КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
534.26
О ДИССИПАТИВНОЙ ПРИСОЕДИНЕННОЙ ДЛИНЕ ОТВЕРСТИЯ ПЕРЕГОРОДКИ В КРУГЛОМ КАНАЛЕ © 2015 г. А. И. Комкин*, М. А. Миронов**
*Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана 105005 Москва, ул. 2-я Бауманская 5 E-mail: akomkin@mail.ru **Акустический институт им. Н.Н. Андреева 117036 Москва, ул. Шверника 4
E-mail: mironov@akin.ru Поступила в редакцию 09.11.2014 г.
Проведен теоретический анализ вязкого трения, возникающего при прохождении плоской звуковой волной перегородки с отверстием в круглом канале. Решение ищется в виде ряда по собственным функциям канала. В результате находится сопротивление трения, которое описывается в терминах диссипативной присоединенной длины отверстия. Получена зависимость диссипативной присоединенной длины отверстия от отношения диаметра отверстия к диаметру канала.
Ключевые слова: звуковая волна, вязкость, канал, перегородка, отверстие, сопротивление трения, диссипативная присоединенная длина.
DOI: 10.7868/S032079191504005X
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 4, с. 442-446
УДК
Как известно, при прохождении звуковой волной отверстия происходит частичный переход поля этой волны в поле быстро затухающих неоднородных волн в окрестности отверстия. Формально это обстоятельство, начиная с Рэлея [1], учитывается введением присоединенной длины (концевой поправки) отверстия. Аналитические оценки присоединенной длины отверстия перегородки в каналах различного поперечного сечения, которые в любом случае оказываются пропорциональными радиусу отверстия, даны в работах Фока [2] и Ингарда [3], а их дальнейшее обобщение — в [4]. Данный параметр правильнее было бы назвать инерционной присоединенной длиной, так как ее учет приводит к увеличению расчетной массы воздуха в отверстии.
Наряду с этим используется концевая поправка для сопротивления трения, связанная с потерями на трение в окрестности отверстия перегородки [3, 5]. Часто ограничиваются рассмотрением трения только на поверхности отверстия, описывая его сопротивлением трения Я,, или его
нормированной величиной Д = (рс) = (к8у/ а)1, где к = ю/с — волновое число; ю — круговая частота; с — скорость звука в среде; Sv = (2v/ю)1/2 — глубина проникновения вязкой волны; V — кинематическая вязкость среды; а — радиус отверстия; I — глубина отверстия, равная толщине перегородки. Для тонких перегородок, когда I < а, необходимо учитывать также трение на параллельных поверхностях
самой перегородки в окрестности отверстия. Имея это в виду, Ингард [3], основываясь на проведенной А.К. Нильсеном теоретической оценке сопротивления трения в перегородке с отверстием радиуса а в круглом канале радиуса Ь, приводит для предельного случая а < Ь формулу для сопротивления трения при поршневом движении в отверстии, которая в наших обозначениях имеет вид
Д = (к5»(/ + а). (1)
Таким образом, наличие трения на поверхности перегородки формально можно также учесть увеличением действительной длины отверстия I на величину концевой поправки, равной а. Так как эта поправка обусловлена наличием диссипации энергии на поверхности перегородки, то представляется целесообразным эту вторую поправку назвать диссипативной присоединенной длиной отверстия, подобно тому как в [6] при рассмотрении движения тел в вязкой среде возникающую при этом силу сопротивления разделяют на две части: диссипативную и инерционную. Заметим, что как инерционная, так и диссипативная присоединенная длина оказываются пропорциональными радиусу отверстия. Первый параметр при рассмотрении, например, резонатора Гельмгольца, влияет на его собственную частоту, второй параметр оказывает влияние на коэффициент поглощения такого резонаторного элемента. Далее Ингард [3] для согласования расчетных данных с результатами проведенных им экспериментальных исследований
О ДИССИПАТИВНОЙ ПРИСОЕДИНЕННОЙ ДЛИНЕ ОТВЕРСТИЯ ПЕРЕГОРОДКИ 443
пришел к выводу о необходимости увеличения вдвое вязкой присоединенной длины отверстия. При этом формула для сопротивления трения
преобразуется к виду ЯI = (кдх/а) (I + 2а). Эта формула используется и до настоящего времени [7, 8].
Вместе с тем, следует отметить, что в предложенной Ингардом формуле не учитывается влияние конечности размера перегородки. В связи с этим возникает необходимость рассмотрения более общего случая: оценки сопротивления трения в перегородке при произвольном соотношении между радиусами отверстия и канала. Решению этой задачи и посвящена данная работа.
Рассмотрим канал круглого поперечного радиуса Ь с установленной в нем поперечной перегородкой толщиной I с осесимметричным отверстием радиуса а. Совместим положение перегородки в канале с началом координат так, чтобы поперечная ось г лежала на правой поверхности перегородки, а ось симметрии канала совпадала с продольной осью х (рис. 1а). Решение задачи будет состоять в рассмотрении волнового уравнения для невязкой среды в канале и нахождении с его помощью колебательной скорости акустической волны в канале. Соответствующие этому движению линии тока условно показаны на рис. 1б сплошными линиями. В вязкой среде касательная скорость на стенках перегородки должно быть равна нулю, что обеспечивается добавлением поля вязких волн, занимающих тонкий пристеночный слой, показанный на этом рисунке пунктирными линиями. Амплитуда вязкой волны на стенке должна быть равна амплитуде соответствующей акустической волны, но иметь противоположный знак. Вычисляя касательное напряжение, пропорциональное касательной скорости в потенциальном поле, и умножая его на колебательную скорость, получаем плотность потока теряемой мощности. Она оказывается пропорциональной квадрату касательной скорости в потенциальном поле. Интегрируя квадрат модуля этой скорости по поверхности перегородки, получим диссипируемую мощность, а затем эффективную силу трения и искомое сопротивление трения на перегородке.
