Автоматика и телемеханика, № 5, 2010
Адаптивные и робастные системы
© 2010 г. М.С. БЛИЗОРУКОВА, канд. физ.-мат. наук (Институт математики и механики УрО РАН, Екатеринбург)
О ДИНАМИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ ВХОДА В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА1
Рассматривается задача динамической реконструкции входа в линейных системах второго порядка. Указываются ориентированные на работу в реальном времени процедуры решения этой задачи, обладающие свойствами динамичности и устойчивости: первое означает, что текущие значения приближения входа вырабатываются в «реальном времени», а второе - что приближение сколь угодно точно при достаточной малости ошибки измерения.
1. Введение. Постановка задачи
Задачи нахождения соответствующих характеристик по решениям уравнений часто называют задачами реконструкции (идентификации). При этом предполагается, что входная информация (результаты измерения текущих фазовых положений динамической системы) поступает по ходу процесса и неизвестные параметры должны восстанавливаться также по ходу процесса. Один из методов решения подобного типа задач был предложен и развит в [1-4]. Этот метод, основанный на принципах позиционного управления [5] и методах решения некорректных задач [6], фактически сводит задачу реконструкции к задаче управления вспомогательной динамической системой-моделью. Управление в модели адаптируется к результатам текущих наблюдений таким образом, что его реализация во времени подпадает под условия какого-либо принципа регуляризации; тем самым обеспечивается устойчивость алгоритма. При этом регуляризация рассматриваемой задачи осуществляется локально на этапе выбора позиционного управления в системе-модели.
Рассматривается система, описываемая уравнением
(1) х + 21х + ш2х = и(£), г е Т = [£0,$], х(£о) = хо, х(£о) = Х10.
Предполагается, что коэффициенты уравнения I и ш, а также его начальное состояние хо, хю известны. Вход и(г) является неизвестной (измеримой по Лебегу) функцией, стесненной ограничениями
и(г) е Р =[-/,/], г е Т,
где постоянная / е (0, задана априори.
Содержательно суть обсуждаемой в работе задачи состоит в следующем. В дискретные, достаточно частые моменты времени т1 = т^ + д(Ь), г е [0 : т^ — 1],
1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант №09-01—00378), Программы Президиума РАН «Математическая теория управления» и Урало-Сибирского интеграционного проекта.
4* 99
тк,о = Ьо, = измеряются с ошибкой либо фазовая координата системы (1)
Х(тр,г), либо скорость изменения этой координаты Х(тр,г). Результаты измерений -числа - удовлетворяют неравенствам \х(ть,г) — < Ь в первом случае или \Х(тг,й,) — < Ь во втором. Здесь Ь € (0,1) - уровень информационного шума, символ \а\ означает модуль числа а. Требуется указать процедуру восстановления (синхронно с развитием процесса) неизвестной скорости изменения координаты х(Ь) (т.е. Х(Ь)) и неизвестного входа и(Ь) (в первом случае) или только неизвестного входа и(Ь) (во втором случае).
Обозначим: Х1 = х, Х2 = Х и перепишем уравнение (1) в виде системы
Х1 = Х2,
Х2 = — Р1Х2 — Р2Х1 + и(Ь), Р1 =21, Р2 = ш2.
В дальнейшем будем рассматривать систему (2).
Сформулированная выше задача относится к классу обратных задач динамики управляемых систем. Опишем кратко схему решения, следуя подходу, развитому в [1-4]. Для определенности остановимся на первом случае, когда измеряется фазовая координата. В соответствии с [1-4] задача восстановления пары |Х2(-),и(-)} (задача реконструкции) заменяется новой задачей, а именно задачей управления по принципу обратной связи некоторой вспомогательной системой М (называемой моделью). В дальнейшем фазовую траекторию модели обозначим символом ад^(-), а управление в модели - символом и^(-) = {и^(-), (•)}. Последнее определяется некоторым законом обратной связи: С^; (•), иА^)). Процесс управления моделью организуется таким образом, что при подходящем согласовании ряда параметров функция <(•) является приближением Х2(-), а функция и^(-) - приближением и( ).
Для решения задачи сначала вводится вспомогательная динамическая система М (модель), которая функционирует на временном интервале Т и является управляемой системой, имеющей неизвестный (подлежащий формированию) вход (управление) и^(-) и выход (фазовую траекторию) ин( ). Затем организуется процесс синхронного управления системами (2) и М (на промежутке Т). Последний разбивается на конечное число (тор — 1) шагов. Во время реализации г-го шага, осуществляемого на промежутке времени = [тр,г,т^,г+1), выполняются следующие операции. Сначала, в момент времени в соответствии с выбранным правилом С/1 вычисляется вектор
(3) ир = С1 Кг,£г\и^,г)) .
Затем (вплоть до момента 1) на вход модели подается постоянное управление иР(Ь) = ир, тр,г ^ Ь < тр,г+1. Результатом работы на г-м шаге является пара «управление-фазовая траектория модели»: {иР(Ь), ик(Ь)}, Ь €
Итак, решение задачи реконструкции, по существу, равносильно решению следующих двух задач:
a) задачи подходящего выбора вспомогательной системы (модели М) и
b) задачи выбора закона формирования управления в модели С1.
