научная статья по теме О ДИНАМИЧЕСКОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ ПРАВОЙ ЧАСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Математика

Текст научной статьи на тему «О ДИНАМИЧЕСКОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ ПРАВОЙ ЧАСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 6, с. 1008-1019

УДК 519.633.9

О ДИНАМИЧЕСКОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ ПРАВОЙ ЧАСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ^

© 2015 г. В. И. Максимов

(620219 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16, Ин-т матем. и механ. УрО РАН; Уральский федеральный ун-т)

e-mail: maksimov@imm.uran.ru Поступила в редакцию 18.03.2013 г.

Рассматривается гиперболическое уравнение, подверженное воздействию внешних возмущений. Предполагается, что производятся измерения решения этого уравнения (возможно с некоторыми ошибками). Указываются алгоритмы восстановления (реконструкции) возмущений по данным измерений. Алгоритмы являются устойчивыми к информационным помехам и погрешностям вычислений. Библ. 16.

Ключевые слова: гиперболические уравнения, восстановление возмущений, вычислительные алгоритмы восстановления.

DOI: 10.7868/S0044466915060083

1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть V и H — действительные гильбертовы пространства. Пространство V вложено в пространство Hплотно и непрерывно: Vc H = H* с V*. Символы |• |V, | • |V* и | • |Н означают, соответственно, нормы в V, V* и H, а символы (•, •) и (•, •) — скалярное произведение в Ни двойственность между V и V*.

Рассматривается гиперболическое уравнение

x(t) + Ax(t) = Bu(t) +f(t), t e T = [t0,-9], (1.1)

с начальным условием

x( t0) = x0, x( t0) = x1,

где A : V—»- V* — линейный, непрерывный и симметричный оператор, удовлетворяющий (для некоторого c > 0) условию коэрцитивности

<Ay, y) > сЫ V Vy e V, (1.2)

f (•) e L2(T; H) — заданная функция, U — гильбертово пространство с нормой |• U (пространство возмущений), производная x (•) понимается в смысле пространства распределений (см. [1]), B — линейный непрерывный оператор, действующий из пространства Uв пространство H(B e L(U; Н)).

Следуя [2, с. 91], функцию *(•) e C(T; V)такую, что x (•) e W(T; V) = {£(•) e C(T; H) : z (•) e L2(T; V*)}, и выполняется соотношение

<x(t), v) + <Ax(t), v) = (Bu(t) + f(t), v) Vv e V при п.в. t e T, будем называть решением (слабым) уравнения (1.1) и обозначать символом x() = x(-; t0, x0, x1, u()). В дальнейшем полагаем, что вложение пространства Vв пространство Hкомпактно. Кроме того,

x0 e V, x1 e H.

Тогда (см. [2, с. 93]) при любом u(-) e L2(T; U) уравнение (1.1) имеет единственное решение (слабое).

1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 12-01-00175-a, 13-01-00110-а), Программы поддержки фундаментальных исследований Президиума РАН "Динамические системы и теория управления" (проект 12-П-1-1019), Программы поддержки ведущих научных школ России (НШ-6512.2012.1) и Урало-Сибирского интеграционного проекта (12-С-1-1017).

Обсуждаемая в настоящей работе задача формулируется следующим образом. Имеется уравнение (1.1) с некоторым входным воздействием м(-). Заранее как это воздействие, так и отвечающее ему решение х(-) = х(-; ?0, х0, х1, м(-)) уравнения не заданы. В дискретные, достаточно частые моменты времени

Т еА = {т, }т= о, То = ^, тт = д, т, +1 = т1 + 5,

измеряются (с ошибкой) величины х (т,-) = х (т,-; ?0, х0, х1, м(-)). Результаты измерений — элементы ^ е Н — удовлетворяют неравенствам

-х(т;)|у* < к, I е[ 1 : т - 1 ], (1.3)

где число к е (0, 1) характеризует "ошибку" вычислений х (т,). Задача заключается в том, чтобы построить алгоритм приближенного восстановления неизвестного возмущения м(-).