Положим, что в левой стороне канала генерируется плоская звуковая волна, а с противоположной стороны канала имеет место поглощающая нагрузка, обеспечивающая отсутствие в канале отраженных волн. Тогда звуковое давление при х > 0 можно представить в виде суммы нормальных мод:
(а)
(б)
P(r,x) = XAnJо (а„r/b)eik"x,
(2)
n=0
□е!
x = 0
Рис. 1. Перегородка в канале: (а) расчетная схема; (б) линии тока.
функции Бесселя 1-го порядка; kn = k^ 1 - аП/(kb)2 = = kkn — продольная компонента волнового числа.
Скорости частиц v в звуковой волне, распространяющейся в среде с плотностью р, находим из уравнения движения
рд\/ dt + Vp = 0. Подстановка в это уравнение решения (2) приводит к следующим выражениям для амплитуд скоростей в продольном Vx и радиальном Vr направлениях:
да
Vx (r, x) = -1X Wo (a nrlb)eiknx, (3)
РсП=0
да
Vr (r, x) = -L- X Ana n Ji (a „r/b) ekx. (4)
pckb „
1 n=0
Для того, чтобы найти значения коэффициентов An в этих выражениях, разложим продольную компоненту скорости при X = 0 в ряд по функциям Бесселя [9]:
Vx(r)=Vo = a + XaJo (от/ b),
(5)
где коэффициенты Фурье
ао =
72 fVx0rdr, an = l2} ч iVx0J0(anrlb)rdr. (6) b J b Jo(an) J
где Ап — амплитуда п-й моды звуковых колебаний; /0 — функция Бесселя нулевого порядка; ап — нули
0 " 4 0 Следуя [1, 3], будем считать, что осевое движение частиц среды в отверстии перегородки является поршневым и совершается с амплитудой скорости У0. Учитывая также, что значение осевой скорости в канале на стенках самой перегородки равно нулю, можно в верхнем пределе интегрирования (6) заменить величину Ь на а. Тогда коэффициенты Фурье приводятся к виду
2 gJl(a „¿)
ао = Vog , an = Vo -
anJ0 (an)
(7)
r
x
да
=1
n
да1
где g = а/Ь. Из сравнения выражений (3) и (5) при х = 0 вытекает соотношение к„Л„ = рсап, из которого с учетом (7) находим искомые значения коэффициентов Ап:
A = pcV0g , A„ = pcV0 =
2gJ i(a „g)
(8)
k„a „J o(a „)
Подставляя теперь (8) в (2), получим выражение, описывающее распределение звукового давления при х = 0:
да
P(r) = pcVo g2 - ikaXM Jo (a„rlh)
_ „=1 a „J o(a „) J (9)
= PcVo _g2 - ikaPH(r)]. Эта формула соответствует низкочастотному приближению, когда k„ « ia„/(kh), которое будет использоваться и в дальнейшем. При этом первое слагаемое в квадратных скобках определяет амплитуду плоской волны, а слагаемые под знаком суммы — амплитуды затухающих неоднородных волн. Вид функции существенно зависит от параметра g. Заметим, что если найти среднее значение второго слагаемого в (9), проинтегрировав его по поперечному сечению канала, то получим величину, определяющую нормированный импеданс отверстия в перегородке с правой стороны канала:
£,с = -ika
2п
па
J*PH (r)rdr
(10)
= ika
4 J i(a „g)
= ikla
п=1 0(а п)
где /а — инерционная присоединенная длина отверстия, которая для небольших отверстий в перегородке, когда g < 0.25, аппроксимируется линейной зависимостью [4]:
а = 0.81(1-1.34^а. (11)
Аналогично, подставляя (8) в (3) и (4), получим выражения, описывающие распределение продольной и радиальной компонент скорости частиц в поперечном сечении канала при х = 0:
да
Vx(r) = Vog2 + VoX 2gJl2a„g) Jo (a„rlh) = VoK(r),
„=1 a „J o(a „) (12)
да
Vr(r) = VoX J„g) Ji («„Ф) = VoVr(r). (13)
„=1 a „J o(a „)
Графики величин Vx(r) и Vr (r) как функций безразмерного параметра r/b, вычисляемые здесь и в дальнейшем для 50 членов ряда, представлены на рис. 2. Продольная компонента скорости, как и следовало ожидать, удовлетворяет заданным граничным условиям, обращаясь в ноль на стенке перегородки. Радиальная компонента скорости принимает максимальные значения на кромке отверстия при r/b = g. Величина этого максимума зависит от g и в соответствии с (13) определяется выражением
V (g) = X
f r maxvo/ / j
2 gJi(a „g)
п=1 а п^ 0(а п)
График функции Угтах(д), представленный на рис. 3, имеет экстремум при g = 0.6. Следует отметить, что отсутствие бесконечности поля радиальной скорости на кромке отверстия связано с предположением о поршневом движении среды в отверстии.
Как отмечалось выше, равенство нулю полной касательной скорости в вязкой среде на поверхности перегородки обеспечивается добавлением вихревого (вя
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.