Заметим, что при решении задач а) и Ь) важную роль играет ряд факторов, например априорная информация о структуре рассматриваемой системы (вид системы, свойства ее решения и т.д.), свойства множества допустимых входов и т.д.
Задачи построения динамических алгоритмов регуляризации обратных задач динамики рассматривались многими авторами. Один из путей реализации указанной выше схемы был предложен в [1]. Система в этой работе описывалась обыкновенным
векторным нелинейным дифференциальным уравнением
х = Д(£,х) + /2(£,х)м(£), £ € [0,$],
х(0) = х0, х € Д9, и €
с входом и(-) = {«(•) : м(£) € Р при почти всех £ € [0,$]}, Р С - выпуклое, ограниченное и замкнутое множество. Предполагалось, что в моменты времени т',, измеряются с ошибкой Н все координаты системы — х(т^)|дч ^ Н). В качестве модели была взята система, описываемая линейным дифференциальным уравнением
^(£) = ЛК^'Н ЛК^)^, £ € ад'(0) =
Управление м' в модели вычислялось по правилу:
м' = м' (т^,^'^)) =
= ащшт{2 (ад'(тм) — /2(тм, С,'1)« + а|м|^ : и € Р} .
Основной результат в [1] состоял в обосновании того факта, что при подходящем согласовании параметра а = а(Н) > 0, информационной погрешности Н и шага временной сетки ¿(Н) = шах,(т',, — т',,_1) имеет место сходимость (в метрике пространства ¿2([0,$]; RN)) управлений «'(•) к некоторому входу мо(-), порождающему х(^). Здесь и ниже пишем индекс Н у фазовой траектории модели (и управления) для того, чтобы подчеркнуть зависимость этих величин от уровня информационного шума. Исследование задач восстановления входов систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями (с позиций подхода [1]), можно найти в [2-4, 7, 8].
В [3, 7] изучался случай, когда измерялись все координаты, ограничение на вход (множество Р) отсутствовало, считалось известным лишь, что вход «(•) является элементом пространства ¿2. Задачи динамической реконструкции при измерении не всех координат, а их части рассматривались в [2, 4]. В частности, в главе V монографии [2] выделено два случая так называемых вырожденных систем. Для каждого из этих случаев приведены соответствующие алгоритмы. В [4] предложены еще три правила выбора моделей и законов управления ими. При этом два из них позволяют находить функции, лишь слабо (в метрике пространства функций суммируемых с квадратом евклидовой нормы) сходящиеся к неизвестному входу «(•). Еще один алгоритм обеспечивает сильную сходимость. Однако этот алгоритм ориентирован, по существу, на случай измерения всех координат фазового вектора. Статьи [7-9] посвящены разработке алгоритмов восстановления входа, основанных на динамическом варианте метода невязки.
Следует отметить, что для нахождения управления в модели м' согласно описанному выше правилу из [1] (см. также [2, 3]) в каждый момент т',, требуется решать вспомогательную экстремальную задачу - задачу квадратичного программирования. Можно также заменить эту задачу другой экстремальной задачей вычисления м' с помощью известного в теории некорректных задач [6] метода невязки, как это сделано в [8, 9]. Однако описанное в этой работе правило нахождения управления в модели не позволяет, вообще говоря, получить явных формул для м'.
В настоящей статье в отличие от цитированных работ, где рассмотрены общие нелинейные системы, обсуждается задача реконструкции негладких входных воздействий, действующих на колебательное звено. К сожалению, непосредственно применить для решения обсуждаемой задачи какой-либо из алгоритмов, приведенных в упомянутых выше работах, за исключением одного (см. [2]), не представляется возможным. Изложим суть алгоритма из главы V монографии [2]. На конечном
промежутке времени рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений
у(Ь) = /^У^^ ¿(Ь) = ^У^^
где у, г и ^ - векторы соответствующих размерностей. В моменты тг измеряются с ошибкой компоненты г(тг) фазового вектора системы. Результаты измерений удовлетворяют неравенствам |£(тг) — г(тг)\ ^ Ь. Требуется восстановить неизмеряемые координаты у = у(Ь) и неизвестный вход V = «(Ь) € ^ (^ - выпуклое, ограниченное и замкнутое множество). Для решения этой задачи применяется изложенная во введении схема. При этом на каждом временном шаге = [тг,тг+1) вычисляются векторы р*(тг), и(тг) и -(тг) по формулам
р*(т») € ащтт^-1^^) — £(т»_1)) — #(Ьг,и,£(тг))\ : и}, и(тг) = —а-1(рФ(тг) — и(т»)),
-(т») € а^тт{\и(тг) — /(тг,рФ(тг), ),«)\ : V €
где а - вспомогательный параметр. Модель имеет вид
и(тг) = и(т»_1) + ¿и(тг).
В качестве приближений неизвестного входа «(Ь) и координат у(Ь) берутся соответственно функции = -у(тг), уР(Ь) = р*(тг) при Ь € [тг,тг+1).
Из приведенных выше формул видно, что указанный алгоритм «достаточно сложен», так как при его реализации на каждом шаге приходится решать две нелинейные экстремальные задачи (находить р* и -). В данной статье, имеющей дело с конкретным видом рассматриваемой системы, удается этого избежать и получить явные формулы вычисления
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.