ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2014, том 50, № 1, с. 61-79
математический анализ экономических моделей
о договорном подходе в моделях экономики типа эрроу-дебре-маккензи
© 2014 г. в.м. маракулин1
(Новосибирск)
В работе анализируется договорной подход в моделях экономики с производственным сектором. Исследовались как модели с выпуклыми, так и невыпуклыми производственными множествами. Понятийная база теории договоров, разработанная в (Маракулин, 2003, 2011), модифицируется и адаптируется к моделям с производством: уточняются понятие сети договоров, доминирования сетей по коалициям, частичный разрыв договоров и пр. Для модели с невыпуклым производством введено новое понятие маргинально-договорного распределения, которое затем используется в анализе равновесия с ценообразованием по предельным затратам (МСР-равновесие) - применяется в невыпуклом случае вместо вальрасовского равновесия. Основные результаты представлены в виде теорем об эквивалентности равновесий и разного типа договорных распределений. В частности, эквивалентность между МСР-равновесием и маргинально-договорными распределениями можно рассматривать как теоретическое обоснование концепции МСР-равновесия в невыпуклых экономиках. В целом работа развивает договорной подход как универсальный метод моделирования условий совершенной конкуренции.
ключевые слова: конкурентное равновесие, МСР-равновесие, ядро, договор, договорной подход, экономика с производством, невыпуклое производство.
классификация JEL: С62, D51.
ВВЕДЕНИЕ
Одна из основных целей экономической теории и ее составной части - теории общего равновесия - состоит в том, чтобы описать распределение ресурсов, реализуемое через систему рынков. В рамках классической модели Эрроу-Дебре-Маккензи итоговое распределение ресурсов выявляется через концепцию конкурентного равновесия, которая и является основным объектом теоретического анализа (Arrow, Debreu, 1954; McKenzie, 1954; Mas-Colell et al., 1995; Алипран-тис и др., 1995). Модель Эрроу-Дебре развивалась и обобщалась в разных направлениях, в том числе рассматривались модели с невыпуклыми технологическими множествами и с общественными благами.
В классической модели Эрроу-Дебре предположение о выпуклости технологических множеств (и наборов благ, предпочитаемых некоторому потребительскому набору) является существенным, иначе равновесия могут не существовать. Однако невыпуклость в производстве характерна для многих производственных сфер и содержательно связана с возрастающими отдачами от масштаба (например, частные коммунальные предприятия). Поэтому изучение случая, когда производственные множества невыпуклые, само по себе представляет важную задачу. Невыпуклость в технологии приводит к известному понятию равновесия с ценообразованием по предельным затратам, так называемого MCP-равновесия. Существование MCP-равновесия для
1 В значительной степени результаты исследования были выполнены во время моей трехмесячной стажировки осенью 2010 г. в Центрально-Европейском университете (Будапешт, Венгрия) в рамках SE-программы (специальная расширенная). Я выражаю искреннюю благодарность университету, экономическому факультету и SE-программе за гостеприимство и созидательную атмосферу, способствующую исследовательской работе.
монопольной экономики с одной фирмой впервые было установлено в (Mantel, 1979). В работе (Beato, Mas-Colell, 1985) было доказано существование равновесия с маргинальным ценообразованием для нескольких невыпуклых производств, но наиболее общие результаты были получены в (Bonnisseau, Cornet, 1988, 1990); достаточно полный обзор литературы можно найти в (Brown, 1991). Таким образом, стала развиваться теория равновесия для невыпуклых производственных множеств. Особо отметим, что равновесие с ценообразованием по предельным затратам дает лишь необходимое условие Парето-оптимальности текущего (равновесного) состояния экономики (вообще говоря, равновесие может не быть оптимальным по Парето); в выпуклом случае оно является достаточным и соответствует принципу максимизации прибыли у производителей.
В настоящей работе изучаются математические модели экономики с производственным и потребительским сектором. Структурно это модели Эрроу-Дебре, причем в производственном секторе допускается возрастающая отдача от масштаба. В основу анализа положен договорной подход, разработанный автором в серии работ этого десятилетия, однако его зачатки появляются еще в 1970-х годах в работах (Полтерович, 1970; Макаров, 1980, 1982; Козырев, 1981, 1982). В потребительском секторе договор - это некоторый элементарный бартерный контракт, в соответствии с которым члены коалиции осуществляют обмен продуктами; в производственном секторе - это контракт, в рамках которого агенты несут материальные издержки, связанные с производством потребительских и общественных благ. Совокупности договоров образуют сети, которые могут трансформироваться путем заключения новых взаимовыгодных договоров и разрыва имеющихся: в том числе, как вариант, допускается возможность частичного разрыва договоров - в этом и состоит основная новизна и преимущество нашего подхода. Особенность подхода состоит в том, что все процессы осуществляются без цен или каких-либо других стоимостных параметров. При договорном подходе изучаются стабильные сети, причем это может быть стабильность разного типа. В частности, для модели обмена было показано, что равновесие можно охарактеризовать сетями договоров такими, что нет желающих заключать новые контракты и частично рвать имеющиеся. Теория договоров в рамках модели чистого обмена развивалась в (Маракулин, 2002, 2003, 2011). Экономики с общественными благами - в (Marakulin, 2013); подход удалось распространить на модели этого типа, причем он оказался исключительно эффективным. Настоящая работа нацелена на то, чтобы заполнить существующий пробел и исследовать в договорном контексте экономики с производственным сектором, в том числе невыпуклым. Для моделей с производством в работе получена договорная характеризация вальрасовских равновесий с выпуклым производственным сектором и MCP-равновесий (ценообразование по предельным издержкам) в невыпуклом случае.
