ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2004, том 40, № 1, с. 116-124
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
О ДИНАМИКЕ КОНКУРИРУЮЩИХ СОЦИАЛЬНЫХ ГРУПП
© 2004 г. В. Г. Ильичев, В. В. Ильичева
(Ростов-на-Дону)
На основе понятий "сила" и "рейтинг" субъектов приведены экономические принципы формирования состава групп. Исследовано поведение состава групп с "естественным" (рейтинг = сила) и "противоестественным" (рейтинг = 1/сила) рейтингами. В рамках построенной динамической модели обмена субъектами установлены условия существования устойчивых состояний групп. На основе компьютерного анализа показано, что "естественный" рейтинг не гарантирует создания самой сильной группы.
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время все чаще встречаются качественные математические модели, посвященные различным проблемам "неестественных" наук: психологии конформизма (Краснощеков, 1998), причинам коррупции (Полтерович, 1998), анализа структуры влияния (Робертс, 1986) и потока власти (Самарский, Михайлов, 1997) и т.д. Указанные модели призваны выделить "скелет" взаимодействий основных факторов и на качественном уровне произвести причинно-следственный анализ возникающих явлений, в идеале, наметить пути управления динамическими процессами.
В данной работе обсуждаются динамические аспекты формирования состава групп в зависимости от силы субъектов и законов распределения прибыли между ними. Так, каждый субъект в социальной группе характеризуется двумя параметрами: силой (физической, интеллектуальной и т.д.) и рейтингом (звание, должность и т.д.). Например, в подростковых уличных группировках рейтинг напрямую зависит от физической силы.
Обозначим а, - силу субъекта г (а; > 0) и пусть несколько субъектов (например, 1, ..., к) объединяются в группу. Тогда "эффективность" всей группы О определяется величиной дохода Б(У), где 5 = ах + ... + ак и Б - положительная, возрастающая и гладкая в Я+ функция. Естественно, Б(0) = 0. Например, ОД = 5/(1 + 5), ОД = & и т.д.
Считаем, что внутри группы распределение общего дохода происходит пропорционально рейтингам {р; > 0} ее участников. Так, в предыдущем примере йг - частный доход субъекта г, равный
й, = (р,/Я) Б (5), (1)
где 5 = ах + ... + ак и Я = рх + ... + рк. Разумеется, й1 не меняется, если все рейтинги в данном сообществе умножить на одно и то же число.
Ниже для краткости будем называть две группы Я-симметричными, если рейтинг субъекта не меняется при его переходе из одной группы в другую. Здесь специально выделим Я*-симмет-ричные группы, в которых рейтинг каждого субъекта равен его силе (так называемый "естественный рейтинг"). Например, в акционерных обществах количество акций субъекта соответствует одновременно его силе и рейтингу. А если в разных группах рейтинг субъекта оценивается по-разному, то такие группы будем называть Я-асимметричными.
Далее, каждый субъект желает оказаться в группе, в которой его доход будет больше (Акофф, Эмери, 1974). В этой связи назовем переход субъекта из одной группы в другую выгодным, если его доход при этом увеличивается. Будем считать, что в каждый дискретный момент времени £ может происходить лишь один выгодный переход, и всякая группа "открыта" для любого желающего в нее войти.
Иногда сразу нескольким субъектам оказывается выгодно сделать переход в момент Для определенности "право первого перехода" предоставим самому слабому из этих субъектов. Разумеется, после такого перехода ситуация меняется. Значит, изменяется и множество субъектов, способных выгодно поменять группу. Данное несколько искусственное правило будет использовано только в разд. 4 при компьютерной реализации динамики групп.
В результате реализации каждого выгодного перехода происходит преобразование состава групп
(0[, в'2в1+1, в'2+1). (2)
Здесь в одних случаях происходит достижение устойчивого состояния (равновесия) [С1, С2} за конечное время, а в других - возникает бесконечный процесс обменов. Представляют интерес проблемы поведения и устойчивости в динамической системе (2). При каких условиях реализуется равновесие? Насколько богатым может быть множество всех устойчивых состояний?
При рассмотрении задач, связанных с управлением в данной динамической системе, будем считать, что имеется некоторый коллектив (воинское подразделение, научное учреждение и т.д.), в котором известна объективная "сила" каждого субъекта. Далее, имеются два лидера (А и В), планирующие сформировать свои группы из данного сообщества субъектов. Возникает конкуренция между А и В за привлечение тех или иных субъектов в свою группу. С этой целью лидеры объявляют "прейскуранты рейтингов" для всех субъектов (векторы ЯА и ЯВ), в соответствии с которыми будет происходить распределение доходов в группах А и В. Поскольку задача каждого лидера (в частности, А) создать наиболее эффективную группу, то возникает проблема существования "наилучшего прейскуранта ЯА", гарантирующего возникновение группы А, которая будет не менее эффективной, чем группа В при любом прейскуранте ЯВ.
Цель данной статьи найти наиболее полное решение приведенных задач.
