научная статья по теме О ДИНАМИКЕ ГУСЕНИЧНОГО ДВИЖИТЕЛЯ Математика

Текст научной статьи на тему «О ДИНАМИКЕ ГУСЕНИЧНОГО ДВИЖИТЕЛЯ»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 78. Вып. 6, 2014

УДК (531.36+624.07):534.1

© 2014 г. П. М. Белоцерковский О ДИНАМИКЕ ГУСЕНИЧНОГО ДВИЖИТЕЛЯ

Исследуются установившиеся вертикальные колебания бесконечной горизонтальной периодической цепи одинаковых однородных твердых стержней, связанных шарнирами и поддерживаемых однородным вязко -упругим основанием. Колебания возбуждаются вертикальной комплексной гармонической силой, движущейся вдоль цепи с постоянной скоростью. Они предполагаются установившимися в следующем смысле: сдвиг вдоль цепи на расстояние, равное длине стержня, вызывает запаздывание комплексного вертикального отклонения цепи на время, в течение которого комплексная гармоническая сила перемещается на это расстояние. При этом аргумент комплексного вертикального отклонения цепи получает приращение, равное приращению аргумента гармонической силы. Задача решается при помощи преобразования Фурье в предположении, что каждая точка цепи находилась в состоянии покоя задолго до приближения гармонической силы и возвращается в это же состояние под действием сил вязкости основания после удаления гармонической силы в бесконечность.

Движение тяжелых гусеничных машин вызывает колебания грунта, порождающие упругие поверхностные волны, которые распространяются на большое расстояние и наносят вред зданиям. Если прохождение таких машин запрещено, то в месте запрета устанавливаются сейсмографы, которые регистрируют нарушение запрета. В связи с этими обстоятельствами волны, порождаемые гусеничными машинами, широко исследовались в последние годы [1—5], причем использовалась упрощенная модель движителя, а динамические свойства гусеницы, имеющей периодическую структуру, не принимались во внимание.

Большинство гусеничных машин имеют два движителя (фиг. 1) с независимыми приводами [4]. Привод каждого из них осуществляется через зубчатое колесо в его задней части. При криволинейном движении движители имеют различную скорость. Вес машины передается на каждую гусеницу через ряд колес, расположенных близко друг от друга. Таким образом, колебания грунта, вызванные движением машины, сложны.

1. Динамическая модель гусеницы. Собственные колебания. Будем рассматривать динамические явления, связанные с периодической структурой гусеницы. Деформация грунта значительно превосходит деформацию звена гусеницы, поскольку расстояние между смежными шарнирами гусеницы невелико. Поэтому звено гусеницы можно считать твердым телом. С целью упрощения исследования будем пренебрегать взаимодействием колес через гусеницу, а также взаимодействием двух гусениц через грунт.

При движении вертикальной гармонической силы по однородной или периодической структуре, опирающейся на грунт, со скоростью, близкой к скорости упругих поверхностных волн в грунте, потеря устойчивости движения сопровождается экспоненциальным ростом колебаний [6, 7]. Исследуемые далее динамические явления наблюдаются при скорости движения гусеничной машины, значительно меньшей скорости распространения поверхностных волн в мягком грунте. Поэтому грунт может быть представлен упрощенно при помощи однородного вязкоупругого основания. Такой подход использовался при анализе динамики железнодорожного пути [8, 9].

Отметим, что в некоторых исследованиях понтонные переправы рассматриваются как цепочки стержней, соединенных шарнирами и опирающихся на однородное

упругое основание [10], моделирующее гидростатическое давление на понтоны. Исследовались колебания периодической цепи твердых тел под действием неподвижной гармонической силы [11].

Представим гусеницу в виде бесконечной горизонтальной цепи одинаковых однородных твердых стержней длиной I, связанных шарнирами. Линейная плотность цепи р рассчитана по массе стержней, шарниров и грунта, колеблющегося вместе с гусеницей. Цепь поддерживается однородным вязкоупругим основанием без инерции, с которым цепь связана безотрывно, и и г — упругая жесткость и вязкость основания (фиг. 2). Ненагруженная гусеничная цепь в состоянии покоя вызывает равномерную деформацию основания.

Будем отсчитывать вертикальные отклонения цепи у(х, г) от состояния ее статического равновесия. Пусть х — продольная координата, значение х = 0 соответствует одному из шарниров. Отклонение звена цепи вполне определяется отклонениями шарниров на концах этого звена. Отклонение звена на фиг. 2 имеет вид

у(х, г) = у(0, г) + у(1, г)х (1.1)

К цепи приложена распределенная нагрузка

д2 д

д(х, г) = 8у(х, г), 5 = р —г + г —+ и

дг2 дг

(1.2)

Л(0

Ш

АО

В

I

q(x, 0 Фиг. 3

включающая в себя силу инерции цепи и реакцию основания, ее положительное направление показано на фиг. 3. Если внешние силы отсутствуют, то силы взаимодействия смежных звеньев цепи через шарниры равны нулю, а собственные колебания цепи удовлетворяют линейному однородному уравнению д(х, г) = 0, имеющему частное решение

у(х, г) = а ехр (-цг) (Iю, - ц2г),

ю, =

и

р

г

Обычно вязкость основания г мала и удовлетворяет условию г < 2^[рй

(1.3)

(1.4)

В дальнейшем ограничимся случаем, когда условие (1.4) выполнено. В этом случае решение (1.3) действительно и описывает затухающие колебания цепи как твердого тела. Вертикальные отклонения всех точек цепи совпадают.