Наряду с измерениями решения уравнения (1.1) в дискретные моменты времени (см. (1.3)) мы также рассмотрим случай непрерывного измерения, т.е. случай, когда в каждый момент ? е Т становится известной величина х (?) или ее приближение £,к(?) е Н. В последнем случае полагается, что функция £,к(-) есть элемент пространства ЬХ(Т; Н) и удовлетворяет неравенству

0 - х(о1 V* < к, г е Т. (1.4)

Сформулированная задача относится к классу обратных задач (см. [3], [5]). Описываемая ниже методика ее решения развивает подход к решению проблемы динамического восстановления входа, получивший развитие в ряде работ, см., например, [2], [6], [7] и обзорную статью [8]. Этот подход основывается на комбинации известного в теории гарантированного управления принципе позиционного управления с моделью [9], а также одном из основополагающих методов теории некорректных задач — методе сглаживающего функционала (см. [3]). Заметим, что в [2], [6]—[8] задачи динамической реконструкции входов изучались для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями или параболическими уравнениями. Для гиперболических уравнений или вариационных неравенств подход из цитированных выше работ был развит в [2], [10]—[15]. При этом рассматривался случай, когда входное воздействие стеснено мгновенными ограничениями типа и(?) е Р, где Р — выпуклое, ограниченное и замкнутое множество из соответствующего равномерно выпуклого банахова пространства. В настоящей работе, продолжающей цикл работ [2], [6]—[8], [10]—[15], мы указываем алгоритмы решения задач реконструкции в случае отсутствия таких ограничений.

2. АЛГОРИТМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ. СЛУЧАЙ ТОЧНОГО ИЗМЕРЕНИЯ РЕШЕНИЯ

Сначала рассмотрим случай точного измерения решения х(-) уравнения (1.1). Именно, будем считать известным в каждый момент ? е Т элемент х (?) е Н. Наряду с уравнением (1.1) рассмотрим новое, вспомогательное, уравнение

й (г) + Ай( г) = Bv( г) + Л г) (2.1)

с начальным условием м>(10) = х0 е V, й (?0) = х1 е Н. Будем считать, что справедливы неравенства

|хо хо|н < к, |х1 х11 у* < к. (2.2)

Решение (слабое) этого уравнения обозначим символом = w(•; ?0, х0, х1, v(•)). Пусть функция в (2.1) определяется по формуле

v(г) = уа(г) = а1 В*А_1(х(г) - йа(г)), (2.3)

где а е (0, 1) — вспомогательный параметр, = w(•; ?0, х0, х1, ^(-)), символ В* означает сопряженный оператор. Таким образом, вместо уравнения (1.1) мы имеем систему (1.1), (2.1), т.е. пару уравнений

х(0 + Ах(0 = Ви(0 + Л0, г е Т, йа(г) + Айа(г) = а-1 ВВ*А 1 (х(г) - йа(г)) + Л(г)

с начальными условиями

X(to) = wa( to) = Хо , x(to) = x, wa(to) = Xi.

Заметим, что существование и единственность решения второго уравнения системы (2.4) является следствием теоремы 1.2 из [1, с. 285].

Пусть «*(•) = «*(•; x(-)) — элемент множества U(x(-)) минимальной L2(T; U) — нормы, где символ U(x(-)) означает совокупность всех функций «(•) е L2(T; U), порождающих решение x(-) уравнения (1.1), т.е.

U(x(•)) = {u(•) е L2(T; U) : <X(t) + Ax(t), z) = (Bu(t) + f(t), z)h при п.в. t е T Vz е V}.

Заметим, что множество U(x(-)) выпукло и замкнуто в L2(T; U). Поэтому элемент «*(•) определен однозначно. Справедлива

Теорема 1. Пусть а = a(h) е (0, 1) при h е (0, 1). Пусть также h2a-1(h) —>- 0 при h —► 0. Тогда имеет место сходимость

— «*(•) в L2(T; U) при h — 0, (2.5)

где функция va определяется по формуле (2.3) при а = a(h).

Справедливость теоремы 1 следует из теоремы 2.1 из [14] и приведенной ниже леммы 1.

Лемма 1. Пусть функции v(-) = v°(0 в правой части уравнения (2.1) таковы, что выполняются неравенства

sup {|x(t) - wa(t)|H + |x(t) - wa(t)| V*} < c0(a + h2), (2.6)

t e T

| va(• )|L2(T- U) < |u*(• )|l2(T; U) + 2h2a-1(h), (2.7)

где

X(•) = x(•; to, Xo,Xi, u(•)), wa(•) = w(•; to,Xo,*i, va(•)).

