСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ^
© 2015 г. В. И. Максимов
(620219 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16, Ин-т матем. и механ. УрО РАН; Уральский федеральный ун-т)
e-mail: maksimov@imm.uran.ru Поступила в редакцию 18.03.2013 г.
Рассматривается гиперболическое уравнение, подверженное воздействию внешних возмущений. Предполагается, что производятся измерения решения этого уравнения (возможно с некоторыми ошибками). Указываются алгоритмы восстановления (реконструкции) возмущений по данным измерений. Алгоритмы являются устойчивыми к информационным помехам и погрешностям вычислений. Библ. 16.
Ключевые слова: гиперболические уравнения, восстановление возмущений, вычислительные алгоритмы восстановления.
DOI: 10.7868/S0044466915060083
1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть V и H — действительные гильбертовы пространства. Пространство V вложено в пространство Hплотно и непрерывно: Vc H = H* с V*. Символы |• |V, | • |V* и | • |Н означают, соответственно, нормы в V, V* и H, а символы (•, •) и (•, •) — скалярное произведение в Ни двойственность между V и V*.
Рассматривается гиперболическое уравнение
x(t) + Ax(t) = Bu(t) +f(t), t e T = [t0,-9], (1.1)
с начальным условием
x( t0) = x0, x( t0) = x1,
где A : V—»- V* — линейный, непрерывный и симметричный оператор, удовлетворяющий (для некоторого c > 0) условию коэрцитивности
<Ay, y) > сЫ V Vy e V, (1.2)
f (•) e L2(T; H) — заданная функция, U — гильбертово пространство с нормой |• U (пространство возмущений), производная x (•) понимается в смысле пространства распределений (см. [1]), B — линейный непрерывный оператор, действующий из пространства Uв пространство H(B e L(U; Н)).
Следуя [2, с. 91], функцию *(•) e C(T; V)такую, что x (•) e W(T; V) = {£(•) e C(T; H) : z (•) e L2(T; V*)}, и выполняется соотношение
<x(t), v) + <Ax(t), v) = (Bu(t) + f(t), v) Vv e V при п.в. t e T, будем называть решением (слабым) уравнения (1.1) и обозначать символом x() = x(-; t0, x0, x1, u()). В дальнейшем полагаем, что вложение пространства Vв пространство Hкомпактно. Кроме того,
x0 e V, x1 e H.
Тогда (см. [2, с. 93]) при любом u(-) e L2(T; U) уравнение (1.1) имеет единственное решение (слабое).
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 12-01-00175-a, 13-01-00110-а), Программы поддержки фундаментальных исследований Президиума РАН "Динамические системы и теория управления" (проект 12-П-1-1019), Программы поддержки ведущих научных школ России (НШ-6512.2012.1) и Урало-Сибирского интеграционного проекта (12-С-1-1017).
Обсуждаемая в настоящей работе задача формулируется следующим образом. Имеется уравнение (1.1) с некоторым входным воздействием м(-). Заранее как это воздействие, так и отвечающее ему решение х(-) = х(-; ?0, х0, х1, м(-)) уравнения не заданы. В дискретные, достаточно частые моменты времени
Т еА = {т, }т= о, То = ^, тт = д, т, +1 = т1 + 5,
измеряются (с ошибкой) величины х (т,-) = х (т,-; ?0, х0, х1, м(-)). Результаты измерений — элементы ^ е Н — удовлетворяют неравенствам
-х(т;)|у* < к, I е[ 1 : т - 1 ], (1.3)
где число к е (0, 1) характеризует "ошибку" вычислений х (т,). Задача заключается в том, чтобы построить алгоритм приближенного восстановления неизвестного возмущения м(-).
