МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <4 • 2008
УДК 532.3:532.5.011
© 2008 г. И. Ю. МАКАРИХИН, Б. Л. СМОРОДИН, Е. Ф. ШАТРОВА О ДРЕЙФЕ ШАРОВ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ
Изучен дрейф шаров во вращающейся жидкости. Задача решена экспериментально и численно с помощью метода Галеркина. Показано, что при малых угловых скоростях вращения О скорость дрейфа шаров практически не зависит от О и только при достижении определенного критического значения О* начинает резко уменьшаться. Полученные экспериментальные зависимости скорости поступательного движения шаров от скорости вращения жидкости объяснены на основе теоретического рассмотрения.
Ключевые слова: вращающаяся жидкость, дрейф шаров, сила Кориолиса, течение Праунд-мена.
1. Постановка задачи. Стационарное движение быстро вращающейся жидкости относительно вращающейся с той же скоростью системы отсчета представляет собой наложение двух независимых движений: плоского течения в поперечной плоскости ху и осевого движения, не зависящего от координаты г. [1] (Праудмен, 1916). В связи с этим представляют интерес задачи по изучению осевого дрейфа шаров во вращающихся с постоянной угловой скоростью Ф = Оег жидкостях. Очевидно, что при "малых" О влияние сил инерции на скорость дрейфа шаров будет незначительным. При увеличении О в соответствии с законом Праудмена скорость дрейфа должна уменьшаться, и при О ^ ^ шар должен практически остановиться.
Исследование влияния вращения на скорость движущихся по оси вращения шаров восходит к экспериментам Тэйлора [2]. В этих экспериментах обнаружены подавление дрейфа шаров и образование областей вихревого движения жидкости за шаром (тэйло-ровские колонны) или перед ним (блокирующий эффект). Изучение различных аспектов этих явлений с экспериментальной и теоретической точек зрения имеет продолжительную историю (см. [3-5] и цитированные в них работы). Однако различные теоретические подходы основывались на каких-либо ограничениях: рассмотрении двумерных движений, учете вязкости только на границе тэйлоровской колонны, пренебрежении нелинейными слагаемыми.
В настоящей работе теоретическое исследование основано на решении полной нелинейной стационарной задачи об обтекании шара внешним потоком с учетом силы Кориолиса. Для малых чисел Рейнольдса решение получено с помощью разложений по малому параметру. Кроме того, экспериментально изучена зависимость скорости шаров от внешнего вращения в широком интервале чисел Рейнольдса. При этом показано, что вблизи шара траектории жидких элементов, полученные в результате теоретического анализа и эксперимента, находятся в хорошем согласии.
Физическую причину подавления дрейфа можно понять из следующих наглядных рассуждений. Пусть шар радиуса а под действием каких-либо постоянных сил приобрел в неподвижной жидкости скорость и. При ламинарном обтекании шара струйки тока вблизи его поверхности располагаются вдоль меридианов. Приведем жидкость во вращение. Тогда в достаточно далеких от экватора областях сила Кориолиса начнет поворачивать струйки в сторону от меридиана. (На Земле так образуются пассаты, дующие в северном полушарии на юго-запад.) При скорости дрейфа и время, в течение которого
каждая выбранная частица струйки тока огибает шар, порядка At1 ~ a/u. Из подобных же соображений размерности время, необходимое кориолисовой силе для разворота струйки тока, At2 ~ Ja/(Q.u). (Поскольку Ai1, и At2 определяются процессами, происходящими в одной и той же жидкости, вязкость, одинаковым образом влияющая на эти времена, в оценки не включена.) Если Ai1 > At2 (u/(Qa) ^ 0.2), то сила Кориолиса успевает развернуть струйку на 180°, создавая тем самым встречное по отношению к основному потоку движение вблизи обоих полюсов. Эти вихревые обтекающие шар потоки сформируют в приполярных областях застойные зоны, образуя своеобразные присоединенные к шару массы. В экспериментах Тэйлора указанные эффекты наблюдались при выполнении соотношения u/(Qa) ^ 0.2. При постоянной внешней силе такой процесс должен приводить к уменьшению скорости дрейфа.
Таким образом, в задачах обтекания тел во вращающихся жидкостях возникает конкурентная борьба между двумя факторами, определяющими скорость дрейфа. С одной стороны, это действующая на шар внешняя сила, с другой - сила Кориолиса, формирующая застойные области. Последние, однако, могут сформироваться только при условии At1 > At2. При обратном неравенстве, At2 > At1, зарождающиеся вихри уносятся в бесконечность обтекающим шар потоком, и шар будет двигаться с практически неизменной прежней скоростью и. Подавление дрейфа будет становиться заметным только при At2 < At1, т.е. при некотором критическом значении параметра. Подобная ситуация возникает во многих физических задачах и трактуется как потеря устойчивости основного состояния [6]. Приведенный здесь качественный анализ задачи подкреплен в следующих пунктах экспериментом и аналитическим расчетом.