Тогда имеет место сходимость (2.5).

В свою очередь, справедливость неравенств (2.6), (2.7) является следствием доказанной ниже леммы 2.

Лемма 2. Функция v"(-) вида (2.3) удовлетворяет условиям леммы 1.

Доказательство. Пусть |a(t) = wa(t) — x(t). Из (2.4) следует, что |a(t) — решение уравнения

|а(t) + A^a(t) = B( va(t) - u*(t)), t е T, (2.8)

с начальным условием

Aa( to) = Xo - Xo , Aa(to) = X1 - X1.

Введем функцию Ляпунова

t

V(t) = ||e(t)|H + ||ia(t)|V* + aj{|va(T)|U- |u*(x)|U}dx, t е T. (2.9)

>o

Производная этой функции вычисляется по формуле

V(t) = 2<|a(t), Ha(t))H + |lAa(0|V* + a| vh (t)|U- a|u*(t)|U при п.в. t е T. Аналогично [2, с. 103—104] получаем

V(t) = 2(A_1|a(t), Bva(t) - Bu*(t)) + a| va(t)|U- a|u*(x)|U при п.в. t е T. (2.10)

Заметим, что (см. (2.3)) при почти всех t е Tверно равенство

va( t) = arg min {a| v| U - 2 (B *A_1 (X (t) - wa (t)), v)u : v е U}. (2.11)

В таком случае из (2.10), учитывая (2.11), после интегрирования при всех t е Tполучаем

t

|la( 0| H + Il1 ( t )| V*

+ а | {| vc и -\u* (т)|и} dT < | |а ( to )| H + Il а ( to )|V*. (2.12)

to

Неравенства (2.6), (2.7) следуют из (2.12), (2.2). Лемма доказана.

3. АЛГОРИТМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ. СЛУЧАЙ НЕТОЧНОГО НЕПРЕРЫВНОГО

ИЗМЕРЕНИЯ РЕШЕНИЯ

Обратимся к случаю неточного измерения решения. Именно, будем полагать, что выполнено условие (1.4). Фиксируем функцию а = a(h) : (0, 1) —» (0, 1). Наряду с уравнением (1.1) введем вспомогательное уравнение вида

wa' h(t) + Awa' h(t) = B va h(t) + f(t), t е T, (3.1)

с начальным состоянием wa,h(t0) = x0, wa h (t0) = x1. Функцию va,h(t) в этом уравнении зададим следующим образом:

vah(t) = a-1B*A_1(^h(t) - wa'h(t)). (3.2)

Таким образом, в данном случае мы имеем систему (1.1), (3.1), т.е. пару уравнений (см. также (2.4))

x(t) + Ax(t) = Bu(t) + f(t), t е T, wa'h(t) + Awa h(t) = a lBB*A-(^h(t) - wa'h(t)) + f(t) с начальными условиями

X ( to ) = Xo, wa h( to ) = ^o, x ( to ) = Xi, wa h( to ) = xXi.

Пусть, как и выше, символ u*(-) означает элемент множества U(x(-)) минимальной L2(T; Ц)-нормы. Справедлива следующая

Теорема 2. Пусть a(h) —» 0, ha-2(h) —» 0 при h —0. Тогда имеет место сходимость

va(h), h(-) u*(-) в L2(T; U) при h — 0.

Доказательство теоремы опирается на приведенную ниже лемму 3, являющуюся аналогом леммы 1.

Лемма 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда можно указать (в явном виде) постоянные d0, d1 и h* е (0, 1) такие, что при h е (0, h*) справедливы неравенства

sup

{|x(t) - wa h(t)|H + |x(t) - wa h(t)| V*} < do(a(h) + h),

t e T

\va'h(• )|L2(T; U) < |u*(• )|L2(T; U) + diha-2(h). Доказательство. В силу (1.4), (3.2) справедливо неравенство

| va h(t)|U< 2b1 a-2(h2 + ||ia, h(t)| V*), t е T,

где а = а^), = wa, к(í) — x(í), Ь = 1|х(^*; — норма линейного оператора B*A 1 е Ь(У*;

В таком случае при ^ е T имеем

t

J| va'h(x)|Udx < 2b2a-2 J||a,hp| V*dt + c1 h2a-2. (3.3)

to to

Легко видеть также, что верно неравенство

(B( va h(t) - u*(t)), A-1 l

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»