Наряду с измерениями решения уравнения (1.1) в дискретные моменты времени (см. (1.3)) мы также рассмотрим случай непрерывного измерения, т.е. случай, когда в каждый момент ? е Т становится известной величина х (?) или ее приближение £,к(?) е Н. В последнем случае полагается, что функция £,к(-) есть элемент пространства ЬХ(Т; Н) и удовлетворяет неравенству
0 - х(о1 V* < к, г е Т. (1.4)
Сформулированная задача относится к классу обратных задач (см. [3], [5]). Описываемая ниже методика ее решения развивает подход к решению проблемы динамического восстановления входа, получивший развитие в ряде работ, см., например, [2], [6], [7] и обзорную статью [8]. Этот подход основывается на комбинации известного в теории гарантированного управления принципе позиционного управления с моделью [9], а также одном из основополагающих методов теории некорректных задач — методе сглаживающего функционала (см. [3]). Заметим, что в [2], [6]—[8] задачи динамической реконструкции входов изучались для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями или параболическими уравнениями. Для гиперболических уравнений или вариационных неравенств подход из цитированных выше работ был развит в [2], [10]—[15]. При этом рассматривался случай, когда входное воздействие стеснено мгновенными ограничениями типа и(?) е Р, где Р — выпуклое, ограниченное и замкнутое множество из соответствующего равномерно выпуклого банахова пространства. В настоящей работе, продолжающей цикл работ [2], [6]—[8], [10]—[15], мы указываем алгоритмы решения задач реконструкции в случае отсутствия таких ограничений.
2. АЛГОРИТМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ. СЛУЧАЙ ТОЧНОГО ИЗМЕРЕНИЯ РЕШЕНИЯ
Сначала рассмотрим случай точного измерения решения х(-) уравнения (1.1). Именно, будем считать известным в каждый момент ? е Т элемент х (?) е Н. Наряду с уравнением (1.1) рассмотрим новое, вспомогательное, уравнение
й (г) + Ай( г) = Bv( г) + Л г) (2.1)
с начальным условием м>(10) = х0 е V, й (?0) = х1 е Н. Будем считать, что справедливы неравенства
|хо хо|н < к, |х1 х11 у* < к. (2.2)
Решение (слабое) этого уравнения обозначим символом = w(•; ?0, х0, х1, v(•)). Пусть функция в (2.1) определяется по формуле
v(г) = уа(г) = а1 В*А_1(х(г) - йа(г)), (2.3)
где а е (0, 1) — вспомогательный параметр, = w(•; ?0, х0, х1, ^(-)), символ В* означает сопряженный оператор. Таким образом, вместо уравнения (1.1) мы имеем систему (1.1), (2.1), т.е. пару уравнений
х(0 + Ах(0 = Ви(0 + Л0, г е Т, йа(г) + Айа(г) = а-1 ВВ*А 1 (х(г) - йа(г)) + Л(г)
с начальными условиями
X(to) = wa( to) = Хо , x(to) = x, wa(to) = Xi.
Заметим, что существование и единственность решения второго уравнения системы (2.4) является следствием теоремы 1.2 из [1, с. 285].
Пусть «*(•) = «*(•; x(-)) — элемент множества U(x(-)) минимальной L2(T; U) — нормы, где символ U(x(-)) означает совокупность всех функций «(•) е L2(T; U), порождающих решение x(-) уравнения (1.1), т.е.
U(x(•)) = {u(•) е L2(T; U) : <X(t) + Ax(t), z) = (Bu(t) + f(t), z)h при п.в. t е T Vz е V}.
Заметим, что множество U(x(-)) выпукло и замкнуто в L2(T; U). Поэтому элемент «*(•) определен однозначно. Справедлива
Теорема 1. Пусть а = a(h) е (0, 1) при h е (0, 1). Пусть также h2a-1(h) —>- 0 при h —► 0. Тогда имеет место сходимость
— «*(•) в L2(T; U) при h — 0, (2.5)
где функция va определяется по формуле (2.3) при а = a(h).
Справедливость теоремы 1 следует из теоремы 2.1 из [14] и приведенной ниже леммы 1.
Лемма 1. Пусть функции v(-) = v°(0 в правой части уравнения (2.1) таковы, что выполняются неравенства
sup {|x(t) - wa(t)|H + |x(t) - wa(t)| V*} < c0(a + h2), (2.6)
t e T
| va(• )|L2(T- U) < |u*(• )|l2(T; U) + 2h2a-1(h), (2.7)
где
X(•) = x(•; to, Xo,Xi, u(•)), wa(•) = w(•; to,Xo,*i, va(•)).
Тогда имеет место сходимость (2.5).
В свою очередь, справедливость неравенств (2.6), (2.7) является следствием доказанной ниже леммы 2.
