ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ -лол, о
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА ' ' ~ ''
Том 145, № 3
декабрь, 2005 ? \ h
© 2005 г. А. Р. Бикметов*, Д. И. Борисов*
О ДИСКРЕТНОМ СПЕКТРЕ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА, ВОЗМУЩЕННОГО ОГРАНИЧЕННЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ С МАЛЫМ НОСИТЕЛЕМ
Изучаются асимптотические свойства дискретного спектра оператора Шрединге-ра, возмущенного потенциалом с узким носителем. Для собственных значений и соответствующих собственных функций строятся первые члены асимптотических разложений по малому параметру, которым является ширина носителя потенциала.
; .х) ф нгапаа^ф
Ключевые слова: оператор Шредингера, спектр, возмущение, асимптотика.
*
1. ВВЕДЕНИЕ
Изучению дискретного спектра оператора Шредингера с различного рода возмущениями посвящено достаточно много работ (см., например, [1]-[5]). Классической задачей является исследование возмущения стационарного оператора Шредингера на оси и плоскости малым потенциалом вида еУ(х), 0 < е -С 1, /й(1 + |х|)|У(а:)| ¿х < оо, что соответствует малой (неглубокой) потенциальной яме либо барьеру, в зависимости от знака V. Такое возмущение рассматривалось в § 45 книге [1] и в работах [2]. Случай нелинейной зависимости потенциала от малого параметра был рассмотрен в [4]. В работах [5] результаты, полученные в работах [1]-[4], были обобщены на случай возмущения вида еЬе, где Ье: И1^ (0) —(О - произвольный оператор, ограниченный равномерно по е, - произвольная ограниченная область в К", п = 1,2, а функции из Ьг((?) считаются продолженными нулем вне <2.
Настоящая работа посвящена изучению иного случая, когда возмущение описывается потенциалом, принимающим конечные (не малые) значения, но имеющим малый носитель. А именно, изучается дискретный спектр оператора
ПЕ -Д + V
- Iq j '«ЯШ**, НО« »•
в ограниченной односвязной области С К", п = 1,2,3, с граничным условием Дирихле на границе. В случае п = 1 мы полагаем П = (0,1), Д = d?/dx2, в случае п = 2,3
* Башкирский государственный педагогический университет, Уфа, Россия.
E-mail: BikmetovAR@bspu.ru, BorisovDI@ic.bashedu.ru
граница области П предполагается бесконечно дифференцируемой. Функция V(t) является произвольной вещественнозначной бесконечно дифференцируемой финитной функцией, определенной на всем пространстве, хо - некоторая фиксированная точка из П. Так как функция V финитна, то носитель потенциала в (1) сжимается в точку xq при е -> 0. Физически рассматриваемую задачу можно интерпретировать как задачу о потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (см. [1], § 22), когда на дне ямы присутствует узкий конечный всплеск.
Заметим, что если вопрос о спектре оператора (1) в Кп заменой переменных у = (х — хо)е~1 сводится к задачам, рассмотренным в [1], [2], то совершенно иная ситуация имеет место при изучении оператора (1) в ограниченной области. Легко видеть, что в данном случае указанная выше замена переменных не сводит задачу ни к ранее исследованной, ни к более простой задаче.
Целью настоящей работы является выяснение асимптотического поведения собственных значений оператора ЛЕ при е -> 0. Подчеркнем, что, в отличие от работ [1]-[5], здесь рассматривается возмущение, которое носит сингулярный характер и потому не может быть исследовано с помощью методик цитированных работ. Поэтому при построении асимптотик используется метод согласования асимптотических разложений [6]—[10]. Заметим также, что рассматриваемая задача не сводится и к схожим по постановке задачам с концентрированной массой (см., например, [11]).
В настоящей работе в явном виде построены первые члены асимптотических разложений собственных значений и собственных функций оператора И£ по параметру е. Показано, что эти первые поправки полностью определяются положением центра сжатия хо потенциала в (1), а также его средним значением, причем последнее также определяет и знак первой поправки.
Через Но обозначим оператор — Д в области П с краевым условием Дирихле на границе. Пусть Ао - простое собственное значение оператора Но, гро ~ соответствующая нормированная в П) собственная функция.
Используя схему доказательств, примененную в [8], [12], [13], можно показать, что при е -> 0 собственные значения и собственные функции оператора Н£ сходятся к собственным значениям и соответствующим собственным функциям оператора Но• Кроме того, к Ао сходится простое собственное значение Xе оператора НЕ, а соответствующая собственная функция фе сходится к Цо в норме Н1 (П). Обозначим
Основной результат работы формулируется в виде следующего утверждения.
Теорема. Собственное значение Xе оператора Л€, сходящееся к простому собственному значению Ао оператора Но, имеет асимптотику
2. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНОГО РЕЗУЛЬТАТА
so
.Tfii ,
Ае = Х0 + епХп + О(цп(е)), An = г1$Ы(У),
п
(2) (3)
374
а. р. бикмбтов, д. и. борисов
Г)№ О
где 01 (е) = £^2, ц2(е) = е3\\пе\^2, ц3(е) = еУ2. »■"-•-
замечание 1. В настоящей работе построены и асимптотики собственных функций. Однако представляется более удобным сформулировать соответствующее утверждение ниже (см. приведенную в разделе 5 лемму). +
Замечание 2. Подчеркнем, что асимптотики собственных значений, приводимые в теореме, не являются равномерными по номеру собственного значения. Не равномерны по номеру и асимптотики собственных функций, описанные в сформулированной в разделе 5 лемме.