Работа организована следующим образом. В разд. 1 дается описание базовой модели Эрроу-Дебре и применяемых в ее контексте понятий конкурентного (вальрасовского) равновесия и равновесия с ценообразованием по предельным затратам (MCP-равновесие). Здесь же формулируется теорема Мантела - один из первых и математически простейших результатов по существованию MCP-равновесия. Разд. 2 посвящен основным положениям договорного подхода в выпуклом случае: формулируется модель, даются определения и доказывается теорема об эквивалентности равновесия и правильного договорного, а также нечетко договорного распределения. Разд. 3 посвящен обобщению договорного подхода на модель с невыпуклым производственным сектором. Здесь вводится понятие маргинально-договорного распределения и доказывается теорема об эквивалентности отвечающих им распределений и равновесий с ценообразованием по предельным затратам.
1. МОДЕЛЬ ЭРРОУ-ДЕБРЕ-МАККЕНЗИ
В краткой форме модель экономики типа Эрроу-Дебре представляется как совокупность параметров EAD = (I, J, Rl, {X, P/0, e, {6¿}}¿!J, {Yj}i!J). Здесь I = {1, ..., n} - множество потребителей, J = {1,..., m} - множество производителей, l - число товаров, Rl = E - пространство
продуктов. Через Xi С Rl обозначены потребительские множества, X = %Х, а р Xi & X -
i = I
это точечно-множественное отображение, определяющее предпочтения индивида i, где Pi(xi) =
= {y ! X, | yi (, x} - множество потребительских наборов, строго предпочитаемых агентом i набору x. Потребители обладают начальными запасами продуктов e t ! X, i ! I. Положим
n
e = (ex,..., en) и пусть e = /ei. Производитель j ! J описывается производственно-технологи-
i = 1
ческим множеством Yj с E, Y = %Yj, заданным в терминах потоков. В модели также определе-
i = j
ны nm скалярных величин 6j > 0 - компоненты вектора 6i = (6i1,..., 6,m), - это доля потребителя i
n
в прибыли Kj производителя j ! J; при этом /б, = (1, ..., 1).
i = 1
Напомним определение конкурентного (вальрасовского) равновесия.
Определение 1. Тройка (x, y, p), где x = (хг)г!Х ! X - это семейство планов потребления, y = (yJ)j!x ! Y - производственные планы и p = {px,..., p) * 0, p ! E' - вектор цен, называется
квазиравновесием, если:
py} > (p, Yj)Vj ! J2, (1)
m
(p, P,(xi)) > pei + /ijpyj = px, 6i ! I, (2)
j =1
n n m
/ = /ei + /yj. (3)
i=1 i=1 j=1
Если в (2) знак строгий, то тройка (x, y, p) называется конкурентным (вальрасовским) равновесием.
Требования (1)-(3) имеют обычный экономический смысл. В варианте строгого неравенства условие (2) означает, что потребительский план xi является оптимальным выбором (спросом)
m
индивида i в рамках бюджетного ограничения pzi < pei + /б/pyj = ri (p, y), zi ! X, правая часть
j=1
которого представляет доходы индивида из всех источников (от продажи собственности ei и доли в прибылях фирм ijpyj) при заданных ценах p = {px,..., p) ! E'. Условие (1) говорит о том, что производители максимизируют прибыль, а (3) - это материальный баланс, что обычно выражают как равенство спроса и предложения.
Условия, обеспечивающие существование равновесия в модели Эрроу-Дебре, хорошо известны в литературе, например, см. (Mas-Colell, Whinston, Green, 1995; Алипрантис, Браун, Беркеншо, 1995; Маракулин, 2012). В потребительском секторе это непрерывность (возможны разные варианты), открыто-выпуклозначность, иррефлексивность и локальная ненасыщаемость предпочтений P, : X, & X, 6i ! I. Потребительские множества выпуклые и замкнутые, причем такие, что множество допустимых распределений компактно. Этих требований достаточно, чтобы в модели обмена существовали квазиравновесия или более тонкое понятие равновесия с нестандартными ценами (Маракулин, 2012). Для того чтобы существовали равновесия, нужно дополнительно требовать какое-нибудь из условий выживаемости (survival assumptions) -ресурсную связность, неразложимость и т.д.
Остановимся подробнее на про
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.