ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 6, с. 142-149
^=РОБОТОТЕХНИКА
УДК 531.01
О ДВИЖЕНИИ МОБИЛЬНОГО РОБОТА С РОЛИКОНЕСУЩИМИ КОЛЕСАМИ*
© 2007 г. Ю. Г. Мартышенко, А. М. Формальский
Москва, Институт механики МГУ Поступила в редакцию 04.05.07 г.
Составлены уравнения движения робота по горизонтальной поверхности на трех роликонесущих колесах типа "omnidirectional" без учета их возможного проскальзывания. Построено точное решение уравнений, когда на двигатели постоянного тока, приводящие в движение колеса, подано постоянное напряжение. Рассмотрена задача минимизации моментов электродвигателей и указаны стационарные режимы движения, при которых моменты электродвигателей и затраты энергоресурсов минимальны. Описана схема счисления проходимого роботом пути.
Введение. Наиболее популярными кинематическими схемами перемещающегося по плоскости мобильного трехколесного робота являются схемы с одним поворотным ведущим колесом или двумя независимыми ведущими колесами и пассивным поворотным колесом [1, 2]. Исследованию свойств подобных роботов посвящена обширная литература. Такие роботы статически устойчивы, и управлять ими можно при помощи только двух приводов, установленных либо на поворотном ведущем колесе (один приводит колесо во вращение, другой поворачивает его плоскость), либо на каждом из двух ведущих, оси которых не изменяют ориентацию относительно корпуса. Наличие неголономных связей, возникающих при движении без проскальзывания колес, запрещает перемещения робота перпендикулярно плоскости его колес, что ограничивает его маневренность. Перемещение трехколесных роботов в произвольном направлении, как правило, может быть осуществлено только после предварительного разворота. В то же время разворот робота в тесном помещении не всегда возможен.
В работе рассматривается мобильный робот, состоящий (рис. 1) из платформы и трех колес типа "omnidirectional" [3-8]. На колесах робота закреплены ролики, оси вращения которых лежат в плоскости колес (рис. 2, 3). Для осуществления перемещения такого мобильного робота в заданном направлении не требуется его предварительного разворота. При наличии подобных колес платформа может двигаться в любом направлении с любой ориентацией. Благодаря этому описываемый мобильный робот может быть удобным для использования в качестве погрузчика в тесных помещениях, например складских. Здесь изучается движение робота без проскальзывания
по горизонтальной шероховатой поверхности под действием моментов, приложенных к его колесам тремя независимыми электродвигателями.
1. Конструкция и кинематика робота. На рис. 1 изображена конструктивная схема рассматриваемого робота, состоящего из платформы, которая может перемещаться по горизонтальной поверхности на трех колесах 1-3. Точка С - центр масс робота, расположенный в центре платформы. Углы между осями колес составляют 120°.
На рис. 2, а показана одна из возможных конструкций роликонесущего колеса, включающего две одинаковые части, которые повернуты друг относительно друга на половину углового размера ролика. На рис. 2, б изображена одна из этих частей. Ось вращения каждого ролика колллине-арна касательной к ободу колеса, которое опирается на поверхность посредством роликов. На рис. 3, а приведена фотография колеса, состоящего из двух скрепленных друг с другом одинаковых соосных параллельных треугольников. Рисунок 3, б содержит один из треугольников, в плоскости
2 У \ л' Cxx
C2
C у
ц\ /
п / 1 \ /
$ C3
O
* Работа выполнена при финснсовой поддержке РФФИ (грант < 06-01-00517а).
Рис. 1. Конструктивная схема робота.
П
1
П
Рис. 2. Устройство колеса робота.
которого могут вращаться три ролика. Треугольники повернуты один относительно другого вокруг оси вращения колеса на 60°. Показанное на рис. 2 колесо имеет шесть роликов.
Подобная компоновка колеса обеспечивает его сцепление с подстилающей поверхностью в плоскости колеса и позволяет выполнять функции обычного колеса. Однако из-за наличия роликов появляется возможность перемещаться в направлении, перпендикулярном плоскости колеса. Тем самым роликонесущее колесо может дви-
гаться в любом направлении. Таким образом, в любом направлении может катиться платформа на роликонесущих колесах, произвольным образом меняя или сохраняя свою ориентацию.
Пусть О^пС - система координат, неподвижная относительно горизонтальной опорной плоскости О^п, ось О£ направлена вертикально вверх, Сху2 - подвижная система координат с началом в точке С, жестко связанная с платформой робота, ось Сх параллельна оси вращения первого колеса, ось С2 перпендикулярна платформе, ось Су образует с осями Сх и С2 правую тройку. Плоскости ОЬщ и Сху параллельны.
Пренебрегая массой и размерами роликов, будем рассматривать робот как систему четырех абсолютно твердых тел, положение которых определяется шестью координатами, образующими вектор q = (п, V, Ф1, Ф2, Фз)Т, где п - первые две декартовы координаты центра С платформы робота в неподвижной системе координат О^пС, V -угол поворота платформы вокруг вертикали, отсчитываемый от оси фу - угол поворотау-го колеса относительно его оси вращения. Через Су обозначены центры колес (у = 1-3), которые совпадают с их центрами масс. Расстояние от центра платформы С до центра Су каждого колеса равно а, и радиус-векторы центров масс колес Су (у = 1-3) в подвижной системе координат СхуЕ определяются формулами
ГС1 = (а, 0, 0)Т, Гс2 = (-2, а23, о)Т,
----------- 3
2' 2
(1.1)
а а
, 0 .