Используя методику доказательства теоремы, можно получить полные асимптотические разложения собственных значений и собственных функций оператора Н£. В настоящей работе мы строим и обосновываем только первые члены асимптотических разложений, демонстрируя на их примере все идеи, необходимые для построения полных асимптотик. Построение полных асимптотик ничем не отличается от доказательства приведенной выше теоремы, но оно достаточно громоздкое с технической точки зрения. При получении строгой оценки остатка в асимптотиках (2) мы также стремились минимизировать число технических деталей, поэтому оценка остатка в (2) не является наилучшей по порядку.
Отметим, что нестрого формулу (3) можно получить следующим образом. Рассматривая потенциал в (1) как обобщенную функцию, мы можем представить его в виде
где 5{х — хо) - дельта-функция. Формально используя теперь формулу (38.6) из гл. 6, § 38 книги [1], получаем
Хе = А0 + е
п(У) [ Ф2о(х
)6(х -хо)(1х + --- = \о+ £П(У)ф%(х0) +
что совпадает с первыми членами в (2). Данный подход, разумеется, не может рассматриваться как строгое математическое доказательство, так как использованная формула для первой поправки может быть применена, вообще говоря, лишь в случае регулярных возмущений (см. [14], гл. 2, § 3). Кроме того, подобный подход приводит к неверной асимптотике для собственных функций, так как формула (38.8) из гл. 6, § 38 [1] для первой поправки к собственной функции с точностью до слагаемого вида Сфо(х) является разложением по собственным функциям оператора Но функции ф и из приведенной в разделе 5 леммы (что нетрудно проверить, умножая уравнение для фп на собственную функцию оператора Но, соответствующую тп-му собственному значению, и интегрируя затем по частям). Функция фп имеет особенность в точке хо, совпадающую с особенностью функции Грина для оператора Лапласа (см. ниже (12), (31)). В то же время, как следует из леммы, первая поправка к собственной функции помимо фп включает в себя еще одно слагаемое, причем данная сумма вышеупомянутой особенности не имеет.
I
функций, ерждение
вводимые в 'Е:- равыомер-г^-оованной в
В^ ¿симптоти-Вна-езтческих раз-кния полных к^зательства г:чки зрения. ШУ-ТИСЬ мини-1яется наи-
Рассмат-в виде
6) из гл. 6,
I .
кет рассмат-шая формула 1чае регуляр-С к неверной (ё 1] дляпер-рг х) являет-(«веденной в сгоственную ■ интегрируя >: особеннос-с зремя, как в:чает в себя е >1меет.
о дискретном спектре оператора шредингера
375
При доказательстве теоремы нам удобно будет рассматривать собственные значения и собственные функции операторов НЕ и Но как собственные элементы следующих краевых задач:
-Д ф£ + V
X — Хд
АЕфЕ, х€П, фЕ = 0, х£дП,
-Аф0 = ^оФо, ^о = 0, х £ дП.
(4)
(5)
Статья построена следующим образом. Раздел 3 посвящен построению асимптотических разложений в условиях сформулированной теоремы в случае п = 1. Построение в двумерном и трехмерном случаях проведено в разделе 4. Раздел 5 посвящен строгому обоснованию асимптотических разложений, т.е. получению оценки остатка асимптотических разложений. , ^ 5((
3. ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИК В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ
В настоящем разделе будут формально построены первые члены асимптотик собственных значений и соответствующих собственных функций задачи (4) в одномерном случае в условиях теоремы.
Сходимости Xе —> Ао, фе ► фо означают, что главными членами асимптотических разложений Xе и фе являются соответственно Ао и фо. Следующие члены асимптотических разложений А£ и фЕ будем строить так, чтобы эти асимптотики при подстановке в (4) давали достаточно малую невязку. Так как возмущающий потенциал в уравнении (4) сосредоточен на малом интервале и фактически зависит от "растянутой" переменной^ = (х — хо)/£, то, следуя методу согласования асимптотических разложений [6], асимптотику собственной функции фе в малой окрестности точки хо будем искать в виде ряда с коэффициентами, зависящими от переменной £ (внутреннее разложение). Вне окрестности точки хо асимптотику фе будем искать в виде внешнего разложения, зависящего от переменной х. ( \
Асимптотику собственного значения будем строить в виде
Ае = А0 + еА1 +
(6)
Внешнее разложение для собственной функции фе будем искать в следующем виде: ,
ф\:х' (х) = ф0{х) + ефг (х) + ••• , х < хо, ф°х'+(х) = ф0(х) + еф? (х) + ■ ■ ■ , х>х0.
Выясним теперь вид внутреннего разложения. Ясно, что фо 6 С°° [0,1], следовательно, в окрестности точки хц функция фо разлагается в ряд Тейлора:
фо(х) = фо{хо) + ф'0{хо)(х - го) + ^о'О^оНа: - х0)2 + 0{{х - х0)3).
Переписывая теперь данное разложение в переменных видим, что при х —> хо выпол-нено равенство
,иифо{х)=Фо{хо)+£ф'о{хо)^+\£2Фые+о{езе)-
376 ' а. р. викметов, д. и. борисов
Отсюда согласно методу согласования асимптотических разложений выводим, что внутреннее
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.