ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2009, том 426, № 5, с. 626-628
МЕХАНИКА
УДК 532
О ДИССИПАЦИИ ЭНЕРГИИ ПРИ ДВИЖЕНИИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ © 2009 г. А. Д. Гиргидов
Представлено академиком С.С. Григоряном 23.10.2008 г. Поступило 23.10.2008 г.
Принцип минимума диссипации механической энергии для несжимаемой жидкости представляет собой следующее эвристическое утверждение. При фиксированных условиях на границах объема V поле скорости обеспечивает минимум функционалу, выражающему диссипированную мощность Р/ вязких сил внутри этого объема [1, с. 320]:
P
= 121X (
"i, j + "j, i
ч j = 1
dV,
(1)
X "¡. i = 0
(2)
Система уравнений Эйлера-Лагранжа, обеспечивающая минимум функционала (1) при выполнении условия (2) , имеет вид [3, с. 324]:
X
k = 1
Afin - dF = о,
Э Xk v9 "i, J d"
где
F = n X ( "i. j + "j, i )2 + ^X "i. i'
(3)
(4)
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
Подставляя (4) в (3), после простых преобразований получим векторное уравнение
2^Au + grad X = 0.
(5)
где и = (и1, и2, и3) - скорость жидкости; х = (х1, х2, х3) - декартовы координаты; п - динамический коэффициент вязкости, г, ] = 1, 2, 3; индекс после запятой означает дифференцирование по соответствующей координате. Этот принцип представляет собой частную форму принципа наименьшего рассеяния энергии Онсагера для стационарного состояния "открытых" термодинамических систем [2, с. 173].
Дополнительным условием, накладываемым на проекции скорости, является уравнение несжимаемости
Уравнение (5) под названием формула Гельм-гольца-Рэлея приведено Дж. Серрином [4, с. 243] в качестве гипотезы, являющейся достаточным условием минимума диссипации энергии при движении несжимаемой жидкости (теорема Гельм-гольца). Тот факт, что это уравнение соответствует минимуму функционала (1), свидетельствует о том, что уравнение (5) является также необходимым условием минимума диссипации.
Подставим уравнение (5) в уравнение Навье-Стокса:
Р ! = Р f -grad Р + nAu,
(6)
где р - плотность жидкости, р - гидродинамическое давление, Г = (/1, /2, /3) - интенсивность внешней массовой силы, А - оператор Лапласа, г - время. В результате, полагая, что внешняя массовая сила имеет потенциал и, получим, что решения уравнения Навье-Стокса, которые обеспечивают минимум функционалу (1), должны удовлетворять как уравнению (5), так и равенству
gradX = -2( рI!" + gradp - рgradU
(7)
где U - потенциал внешней массовой силы. Используя операцию rot, из уравнений (5) и (7) получим систему уравнений, которые определяют кинематические условия, накладываемые на поле скорости:
г, ] = 1 г = 1
а Х(хь х2, х3) - множитель Лагранжа, который вследствие неголономности условия (2) является функцией координат.
rot Au = A rotu = 0,
rot1----" = Trrotu - (rotu • grad)u = 0. 1t 1t
(8)
Сопоставим систему (8) с обобщением уравнения Гельмгольца на случай вязкой жидкости [5, с. 431]:
Itrotu - (rotu • grad)u = vArotu, (9)
V
3
3
О ДИССИПАЦИИ ЭНЕРГИИ
627
где V - кинематический коэффициент вязкости. Поскольку система (8) выделяет те решения уравнения (9), которые минимизируют функционал (1), минимум диссипации механической энергии при движении вязкой несжимаемой жидкости реализуется на таких полях скорости, при которых и левая и правая части уравнения Гельмгольца (9) равны нулю.
Приведем несколько примеров таких полей скорости.
1. Наиболее очевидное нетривиальное решение системы (8)
rot u - 0
(10)
выделяет класс безвихревых потоков. Отметим, что при выполнении условия (10) согласно (5) X = = const. Если поле скорости имеет потенциал, то в уравнениях Навье-Стокса слагаемое, содержащее коэффициент вязкости, тождественно равно нулю, а решение уравнений Навье-Стокса является вместе с тем решением уравнений движения невязкой жидкости Эйлера. В этом случае на твердой границе потока допускается постановка только одного граничного условия (например, условия непроницаемости un = 0), в то время как второй порядок дифференциальных уравнений Навье-Стокса позволяет в общем случае поставить физически обоснованные условия прилипания (u = 0). На этом основании обычно полагают, что потенциальные поля скорости, являющиеся решениями уравнений Навье-Стокса, не представляют интереса. Вместе с тем можно привести два практически полезных примера, в которых поле скорости движения вязкой жидкости имеет потенциал.
а. Гравитационные поверхностные волны малой амплитуды на глубокой воде. Расчетный объем жидкости в этом случае не имеет твердых границ и нет необходимости в постановке условий прилипания. Поле скорости, полученное на основе модели невязкой жидкости для прогрессивной волны, имеющей амплитуду а, малую по сравнению с длиной волны l, определяется потенциалом [6, с. 478]
kz
ф = ace cos к(x - ct),
(11)
где а0 - амплитуда волны при t = 0. Таким образом, поле скорости, описываемое потенциалом (11), фактически используется для вычисления характеристики течения вязкой жидкости.