2. ДИНАМИКА ДВУХ Я*-СИММЕТРИЧНЫ1Х ГРУПП
Напомним, что в наших условиях функции дохода в группах одинаковы, а рейтинг субъектов совпадает с их силой. Удобно ввести функцию "плотности дохода группы" Д5) = Б(£)/& Тогда личный доход субъекта к в момент ' определяется с помощью более простого, чем формула (1), выражения:
dk = / (8' )Ок, (3)
где 8' - сумма всех "сил" в данной группе в момент '. Ниже анализ и выводы зависят от характера монотонности f.
1. Функция/убывает. В частности, для всякой выпуклой вверх положительной функции Б отношение /(х) = Б(х)/х убывает. Справедливо следующее утверждение.
Утверждение. Если функция /(¿) убывает для каждого х > 0, то
Б (х + у )< Б (х) + Б (у)
для всех х > 0 и у > 0.
В данном случае доход всякого "объединения" меньше (или равен) суммы частных доходов субъектов
Б (01 + ... + <5п )< Б(СТ1) + ... + Б (<5п). (4)
Здесь образование групп - вынужденный процесс, вызванный "теснотой" (имеется всего лишь п групп, а для нашей задачи п = 2).
Выведем условия "выгодного" перехода субъекта к из первой группы во вторую в момент
времени (' + 1). Обозначим - сумму сил в группе г в момент '. Напомним, что доход субъекта
к (в момент времени ') равен
dtk = / ()0к.
Далее, пусть в момент времени (' + 1) для данного субъекта возникает выгодный переход из первой во вторую группу. Тогда
,' ,' +1 &к < &к ,
где й'к+1 = /(82 + ск)ск - доход субъекта к во второй группе в момент (' + 1). Поэтому данное неравенство с учетом монотонного убывания / эквивалентно
81 > 82 + с к
(5)
Аналогично, выгодный переход субъекта т из второй группы в первую происходит только при условии
Рис. 1. Естественный рейтинг субъектов и соответствующий им граф переходов. Здесь состояния (вершины графа) изображены прямоугольниками с двумя отсеками: слева находятся участники первой группы, а справа - участники второй. Пунктиром выделены два устойчивых состояния.
82 > 81 + с
(6)
В качестве примера рассмотрим сообщество из двух субъектов, в котором ах < а2. Если вначале они располагались в разных группах, то ни одно из условий (5)-(6) не выполняется. Поэтому такая равновесная ситуация ("разъединение") сохраняется. В общем случае для пары ^-симметричных групп имеет место Теорема 1. Если / убывает, то после конечного числа переходов достигается некоторое равновесие.
Обоснование этой и других теорем приведено в Приложении.
В каждом равновесии (8Х, 82) должны выполняться противоположные к (5)-(6) неравенства:
8Х-ак < Б2, 82 < 8Х + а„
(7)
для всякого участника к первой группы и всякого участника т второй группы.
Заметим, что полуинвариант А' = 181 - 8'21 убывает на орбите данной динамической системы [6]. Поэтому "побочный эффект" от выгодных переходов заключается в сокращении разности сил ^-симметричных групп.
На рис. 1 показан граф переходов между состояниями групп, т.е. образование двух ^-симметричных групп при п = 3.
В общем случае количество ^-симметричных групп в сообществе может быть больше двух. Приведенная при доказательстве теоремы 1 конструкция полуинварианта Q как суммы квадратов сил групп (см. Приложение) позволяет и здесь обосновать притяжение всякой траектории одним (из многих) равновесием. Отметим, что если число групп совпадает с числом субъектов, то минимум Q достигается на состоянии, когда все субъекты "разбегаются" по своим отдельным группам.
Пусть после достижения равновесия некоторый субъект (X) из первой группы стал непрерывно наращивать свою силу и, соответственно, рейтинг. В этом случае величина 8Х возрастает, и поэтому со временем для минимального ак нарушится левое условие (7). Значит, первое событие, которое здесь реализуется, - это вытеснение самого слабого участника из первой группы (точнее: в новых условиях слабейшему выгоднее перейти во вторую группу).
2. Функция / возрастает. В этой ситуации для функции дохода выполняется неравенство
Б (х + у )> Б (х) + Б (у).
Содержательно это означает, что "объединение" выгодно всем субъектам. Теперь критерии возникновения выгодного перехода (5)-(6) заменяются на (строго) противоположные. Так, переход субъекта к из первой группы во вторую реализуется при условии 81 < 82 + ак. Аналогично, выгодный переход субъекта т из второй группы в первую происходит при условии 8'2 < 81 + ат.
В частности, если в каждой из двух групп находится по одному субъекту, то каждому субъекту выгодно покинуть "свою" группу и объединиться с другим. Такая совместная группа не будет распадаться. Данное явление наблюдается и в общем случае.
Теорема 2. Пусть/возрастает, тогда после конечного числа переходов все субъекты соберутся в одной группе.
3. Функция / немонотонна. Здесь в общем случае может не существовать ни одного равновесия. Пусть значения функции / удовлетворяют соотношениям
/(01 )< /(01 + 02)< /(02).
где ах и а2 - силы "слабого" и "сильного" субъектов, соответственно. В данном случае "слабому" выгодно объединиться с "сильным". Напротив, "сильному" выгодно покидать общую группу со "слабым". Поэтому возникает циклический процесс пог
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.