Лемма 2. Функция v"(-) вида (2.3) удовлетворяет условиям леммы 1.
Доказательство. Пусть |a(t) = wa(t) — x(t). Из (2.4) следует, что |a(t) — решение уравнения
|а(t) + A^a(t) = B( va(t) - u*(t)), t е T, (2.8)
с начальным условием
Aa( to) = Xo - Xo , Aa(to) = X1 - X1.
Введем функцию Ляпунова
t
V(t) = ||e(t)|H + ||ia(t)|V* + aj{|va(T)|U- |u*(x)|U}dx, t е T. (2.9)
>o
Производная этой функции вычисляется по формуле
V(t) = 2<|a(t), Ha(t))H + |lAa(0|V* + a| vh (t)|U- a|u*(t)|U при п.в. t е T. Аналогично [2, с. 103—104] получаем
V(t) = 2(A_1|a(t), Bva(t) - Bu*(t)) + a| va(t)|U- a|u*(x)|U при п.в. t е T. (2.10)
Заметим, что (см. (2.3)) при почти всех t е Tверно равенство
va( t) = arg min {a| v| U - 2 (B *A_1 (X (t) - wa (t)), v)u : v е U}. (2.11)
В таком случае из (2.10), учитывая (2.11), после интегрирования при всех t е Tполучаем
t
|la( 0| H + Il1 ( t )| V*
+ а | {| vc и -\u* (т)|и} dT < | |а ( to )| H + Il а ( to )|V*. (2.12)
to
Неравенства (2.6), (2.7) следуют из (2.12), (2.2). Лемма доказана.
3. АЛГОРИТМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ. СЛУЧАЙ НЕТОЧНОГО НЕПРЕРЫВНОГО
ИЗМЕРЕНИЯ РЕШЕНИЯ
Обратимся к случаю неточного измерения решения. Именно, будем полагать, что выполнено условие (1.4). Фиксируем функцию а = a(h) : (0, 1) —» (0, 1). Наряду с уравнением (1.1) введем вспомогательное уравнение вида
wa' h(t) + Awa' h(t) = B va h(t) + f(t), t е T, (3.1)
с начальным состоянием wa,h(t0) = x0, wa h (t0) = x1. Функцию va,h(t) в этом уравнении зададим следующим образом:
vah(t) = a-1B*A_1(^h(t) - wa'h(t)). (3.2)
Таким образом, в данном случае мы имеем систему (1.1), (3.1), т.е. пару уравнений (см. также (2.4))
x(t) + Ax(t) = Bu(t) + f(t), t е T, wa'h(t) + Awa h(t) = a lBB*A-(^h(t) - wa'h(t)) + f(t) с начальными условиями
X ( to ) = Xo, wa h( to ) = ^o, x ( to ) = Xi, wa h( to ) = xXi.
Пусть, как и выше, символ u*(-) означает элемент множества U(x(-)) минимальной L2(T; Ц)-нормы. Справедлива следующая
Теорема 2. Пусть a(h) —» 0, ha-2(h) —» 0 при h —0. Тогда имеет место сходимость
va(h), h(-) u*(-) в L2(T; U) при h — 0.
Доказательство теоремы опирается на приведенную ниже лемму 3, являющуюся аналогом леммы 1.
Лемма 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда можно указать (в явном виде) постоянные d0, d1 и h* е (0, 1) такие, что при h е (0, h*) справедливы неравенства
sup
{|x(t) - wa h(t)|H + |x(t) - wa h(t)| V*} < do(a(h) + h),
t e T
\va'h(• )|L2(T; U) < |u*(• )|L2(T; U) + diha-2(h). Доказательство. В силу (1.4), (3.2) справедливо неравенство
| va h(t)|U< 2b1 a-2(h2 + ||ia, h(t)| V*), t е T,
где а = а^), = wa, к(í) — x(í), Ь = 1|х(^*; — норма линейного оператора B*A 1 е Ь(У*;
В таком случае при ^ е T имеем
t
J| va'h(x)|Udx < 2b2a-2 J||a,hp| V*dt + c1 h2a-2. (3.3)
to to
Легко видеть также, что верно неравенство
(B( va h(t) - u*(t)), A-1 l
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.