б. Поток жидкости вне пограничного слоя и следа при обтекании потенциальным потоком твердого тела. Введение пограничного слоя можно рассматривать как прием, с помощью которого обеспечивается возможность постановки на внешней границе пограничного слоя условия непроницаемости для потенциального потока, обтекающего тело. Обычно полагают [5, с. 445], что вследствие малой толщины пограничного слоя эта граница практически совпадает с поверхностью тела, и эта поверхность обтекается невязкой жидкостью. Вместе с тем ничто не запрещает считать, что вне пограничного слоя тело обтекается вязкой жидкостью, и использовать потенциальное поле скорости для вычисления, например, диссипации механической энергии во внешнем потенциальном потоке.
2. Минимум диссипации реализуется в случае стационарного винтового движения жидкости, так как подстановка определяющего этот класс потоков равенства u х rot u = 0 в уравнение (7) при X = const обращает это уравнение в тождество.
3. Примерами течений с вихревым полем скорости, удовлетворяющим уравнениям (8), являются течения Куэтта между параллельными плоскостями и коаксиальными цилиндрами. В случае этих течений, как и в случае потенциального поля скорости, X = const.
а. Течение Куэтта между двумя параллельными плоскостями, одна из которых неподвижна, а вторая движется в направлении осиxс постоянной скоростью V. Обозначив через x1 координатную ось вдоль течения, через x3 -нормальную к плоскостям координатную ось, а через H - расстояние между плоскостями, имеем
V
ui = H[x3'
(13)
где с - скорость волны, х - горизонтальная, а г -
вертикальная координаты, к = 2 . Для этого поля
скорости без использования диссипативной функции получена формула уменьшения амплитуды волны со временем за счет работы силы вязкости, когда причина, вызвавшая волну (например, ветер), уже не действует [6, с. 785]:
Легко проверить, что распределение скорости удовлетворяет первому уравнению системы (8).
б. Течение Куэтта между коаксиальными цилиндрами, имеющими радиусы Я1 и Я2 > Я^ цилиндры вращаются с угловыми скоростями 01 и 02. Тангенциальная составляющая скорости жидкости щ в любой точке потока является функцией только расстояния г от этой точки до оси вращения:
а = a0e
(12)
Q.2 R2 — Ri (Q2- ) R2 R2i
U£ — 0 0 Г + О 0 •
R2 - R1 R2- R1 r
(14)
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК том 426 < 5 2009
4*
628
ГИРГИДОВ
Первое слагаемое этого выражения описывает движение объема жидкости, содержащейся между цилиндрами, как твердого тела (без деформации). Второе слагаемое определяет поле скорости с потенциалом
(Q2- )R1R2 Ф = -2-2-£'
r2- ri
(15)
X = -2p + 2рU.
(16)
п D
где 0 = ^—4— , g - ускорение свободного падения,
у - средняя скорость, определяемая по формуле Вейсбаха-Дарси:
_ ßgZD Xl
(18)
где £ - угловая координата. Это поле скорости удовлетворяет условию (10). Следовательно, поле скорости, соответствующее выражению (14), минимизирует функционал (1), причем абсолютный минимум, равный нулю, обеспечивается при 02 = ^1, когда в (14) отлично от нуля только первое слагаемое и жидкость движется без деформации, т.е. без диссипации механической энергии.
4. Если ускорение жидкости равно нулю (течение Пуазейля) или пренебрежимо мало (течение
Стокса), т.е. при В = 0, из (7) следует:
Этот случай соответствует доказанной Гельм-гольцем теореме, согласно которой в стоксовых течениях механическая энергия, диссипируемая при действительном (т.е. соответствующем решению уравнений Навье-Стокса) движении жидкости в некотором объеме, меньше, чем при произвольном движении с тем же распределением скорости на поверхности этого объема [4, с. 244; 5, с. 429]. Связь множителя Лагранжа, вводимого для выполнения условия несжимаемости жидкости, и гидродинамического давления была отмечена в [7, с. 214; 8, с. 116] при реализации вариационного принципа Гамильтона-Остроградского применительно к движению невязкой жидкости.
Таким образом, сформулированный принцип минимума диссипации можно рассматривать как обобщение принципа Гельмгольца на случаи течений, в которых силами инерции жидкости пренебрегать нельзя. При этом, если допустима постановка соответствующих граничных условий, решение системы уравнений (8) определяет поле скорости течения вязкой жидкости, обеспечивающее минимум диссипации механической энергии.
5. Рассмотрим течение в круглой цилиндрической трубе диаметром В, соединяющей два резервуара, разность уровней жидкости в которых равна X. Длина трубы I настолько велика, что потерями энергии на вход в трубу и выход из нее можно пренебречь по сравнению с потерями по длине. Диссипацию механической энергии Р в трубе можно выразить через потерю напора щ = X:
Pf = pgQh = pgQZ,
(17)
(X - коэффициент гидравлического трения). При малых значениях Z, когда число Рейнольдса ReD =
vD .г» V
= меньше нижнего критического (ReD)кр и
режим движения ламинарный, как показано в разделе 3, стационарное поле скорости обеспечивает минимум диссипации в объеме жидкости, заполняющем рассматриваемую гидравлическую систему. Увеличивая Z, можно достичь таких чисел Рейнольдса (ReD < ReD < (ReD )fF), при которых можно считать, что при одном и том же Z в трубе мо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.