а
Г
С
Рис. 3. Фотографии роликонесущих колес. ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ № 6 2007
Радиус-векторы К^ центров масс колес Су, у =
= 1-3, в неподвижной системе координат О^пС имеют вид
П
V Г у
Гт
1 У rCj,
( \
cos у sin у 0 -sin у cos у 0
0 0 1
.(1.2)
Здесь Гу - матрица направляющих косинусов между трехгранниками О^пС и Сху2, г - радиус колеса робота.
Угловая скорость платформы имеет только вертикальную составляющую у, а угловые скорости колес в подвижных осях Сху2 имеют вид
W1 =
'ФЛ 0
vy у
/ -Ф2/2 л
ф^Тз/2 у
W2
г — сфз/2 л
—ф3 л/3/2
у
(1.3)
d RC
Vp = vCj + [W,, СjPj] = Гу—
+ [W, Сp,], j = 1 —3.
(1.4)
Здесь Ру - точка контакта ролика у-го колеса робота (у = 1-3) с горизонтальной поверхностью, СуРу = (0, 0, -г)т (радиус ролика считается равным нулю).
Будем полагать далее, что все ролики лежат в одной плоскости и, кроме того, "слиты" в единый опоясывающий колесо тор с сечением бесконечно малого радиуса. Введем единичные векторы, направленные по осям вращения роликов, касающихся в данный момент на у-м колесе опорной поверхности
n j = —sin
2п( j — 1)
cos
^pü) 0)T.(i
5)
Движение роликов всех колес происходит без проскальзывания, что приводит к трем уравнениям неголономных связей
(Vp, nj) = 0, j = 1—3.
(1.6)
Условия непроскальзывания (1.6) в скалярной форме имеют вид
—^sin у + T^cos у + ay + r (ф1 = 0, —4 sin(у + 2з~У + П cos(у + 2з") + ау +
+ r Ф2 = 0, —4; sin ( у + 4^ У + П cos (у + 43П) + ау +
(1.7)
+ г <р3 = 0.
Уравнения (1.7) однозначно определяют угловые скорости <у колес по известной скорости центра
масс ;, п , угловой скорости платформы у и ее ориентации у.
Таким образом, робот имеет три степени свободы и в качестве компонент вектора псевдоскоростей я удобно выбрать проекции Ух, Уу вектора скорости центра масс С на подвижные оси и угловую скорость платформы О
(1.8)
Выпишем векторы, образованные из проекций на подвижные оси скоростей точек контакта роликов колес с опорной поверхностью
Vx = 4 cos у + tí sin у, Vy = —4sin у + ncos у, О = у.
Вектор псевдоскоростей будем записывать в виде я = (Vx, Vy, О)т. При этом кинематические уравнения робота, устанавливающие связь между обобщенными скоростями и псевдоскоростями (1.8), имеют вид
4 = Vx cos у — Vy sin у, n = Vx sin у +
1
(1.9)
+ Vy cos у, у = О, (ф1 = — (Vy + Оа) Ф2 = 2r (^3VX + Vy — 2 Оа), фз = ¿I (Vy —J~3VX — 2 О а).
2. Динамические уравнения робота. Будем считать колеса робота идентичными и обозначим через т0, т1 - соответственно массы платформы и колеса робота, через р0, рх - радиусы инерции платформы и колеса относительно вертикальной оси, проходящей через их центры масс, через гх - радиус инерции колеса относительно оси вращения.
Подсчет энергии ускорений робота приводит к выражению
S = 1 m (V2 + ^>У) + 1 Is О2 + + msQ( VxVy — VyVx) + ...
(2.1)
Здесь
m = m0 + 3m1
2 Л
2 r2
ms = m0 + 3mb
Is = mo po + 3 mi
2 б
2
2
mVx - msQ Vy = (M2 -M3)
2r
1
mVj, + msQVx = --(2Mi -M2-M3)
Is Q = -r (Mi+ M2+ M3 ),
(2.2)
V2 + V2 = V2 = const,
Q = const.
(3.1)
msQ
Vx = V sin | — t + Yol,
m
( ms Q
Vv = Vcos | —t + w( y V m
(3.2)
Здесь y0 - значение угла y ПРИ t = 0. Подставив выражения (3.2) и формулу у = Qt + Y0 в первые два соотношения (1.9), получим
• . (msQ Л
Е = Vsin I ~m¡-1 + w0- wl =
(m. Q „ л (m. - m „ = Vsin | ---1 - Q t = Vsin( ---Q t
m
m
многоточием обозначены члены, не зависящие от псевдоускорений.
Дифференцируя (2.1) по псевдоускорениям, составим уравнения Аппеля [8, 9], которые в рассматриваемом случае представляют собой систему трех дифференциальных уравнений первого порядка для компонент вектора псевдоскоростей
J3,
(m Q
n = Vcos ( —S7-1 + w0 - w| =
(3.3)
m
(msQ ^ л (ms - m ^ = V cos | —t - Q t = V cos1 —-Qt
m
m
Из рассмотрения формул (3.3) следует, что движение робота происходит по окружности радиуса тУ
; если г1 —0, то Я —► <». Если П > 0,
R =
в которых Му,у = 1-3, - момент, приложенный к у -му колесу. Дополняя (2.2) кинематическими соотношениями (1.9), получаем замкнутую систему (1.9), (2.2) уравнений движения робота.
3. Свободное движение робота и движение при постоянных напряжениях на двигателях. В отсутствие моментов М1 = М2 = М3 = 0 уравнения (2.2) имеют два первых интеграла (интеграл энергии и интеграл кинетического момента)
Движение (3.1) робота представляет собой цилиндрическую прецессию: платформа равномерно вращается вокруг центра масс с угловой скоростью П, а центр масс робота движется с постоянной скоростью V по окружности. Чтобы найти радиус этой окружности, выпишем решение первых двух уравнений системы (2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.