ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 2, 2014
УДК 532.529.5
© 2014 г. О. Б. Гуськов
О ДВИЖЕНИИ КЛАСТЕРА СФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Рассмотрена задача о движении кластера из произвольного числа скрепленных друг с другом сферических частиц в идеальной несжимаемой жидкости. На основе развитого ранее метода самосогласованного поля получено выражение для присоединенной массы кластера в виде явной функции от координат всех частиц. Показано, что для частных случаев полученное решение совпадает с соответствующими результатами, известными в литературе. Для статистически равномерного распределения частиц на основе процедуры осреднения по их различным возможным конфигурациям в жидкости внутри сферического объема получена простая аналитическая зависимость средней величины присоединенной массы сферического кластера от его радиуса в первом приближении по объемной концентрации частиц.
Проблеме гидродинамического взаимодействия частиц при их совместном движении в идеальной жидкости посвящено большое количество работ. По-видимому, начало исследованиям в этой области было положено Хиксом [1] и Бассетом [2], получившими решение задачи о движении двух сфер. Задача о движении большего количества частиц оказалась чрезвычайно сложной, поскольку связана с фундаментальной проблемой многих тел, которая точно не решена до сих пор даже в классической механике. В связи с этим предпринимались попытки построения разного рода приближенных моделей. Одной из первых была предложена так называемая ячеечная модель, в рамках которой безграничная однородная суспензия рассматривается как среда, состоящая из множества одинаковых единичных ячеек, каждая из которых содержит одну частицу, окруженную жидкой оболочкой. Эта модель была разработана Каннингэмом [3] применительно к вязкой жидкости, а впоследствии была использована [4] для определения присоединенной массы газовых пузырьков, образующих в идеальной жидкости безграничную невязкую суспензию. Последний результат был уточнен [5] на основе физически более строгой модели, учитывающей гидродинамическое взаимодействие пузырьков в суспензии. Затем было получено [6] обобщение этого результата на случай частиц произвольной массы, однако решение имеет неявный вид и требует численных расчетов для каждых конкретных значений параметра, характеризующего соотношение плотностей частиц и несущей жидкости.
На базе концепции самосогласованного поля был разработан новый метод [7] решения задач о движении многих тел сферической формы в идеальной жидкости. Этот метод позволил получить ряд новых результатов [8—11] по динамике частиц в невязкой суспензии, в том числе в присутствии внешних границ, в виде простых аналитических зависимостей от определяющих параметров.
Все упомянутые выше работы и большинство других посвящены исследованию задач динамики "свободных" частиц, когда взаимодействие между ними в суспензии осуществляется только через посредство гидродинамических полей. Ниже на основе метода самосогласованного поля [7] рассмотрена качественно другая задача — исследуется динамика кластера, состоящего из большого количества сферических частиц, жестко скрепленных между собой таким образом, что в процессе движения структура их взаимного расположения в пространстве не меняется.
1. Конечная система частиц. Рассмотрим систему из N жестко скрепленных друг с другом сферических частиц радиуса а, погруженных в идеальную несжимаемую жидкость. Будем считать, что частицы скреплены между собой посредством связей, которые не оказывают непосредственного влияния на гидродинамику. Пронумеруем все частицы от 1 до N. Для удобства, но без ограничения общности при решении дальней-
шей задачи, можно представить себе модель кластера как систему из N частиц, каждая из которых жестко связана хотя бы с одной из соседних сфер, образуя таким образом жесткую пространственную структуру. Рассмотрим задачу, когда такой кластер в некоторый момент времени начинает движение с заданным ускорением б ) под действием внешней силы . Если обозначить координаты центров всех частиц как х^ , а их б), то потенциал скоростей жидкости будет иметь вид [7]
ускорения — как
N
V V па
* = XX -
2 п + 1
< /)
С
п + 1 у1"'уп
/ = 1 п = 1
у(0 у(0
Лг 1 — лг„
2п + 1
Л/
(1.1)
= х -;
Л =
а производные по времени от тензорных коэффициентов ,, удовлетворяют беско-
11 •■■¡п
нечной алгебраической системе уравнений
С
(/)
У1 - Уп
п! дх у 1 — дх,и
{-
1---Рк> Г1-
+
N " 2 к + 1 ка
х 1 х 1 ка • 01 п0',1)
XX к+Т Ср1 у—п
1 = 1 к = 1
1 */
(1.2)
( уО) у(1)-\лв1 —Хвк
п!дх,, ...дх,, I
1п
Л
2к + 1
Здесь и далее приняты тензорные обозначения переменных с условием о суммировании по повторяющимся нижним координатным индексам. Это условие не распространяется только на переменную Ri. Верхние индексы относятся к частицам, и чтобы отличать их от показателя степени, они заключены в круглые скобки.
В общем случае, когда скорости частиц не заданы, система (1.2) незамкнута, и ее необходимо дополнить уравнениями движения частиц и условиями связи между ними. Однако если ограничиться рассмотрением кластеров, обладающих симметричной структурой относительно оси, вдоль которой действует внешняя сила, то уравнения движения частиц с условиями связи между ними, очевидно, приводят к простому кинематическому соотношению
б0 = ¿г,
/ = 1, 2,
N
(1.3)
Следует отметить, что условие осевой симметрии структуры кластера не накладывает принципиального ограничения на применение развиваемого метода решения подобных задач. В данном случае оно принято для упрощения изложения, так как при этом нет необходимости рассматривать эффекты, связанные с вращением кластера, что не является предметом исследования данной работы.
Таким образом, задача определения потенциала скорости (1.1) сводится к нахождению коэффициентов С^ у на основании системы уравнений (1.2) совместно с условиями (1.3).
Если переобозначить теперь все переменные как безразмерные, принимая в качестве масштабов величин ускорение кластера , а также характерное расстояние
п
п
п
между центрами соседних сфер Ь, то в предположении малости параметра а = а/Ь все неизвестные функции можно искать в виде рядов по степеням этого параметра:
да да
Хт (т) /,(0 т • (г)(т) ,,
а ф , СГ1...Гп = > а СГ1...Гп (1.4)
т = 0 т = 0
Подставляя разложения (1.4) в систему (1.2) и приравнивая члены при одинаковых степенях малого параметра, получим систему рекуррентных соотношений
л(О(0) л(О(0) п ^ ,
сл = -еУ1, СУ1^г„ = 0 при п > 1, еУ1 =
N [(т- 1)/2] (1.5)
•(')(т) ^ ^ К •(])(т - 2к -1) (/. г) . ,
Сп—п = ^ ^ к+1 Ср1^рк ^ ■ Рк^-Уп, т * 1
У = 1 к = 1
У * г
Квадратные скобки над знаком суммы означает целую часть числа, тензор — в. У1—у определен последним равенством (1.2).
Полученные рекуррентные соотношения позволяют определить все тензорные коэффициенты в любом приближении по малому параметру а. В настоящей работе они определены с точностью до О(а15). В дальнейшем для определения присоединенной
массы кластера понадобится только тензор С^ . Вычисления по формулам (1.5) с указанной выше точностью приводят к следующему результату:
С = - еу - ¿В^)
у = 1
У * г
дС.У) = 1 С3Аа,У)(-3) + 1 а6 лиЛ(3) + а8Аа,У)(2) + 1 а9 ли/)(-9) + вРУ = 2 аг/АРу + 4а г/АРу + а г/АРу + 8 аг/АРу +
9 10.(г' Л® 11 (г, У)(-7) 65 12. ^^ 5 13 . (г, у)(-1)
+ 4СС¡у Ару + а(у Ару + 16аг/ Ару - 12агуАРу +
С' У)(т) по ('• ЛИ?) 7 14 . ^7) 129 15 , 4 43)
+ 7 ау Ару - а¡У лРУ (г./)0) = . + „(х(р° - х^х? - Хуа))
(1.6)
1РУ = ^РУ + ^
4
= -с-, в/ = 7(хгу2
г/ ~ п ' У _ ^ ^ в ЛР
где 8ру — символ Кронекера. ео
вающие только парные взаимодействия частиц. Члены, описывающие взаимодей-
Необходимо отметить, что в выражении (1.6) для С\) и далее учтены члены, описы-
ствие более высокого порядка, несущественны при вычислении осредненных характеристик в рамках настоящей работы, что будет обосновано в следующем разделе. При
необходимости получить точное выражение для с\' достаточно просто учесть все члены при вычислениях по формулам (1.5).
Для определения присоединенной массы кластера необходимо записать уравнения движения для каждой '-й частицы с учетом внутренних сил, действующих на нее со стороны остальных частиц. Если затем сложить все N уравнений, учитывая, что сумма всех внутренних сил по третьему закону Ньютона равна нулю, то в результате получим уравнение
N
40) + = X еу, X = Р
1 = 1 Р
(1.7)
где р„ и р — плотности частиц и жидкости соответственно
ЛО)
> * у
вектор внешней силы, приложенной к кластеру, — вектор гидродинамической силы, действующей на i-ю частицу. Уравнение (1.7) записано в безразмерном виде. В качестве масштаба силы
выбрана величина р-^(/' ', где т — объем сферической частицы.
Для записи гидродинамической силы в уравнении (1.7) удобно воспользоваться теоремой Бика [12], выражающей эту силу через характеристики внешнего по отношению к '-й частице потока. В результате в принятых обозначениях в безразмерном виде будем иметь
(
/О ___1_
/у 2N
N
(1,1)
ет+3 2 еЛ
1=1 ] * I
(
/ 0) = X е + 1 1 у Леу ^ 2
N N
1)
+N 22 ев
I=и=1 1 * 1
(1.8)
Если ось Ох3 системы координат совпадает с осью симметрии, вдоль которой направлен вектор внешней силы, то отсюда получим следующее выражение для присоединенной массы М* осесимметричного кластера из идентичных частиц:
( Л
М* 1
pтN
N N
1 +3 22 в3з1)
N1
■11 = 1 1 * 1
(1.9)
Этот результат после подстановки в него конкретных выражений (1.6) для компонент тензора В33,1) совпадает в частных случаях с известными классическими решениями [1, 2] задач о движении двух идентичных сфер с одинаковыми скоростями вдоль и перпендикулярно линии их центров при соответствующей степени точности по параметру а. Данное сравнение корректно, несмотря на то, что в классических задачах [1, 2] рассмотрено движение свободных, не связанных друг с другом сфер, так как при одинаковых скоростях частиц условие связи между ними выполняется автоматически. В этом плане данные задачи хороши для сравнения, но не показательны с точки зрения влияния связей между частицами на динамику кластера.
Чтобы оцен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.