2. Экспериментальное исследование. Наблюдение дрейфа шаров осуществлялось на установке, собранной на основе ультрацентрифуги СМ-06М "Элми". Вращение с помощью карданового сцепления передавалось на устройство с передаточным числом 100, что позволяло менять скорость вращения горизонтальной платформы, установленной на вертикальной оси устройства, от нуля до 30 об/мин. В качестве экспериментальной кюветы использовался прозрачный плексигласовый цилиндрический сосуд квадратного сечения со стороной 10 см и высотой 40 см, заполненный водой. Шарами служили пластмассовые бусинки (а = 0.484 см, р0 = 2.21 г/см3), полый пластилиновый шарик (a ~ 0.4 см, средняя плотность р0 = 0.99 г/см3) и (для демонстрационных целей) заполненный пластилином шарик от пинг-понга (a = 1.85 см, средняя плотность р0 = 0.997 г/см3).
Для визуализации течения вблизи шаров использовалась подкрашенная пермангана-том калия вода, две-три капли которой с помощью тонкой стеклянной трубочки выдавливались перед дрейфующим шаром. По другой методике шары дрейфовали через слой подкрашенной перманганатом калия воды.
Движение шара записывалось как видеоролик на персональный компьютер с помощью цифровой видеокамеры, установленной на вращающейся вместе с кюветой платформе. Скорость дрейфа измерялась в средней части кюветы при условии осевого движения шара. (Длина рабочего участка 36 см. Время движения измерялось с точностью до 0.01 с.) Просмотр и обработка видеоролика в режиме стоп-кадра проводились с помощью программы "VideoWave".
При обработке кадров по расстоянию, которое проходит шар за определенный промежуток времени, определялись скорость движения шара в покоящейся жидкости и0 и средняя скорость дрейфа при заданной скорости вращения жидкости и. О влиянии сил Кориолиса можно судить по отношению N = Uq/u скорости дрейфа шара в отсутствие вращения к скорости погружения (или всплывания для легких шаров) при стационарном вращательном движении жидкости.
Кроме того, были выполнены контрольные эксперименты с двумя жидкостями (вода и глицерин) и шариками различных диаметров и материалов (стальных от шариковых ручек и подшипников 0 = (0.50 ± 0.01) мм, 0 = (2.37 ± 0.01) мм и пластмассовых
12
N
6
0 100 200 Яе
Фиг. 1. Отношение скоростей дрейфа в неподвижной и во вращающейся жидкости N как функция числа Рейнольдса Яе = 20я2/у. Сплошная кривая - результат по методу Галеркина
плотности 1.1 г/см3 различных диаметров от 0.06 до 0.9 см с малым эксцентриситетом е < 0.01). В качестве сосудов использованы цилиндрические мензурки с диаметром порядка десяти диаметров используемых шаров и высотой около 50 диаметров. Скорость дрейфа шаров измерялась в средней части сосудов на длине в 10 см с помощью секундомера с точностью до 0.01 с. Мензурки устанавливались на обычном проигрывателе граммофонных пластинок с фиксированными скоростями 33, 45 и 78 об/мин и на установке, позволяющей плавно регулировать скорость оборотов от 10 до 100 об/мин.
Результаты экспериментов изображены точками на фиг. 1. Из графика видно, что N в пределах точности опытов не зависящий от чисел Рейнольдса Яе, меньших сотни. Однако при дальнейшем увеличении Яе параметр N начинает резко возрастать. В этом смысле результаты проведенных опытов напоминают классические результаты Силь-вестона по определению кризиса теплового потока через горизонтальный слой, подогреваемый снизу (так называемая "задача Рэлея", данные Сильвестона воспроизведены в [6]). В том и в другом случаях линии, проведенные по экспериментальным точкам в качестве "гида для глаз", имеют характерный излом, свидетельствующий о смене режимов. В задаче Рэлея это смена двух физически различных режимов: чисто теплопроводного и конвективного. В задаче о дрейфе шаров также происходит смена режимов: от ламинарного, стоксового обтекания к ламинарному же течению Праудмена. Переход от одного режима к другому происходит по сценарию, близкому к задаче Рэлея со слегка наклоненном к горизонту градиентом температуры [7].
Подобным образом ведет себя жидкость в задаче Г.А. Остроумова о конвекции в слегка наклоненном цилиндре [8] и при возникновении конвективных движений жидкости в деформированной шаровой полости при подогреве снизу [9]. Во всех этих трех примерах только молекулярная теплопередача изначально невозможна, однако конвективное движение при слабых подогревах практически незаметно и развивается лавинообразно только после достижения закритических режимов. Точно такая же ситуация реализуется в задаче о дрейфе шаров во вращающейся жидкости: даже при малых угловых скоростях вращения на шар все равно действовала сила Кориолиса, которая слегка поворачивала струйки тока в сторону (фиг. 2). Но при дальнейшем увеличении скорости вращения жидкости в приполярных областях закрутившиеся струйки формируют застойные области, движущиеся вместе с шаром (фиг. 3 и 4). Эти области при больших числах Рейнольдса дают начало известным тейлоровским столбам [2].
ИР'
Фиг. 2. Фотография всплывающего шара во вращающейся жидкости. Угловая скорость & направлена вниз, Яе = 1400
Фиг. 3. Фотографии шара, прошедшего через слой подкрашенной воды. Скорость вращения кюветы 33 об/мин, радиус шара 0.7 см
3. Теоретическое исслед
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.