Представляет интерес другое частное решение, согласно которому отклонение шарнира в точке х = 0 определяется равенством (1.3), отклонения смежных шарниров совпадают по абсолютной величине и противоположны по знаку. Согласно выражению (1.1), отклонение звена гусеницы, показанного на фиг. 2, при невязком основании определяется равенством

у(х, г) = а (1 - у) (ю,г)

(1.5)

описывающим незатухающие колебания звена гусеницы с угловой скоростью юе.

2. Вынужденные колебания гусеничной цепи. Будем полагать, что малые вертикальные отклонения цепи вызваны вертикальной гармонической силой

/(г) = а0 ехр^щг)

(2.1)

имеющей амплитуду а0, угловую скорость ю0 и движущейся вдоль гусеничной цепи с постоянной скоростью и0, х0 = и0? — координата точки цепи, к которой приложена сила (фиг. 2). Смежные звенья цепи действуют друг на друга вертикальными силами. Обозначим /„(г) вертикальную силу, передаваемую через шарнир с продольной координатой „I. Положительные направления сил /„(г) показаны на фиг. 3.

x

0

0

Будем полагать, что каждая точка гусеничной цепи находилась в состоянии покоя задолго до приближения гармонической силы /(г) и возвращается в это же состояние под действием сил вязкости основания после удаления этой силы в бесконечность. Таким образом, предполагается, что функция у(х,г) ^ 0 при г ^ ±<х вместе со своими производными и допускает преобразование Фурье по г. Аналогичное предположение вводится относительно вертикальных сил в шарнирах /„(г).

Будем снова полагать, что цепь безотрывно связана с однородным основанием, а ее вертикальные колебания линейны. В этом случае вертикальное отклонение цепи у(х, г) и вертикальные силы в шарнирах /„(г) линейно связаны с гармонической силой /(г). При изменении времени г от нуля до г0 = //и0 точка приложения гармонической силы х0 перемещается от точки 0 до точки /. Согласно равенству (2.1), фаза гармонической силы получает приращение Ф0 = ю0г0, а значение силы изменяется от а0 до а0 ехр(/Ф0). Таким образом, сила /(г) при своем перемещении вдоль звена цепи приобретает множитель ехр(/'Ф0). Ввиду линейности установившихся колебаний периодической цепи ее вертикальное отклонение у(х, г) и вертикальные силы /„(г) в шарнирах приобретают этот же множитель [8,9]. Следовательно, выполняются равенства

у(х +/, г + г 0) = ехр(;Ф0)у(х, г) ,/„+■( + ?0) = ехр(гФ0)/„(0 (.2)

Вычислим вертикальное отклонение звена гусеницы при помощи уравнений моментов сил, приложенных к звену. В интервале времени от нуля до г 0 уравнения моментов сил относительно шарниров, ограничивающих это звено слева и справа, имеют вид

/ /

-/м - ^(х,г)хйх + /(г)х0 = 0, -ш + \я(хМ - х)йх - /()(/ - х0) = 0

0 0

Вне этого интервала последние слагаемые в левых частях уравнений моментов отсутствуют. Подставим выражение в правой части равенства (1.1) в правую часть равенства (1.2), а результат этой подстановки подставим в приведенные выше интегралы. Вычисляя интегралы, представим уравнения моментов сил в виде

-Ш - ^ + + /(г)х0 = 0 (2.3)

-/0(г)/ + /25(« + «) - /(г)(/ - х0) = 0 (2.4)

Заменим г на г + г0 в уравнении (2.3). Результат замены умножим на величину - ехр(-;Ф 0) и прибавим к уравнению (2.4). Принимая во внимание равенства (2.1) и (2.2), получим уравнение

6 ^ М + 4у(0,г) + еЯ^!. а.ехрС^) х{<' ± х«>п » £

6 ^ехр(;Ф0) ехр(-;Ф0^ [ 0, +г > г0

Введем безразмерные время Т = и0 t/l и пространственные переменные

X = х//, Х0 = х0! /, У (X, Т) = у(х, 0//

Безразмерная продольная координата Х0 точки цепи, к которой приложена гармоническая сила, совпадает с безразмерным временем Т. Безразмерная продольная координата X и безразмерное время Т возрастают на единицу при перемещении гармо-

нической силы на расстояние l. В безразмерных переменных первое равенство (2.2) и предыдущее уравнение принимают вид

Y(X + 1, T + 1) = ехр(/Ф 0)Y(X, T) (2.5)

л(YM+1) + 4Y(0,T) + Ж!-])) = 6ехр(/ФcT)x j(1 ± T), 0 * +T * 1 (2.6)

^ ехр(Ф0) ехр(-Ф0)у [ 0, + T > 1

где

D = Ad2/dT2 + Bd/dT + C, A = a-1pu2, B = a- Vlu0, C = a^ul2

Линейное дифференциально-разностное уравнение (2.6) описывает вертикальные колебания шарнира, расположенного в начале координат. Теория и методы решения таких уравнений известны [12—15].

3. Решение дифференциально-разностного уравнения. Представим преобразования Фурье по безразмерной переменной T в виде

+да

Y*(X, Ф) = J Y(X, T) ехр(-/(Ф + Ф0)T)dT

—да

где Ф — безразмерный параметр. Выполняя преобразование Фурье в уравнении (2.6), получим

Y *(0, Ф) =-6(1 - cos ф)-^ Х(ф) = _ аф 2 + в/ф + с

Ф 2(cos Ф + 2)Х(Ф + Ф0)

Выполняя обратное преобразование Фурье, вычислим безразмерное вертикальное отклонение шарнира, расположенного в начале координат, в виде

+да

Y(0, T) = — [ Y*(0,Ф)ехр(/(Ф + Ф0)T)dФ (3.1)

2п J

—да

Отклонение смежного шарнира определяется при помощи равенства (2.5). Эти два отклонения определяют вертикальное отклонение рассматриваемого звен

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком