УДК 524.7-42+521.1+524.47
О ДВИЖЕНИИ ПАССИВНО ГРАВИТИРУЮЩЕГО ТЕЛА ВНУТРИ НЕОДНОРОДНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ГАЛАКТИКИ
© 2015 г. С. А. Гасанов*
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга, Москва, Россия Поступила в редакцию 21.07.2014 г.; принята в печать 24.09.2014 г.
Рассмотрена задача о пространственном движении пассивно гравитирующего тела (звезды или центра масс шарового скопления) внутри неоднородной вращающейся эллиптической галактики с гомоте-тическим распределением плотности. В качестве закона распределения плотности светящейся части эллиптической галактики взят так называемый "астрофизический закон". В движении звезды (или центра масс шарового скопления) учтены притяжение светящейся части эллиптической галактики, которая считается эллипсоидальным телом с гомотетическим распределением плотности, а также возмущения, вызываемые притяжением гомеоида — эллипсоидального слоя, заполненного темной материей пространства между светящейся частью эллиптической галактики и ее гало. Найден аналог интеграла Якоби, определена область возможности движения звезды (или центра масс шарового скопления) и построены поверхности нулевой скорости. Установлена устойчивость в смысле Ляпунова найденных стационарных решений — точек либрации. Полученные результаты применены к эллиптическим галактикам NGC 4472 (M49), NGC 4636 и NGC 4374, содержащих большое количество шаровых скоплений, и приведены в виде рисунков и таблиц. На примере этих галактик показано, что для нахождения точек либрации и исследования их на устойчивость вместо приближенных выражений потенциалов светящейся части эллиптической галактики и гомеоида следует пользоваться их точными выражениями.
DOI: 10.7868/S0004629915020024
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
В работе [1] рассмотрена задача о движении шарового скопления внутри неоднородной вращающейся эллиптической галактики. Найдены стационарные решения, установлены их устойчивость в смысле Ляпунова и построены поверхности нулевой скорости. Аналогичная задача о пространственном движении звезды в окрестности шарового скопления, принадлежащего неоднородной вращающейся эллиптической галактике, рассмотрена в [2]. В движении звезды в окрестности шарового скопления учтены возмущения, вызываемые притяжением эллиптической галактики, которая с гало представляет собой двухслойное тело: первый слой — это внутренний эллипсоид или ее светящаяся часть, а второй слой — это гомеоид, представляющий собой заполненное темной материей пространство между внутренним и внешним эллипсоидами. Эллипсоиды считаются гомотетическими с общим центром, а граница внешнего эллипсоида совпадает с границей гало галактики. При этом светящаяся часть эллиптической галактики
E-mail: gasanov@sai.msu.ru
и гомеоид имеют различные плотности. Движение звезды в окрестности шарового скопления происходит вне светящейся части эллиптической галактики, но внутри гомеоида.
В работе [2] также уточнено и конкретизировано понятие "в окрестности шарового скопления" с использованием понятий "сфера действия", "сфера тяготения" и "гравитационная сфера Хилла". Кроме того, в [2] приведены радиусы соответствующих сфер для трех модельных эллиптических галактик, а движение звезды рассмотрено внутри и вне сферы действия шарового скопления и определены области возможности движения. Найдены квазиинтеграл и поверхности минимальной энергии, которые при определенных условиях преобразуются в аналог интеграла Якоби и поверхности нулевой скорости, соответственно. Установлена устойчивость в смысле Ляпунова найденных стационарных решений. Полученные результаты применены к модельным эллиптическим галактикам с параметрами, совпадающими с известными в настоящее время параметрами эллиптических галактик NGC 4472 (M 49), NGC 4636 и NGC 4374, которые содержат большое количество шаровых скоплений, и приведены в виде рисунков и таблиц. На примере
этих галактик показано, что для нахождения точек либрации и исследования их на устойчивость вместо приближенного выражения потенциала светящейся части эллиптической галактики следует пользоваться его точным выражением.
В настоящей работе рассматривается задача о пространственном движении пассивно гравитиру-ющего тела внутри неоднородной вращающейся эллиптической галактики с гомотетическим распределением плотности. В дальнейшем под пассивно гравитирующим телом подразумевается звезда или центр масс шарового скопления. При этом для краткости будем употреблять только одно понятие — звезда.
Пусть Охух — система координат с началом в центре ЭГ, вращающейся с постоянной угловой скоростью О вокруг полярной оси Ох и с осями, направленными по соответствующим главным осям эллиптической галактики. Прямоугольные координаты х, у, х звезды в этой системе координат определяются из системы уравнений [1, 2]
т
М2 сИ~дх' {)
(]2у , огА
М2 + М
О < 2пО р.
(2)
Здесь О — гравитационная постоянная, а р — средняя плотность неоднородной эллиптической галактики. Такое ограничение связано с тем, что при достаточно большой угловой скорости вращения
О неоднородного эллипсоидального тела для его существования как фигуры равновесия необходимо, чтобы его слои были ограничены конфокальными (софокусными) эллипсоидальными поверхностями [1]. Это противоречит нашему предположению о гомотетическом распределении плотности эллиптической галактики, поэтому считается, что удовлетворение неравенства Пуанкаре (2) является необходимым.
Очевидно, что стстема уравнений (1) допускает аналог интеграла Якоби в виде [1,2]
( йх\
ы+
+
(3)
= 2и - 2С, С =
сЮ_ ду '
(12х _дЦ_
йЬ2 дх '
где силовая фунция (общий потенциал) и определяется в виде суммы трех слагаемых:
О2
и = и{х, у, г) = — (х2 + у2) + и* + ис.
Выражение потенциала и в таком виде нами определено исходя из следующих соображений. Эллиптическая галактика состоит из двух частей: светящейся части, которая представляет собой трехосный эллипсоид с (звездной) массой М* и с плотностью р*, и несветящейся части — гомеоида с массой Мс и с плотностью рс. Полагаем, что гомеоид представляет собой огромный эллипсоидальный слой, внешняя и внутренняя границы которого совпадают с границей гало галактики и внешней границей светящейся части эллиптической галактики, соответственно. Считается, что данный слой — гомеоид — заполнен однородной темной материей, плотность которой равна рс.
Для угловой скорости вращения эллиптической галактики О существует ограничение, называемое неравенством Пуанкаре [3]
Действительно, умножив первое уравнение на йх/йЬ, второе — на йу/йЬ, а третье — на йх/йЬ, а затем сложив их проинтегрировав по Ь с учетом независимости потенциала и явно от времени, получим первый интеграл в виде (3). Кроме того, из этого интеграла легко получаются поверхности нулевой скорости и область возможности движения звезды:
и = С, и > С,
соответственно. Здесь С является аналогом постоянной Якоби.
Теперь положим, что светящаяся часть неоднородной эллиптической галактики и граница гало галактики (внешняя граница гомеоида) ограничены семейством гомотетических (соосных, концентрических) эллипсоидальных поверхностей, описываемых уравнением
- + + - = к2 а2 Ь2 с2
(4)
(а > Ь > с, 0 < к < 1),
где значение параметра семейства к = 0 соответствует центру эллиптической галактики, к = 1 — эллипсоидальной поверхности с полуосями а, Ь и с
гало эллиптической галактики, а к = к — эллипсоидальной поверхности, которой ограничена светящаяся часть эллиптической галактики. Кроме того, для определенности мы положили, что большая, малая и полярная полуоси этого семейства удовлетворяют двойному неравенству, приведенному в скобках.
Полуоси эллипсоидальной поверхности, которой ограничена светящаяся часть эллиптической
галактики, обозначим через а, Ь и с. Тогда
а = ка, Ь = кЬ, с = кс (а > Ь > с, 0 < к< 1).
(5)
Явный вид потенциала ис гомеоида будет приведен в разд. 3, а потенциал и* светящейся части
2
2
эллиптической галактики будет определен ниже исходя из закона распределения ее плотности.
2. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ. ПОТЕНЦИАЛ НЕОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА
В качестве закона распределения плотности Р* = Р* (т2) светящейся части неоднородной эллиптической галактики возьмем следующее выражение:
,2л Ро
Р*(т2) =
(1 + вт
24 3/2'
(6)
где р0 — плотность центра (ядра) галактики, а параметр т определяется формулой [4, 5]
2 X т = -гтт +
+
(0 < т < 1).
Здесь т = 0 соответствует центру эллиптической галактики, а т = 1 — ее светящейся части. Кроме того, параметр в ^ 1 для каждой эллиптической галактики выбирается отдельно [5].
Закон распределения плотности в виде (6), согласно [4, 5], будем считать "астрофизическим", так как он получается из закона распределения поверхностной яркости I(т) эллиптических галактик, открытого Хабблом [6]:
~ 1 + рт2'
где 0 < т < 1,10 — центральная поверхностная яркость, а параметр в находится выравниванием данных фотометрии [4, 5]. Действительно, для нахождения закона распределения плотности подставим выражение для I(т) в известную формулу фон Цайпеля [7], которая для эллиптических галактик выглядит так [4, 5]: 1
р(т) = — [ Vг2 — т([ п ) ат \т ат )
йт,
в котором т (т < т < 1) играет роль переменной интегрирования. После применения формулы интегрирования по частям к правой части, получим
р(т) =
л/г2 — т2 1 (И (г)
п т йт
1_(II (г)
22
7Г У у/ г2 — ш2 ¿Г
ат,
или
р(т) =
Р0
(1 + вт2)3/2
/ (т,в), Ро =
п
где
/(т, в) = аге1§'1
1/3(1 -т2) 1 +/3т2
+
+
у/[3(1 — т2)(1 + [Зт2)(—1 + /3 - 2[Зт2)
(1+ в)
2
Учитывая малость величины т2 и условие в ^ 1, заключаем, что
/(т, в) - 1,
причем функция /(т, в) достигает своего максимума при т = 0. Таким образом, можно положить
Ро
Р(т)
(1+ вт2)3/2'
Заметим, что существуют и другие законы распределения плотности, которые приведены, в частности, в работах [8, 9] и которые получены из обобщенного закона Вокулера [10].
Таким образом, светящуюся часть эллиптической галактики можно считать неоднородным эллипсоидом с гомотетическим распределением плотности в виде (6). Представление плотнос
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.